29

Лекция 19.

Оглавление

7. Метод суперэлементов. 1

7.1. Математическая основа МСЭ 1

7.2. Общая схема применения метода суперэлементов. 5

7.3. Концепция типовых объектов в МСЭ 11

8. Архитектура САПР, базирующихся на МКЭ и МСЭ 17

8.1. Общая структура 18

8.2.Функции модуля ввода 19

8.3. Функции модуля вычислений 20

8.4. Функции модуля вывода 23

8.5. Программное обеспечение для метода конечных элементов 24

8.6. Многодисциплинарные программы 25

8.7. Требования к построению программных систем на базе МКЭ и проблемы их алгоритмизации. 26

7. Метод суперэлементов.

Огромные возможности МКЭ для решения широкого класса задач математической физики и расчета сложных инженерных сооружений постепенно оказались исчерпанными вследствие повышения сложности технических объектов.

Повышение требуемой точности расчета и, следовательно, увеличение числа конечных элементов влечет за собой увеличение трудоемкости всего расчета, сложнее становится расчетная схема, больше времени затрачивается на подготовку исходных данных, возрастают объемы вводимой и перерабатываемой информации. Появляется опасность возникновения ошибок, вероятность которых повышается с увеличением объема исходных данных.

Иногда исправление обнаруженной ошибки может потребовать перестройки всего информационного массива. С ростом сложности задачи существенно увеличивается время непосредственного ее решения на ЭВМ.

Для устранения этих противоречий были разработаны различные модификации МКЭ, содержание которых, в общих чертах, можно представить как разделение того или иного наиболее трудоемкого этапа алгоритма на несколько простых под-этапов. Так, расчетную схему конструкций ЛА можно составлять по частям. Входные данные для каждой части в таком случае готовят независимо. Если при этом встречаются регулярные, повторяющиеся части расчетной схемы, то общий объем исходных данных может быть уменьшен. Этот способ построения расчетной схемы обладает большой наглядностью, он естествен и напоминает процесс сборки конструкции из секций и блоков. Вычислительные возможности алгоритма увеличиваются за счет сокращения требуемых объемов хранимой промежуточной информации.

Известно, что в МКЭ самым большим является массив коэффициентов разрешающей системы уравнений. Поэтому значительное внимание уделяется проблемам сокращенного, компактного представления матрицы коэффициентов.

Существенное сокращение информационных объемов достигается при использовании алгоритмов, исключающих необходимость хранения полной системы уравнений. В этом случае отдельные части - блоки системы - обрабатываются сразу по мере их формирования. Поскольку каждый блок матрицы коэффициентов системы уравнений отвечает вполне определенной части конструкции или подконструкции, его можно трактовать как матрицу жесткости последней.

Такой подход позволил соединить поэтапное составление расчетной схемы с поблочным решением системы уравнений. На этой основе появился метод, который в дальнейшем и получил название метод суперэлементов.

7.1. Математическая основа МСЭ

Его появлению предшествовали работы Г.Крона (Г.Крон “Исследование сложных систем по частям - диакоптика”. Наука, Москва, 1972). Развитие метода суперэлементов нашло свое отражение в работах Е.Пржеминицкого (Е.Пржеминицкий “Матричный метод исследования конструкций на основе анализа подструктур”, РТК, 1963 №1), К.Мейснера (К.Мейснер “Алгоритмы многосвязного объединения для метода жесткостей структурного анализа”, РТК, 1968, №11) и других.

Рассмотрим прием решения алгебраических систем уравнений больших порядков, называемый алгоритмы Крона (Г.Крон “Тензорный анализ”. Физматгиз, 1956г.).

Пусть - квадратная матрица порядка N , а имеющиеся вычислительные средства позволяют использовать стандартные программы, решающие алгебраические системы:

порядка t < N. Разрешающее уравнение представляется в виде:

где P_, P_, и U_, U_ - соответствующие компоненты векторов P и U.

k _ и k _ - квадратные матрицы с порядками t и (N-t).

Тогда из первого уравнения имеем: U_= k_ ^-1 P_ - k _^-1k_ U_

Подставляя во второе уравнение получим решение относительно вектора U_ : U_=( k _ - k_ k_ ^-1 - k_)^-1 (P_ - k_ k_ ^-1 P_ ).

Таким образом, используя последние два выражения и стандартные программы для решения систем можно решать системы порядка 2t.

Если же исходную матрицу k разбить на r блоков, то при использовании тех же стандартных программ можно решать системы порядка (rt).

Рассмотрим эту процедуру более подробно.

Итак, если нам предстоит решать систему линейных уравнений, то мы можем сначала часть неизвестных (исключаемые неизвестные, конденсируемые неизвестные) выразить через остальные, подставить их выражения в исходную систему и получить в итоге систему меньшей размерности.

Рассмотрим, например, систему трех уравнений:

Из последнего уравнения можно, например, выразить третью неизвестную через первые две: .

Подставляя это выражение в первые два уравнения

получим систему уравнений второго порядка.

Решая ее, а затем, определяя и₃ из полученного выше выражения, мы получим то же самое решение, которое было бы получено для исходной системы любым обычным способом (методом Гаусса, методом Халецкого и т.п.).

Эти рассуждения легко обобщить на случай системы произвольного порядка и произвольного количества конденсируемых неизвестных. Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений:

(1)

Пусть часть неизвестных мы хотим сохранить в конденсированной системе, а часть - исключить из системы. Представим вектор неизвестных в блочном виде:

(2)

Аналогичным образом разбиваем на блоки матрицу системы и вектор правых частей:

Тогда исходную систему уравнений можно записать в блочном представлении следующим образом:

(3)

Из последней строки (3) выражаем подвектор исключаемых неизвестных:

(4)

Поставляя (4) в (3), получаем конденсированную систему уравнений:

Замечание. Здесь предполагалось, что исключаемые неизвестные расположены в векторе подряд - в конце вектора. Однако не представляет труда распространить полученные формулы на случай, когда исключаемые неизвестные расположены в векторе в произвольном порядке.

Приведенные выкладки достаточно просты и понятны. Однако должен был возникнуть вопрос - зачем это нужно. В самом деле, количество операций при решении системы остается тем же, что и в обычном методе Гаусса. Просто несколько меняется порядок исключения неизвестных.

Рассмотрим, однако, эту процедуру в применении к системе уравнений, получаемой в методе конечных элементов при описании какой-либо особо сложной конструкции, например, самолёта.

При описании конструкции самолета в целом, система уравнений будет содержать огромное количество неизвестных, да и сама модель окажется чрезвычайно сложной, трудной и для понимания и, тем более, для внесения изменений и уточнений.

Мысленно разобьем конструкцию на отдельные части - суперэлементы. Например, фюзеляж - первая часть, правое крыло - вторая и т.д. Теперь обратим внимание на то, что уравнение равновесия внутреннего узла любого суперэлемента будет включать узловые перемещения и усилия только тех узлов, которые входят в данный суперэлемент. И не будут включать перемещения и усилия в узлах других суперэлементов.

Таким образом, имеется возможность рассмотреть каждый суперэлемент (СЭ) в отдельности. Для каждого СЭ по обычной методике строится матрица жесткости и вектор сил. Далее матрица жесткости конденсируется - из системы уравнений исключаются перемещения внутренних узлов.

В уравнения общей системы для внутренних узлов входят только компоненты матрицы жесткости и вектора сил, относящиеся только к рассматриваемому СЭ. Поэтому и исключение этих степеней свободы можно выполнить, используя лишь один этот СЭ. В результате для СЭ получаем матрицу жесткости с использованием перемещений только граничных узлов. Такие же матрицы жесткости строятся для всех остальных СЭ. После этого матрица жесткости всей конструкции и, соответственно, общая система уравнений получаются по обычной методике МКЭ.

Решая эту систему, получаем значения перемещений только для узлов, расположенных на границах СЭ. Однако, используя соотношения, принятые при исключении внутренних степеней свободы, нетрудно восстановить значения перемещений внутренних узлов.

Итак, сущность метода суперэлементов состоит в том, что конструкция разбивается на подконструкции (суперэлементы) разных уровней.

Подконструкция нижнего уровня разбиваетcя на конечные элементы. В результате исключения внутренних узлов в матрицах жесткости подконструкций нижних уровней осуществляется формирование матрицы жесткости конструкции на верхнем уровне. После определения перемещений для конструкции, состоящей из подконструкций верхнего уровня последовательно определяются перемещения в подконструкциях нижнего уровня. Таким образом, при расчете методом суперэлементов строят сначала описания простейших плоских элементов конструкции; из них последовательно собирают пространственные узлы, секции, блоки и, наконец, полную конструкцию. Повторяющиеся части конструкции представляются типовым описанием и в процессе расчета могут использоваться многократно. Такое построение схемы позволяет сократить время, затрачиваемое на подготовку исходных данных и выполнение расчета.

Отметим, что любое изменение местных параметров, а также замена части конструкции не вызывает полного пересчета всей задачи, поскольку корректировке в таких случаях подлежат лишь описания отдельных подконструкций.

7.2. Общая схема применения метода суперэлементов.

Прежде всего для конструкции, которую предполагается рассчитывать, разрабатывается модель. С этой целью, абстрагируясь от всего многообразия физических свойств реальной конструкции, выбирают только те, которые в данных условиях работы являются определяющими.

Для отдельных частей конструкции выбирается вид напряженного состояния и способ взаимодействия со смежными частями, условия закрепления, варианты нагружения и т..д. Этой подготовительной работе соответствует формулировка краевой задачи.

Затем полученная расчетная модель последовательно разбивается на части, называемые подконструкциями. Разбиение по уровням выполняется до получения базисных конечных элементов. Все объекты, с которыми приходится оперировать при работе по МСЭ, идентифицируются парой чисел: номером уровня и порядковым номером в уровне. Номер уровня объекта соответствует номеру уровня сборки и отсчитывается в направлении снизу вверх. Так, базисный конечный элемент является объектом первого уровня, а модель всей конструкции - объектом самого высокого уровня.

Способ разбиения конструкции на подконструкции, количество уровней задачи, размеры и количество подконструкций на каждом уровне существенно влияют на точность и время счета решения.

К сожалению, не существует единых рецептов определения оптимальных характеристик разбиения, поскольку они зависят от таких факторов, как сложность рассчитываемой конструкции, необходимая точность и степень подробности решения, объем памяти и быстродействие ЭВМ, возможность вычислительной программы и т.п.

Однако можно сформулировать несколько общих рекомендаций, которых следует придерживаться:

а) конструкции, предшествующие последнему разбиению, должны быть легко обозримыми и иметь простую форму;

б) размеры подконструкций (число узловых точек) любого уровня должны обеспечивать быстрое формирование и обработку массивов данных на используемом компьютере;

в) подконструкции в наиболее полной степени должны соответствовать повторяющимся частям конструкции.