Величина характеризует жесткость конкретного растягиваемого стержня, и так и называется жесткостью стержня при растяжении и сжатии.

Итак, из закона Гука следует, что чем больше действующая на стержень сила, тем больше удлинение, чем больше удлинение (перемещение его концов), тем больше действующая на стержень сила. Связь между этими величинами задается коэффициентом пропорциональности

,

называемым жесткостью стержня, полностью обусловленным геометрическими размерами стержня и характеристиками материала, из которого он изготовлен.

Для дальнейшего изложения запись является определяющей.

4.2. Метод конечных элементов

Возникновение метода конечных элементов (МКЭ) связано с решением задач космических исследований (1950 г.). Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже потом был осмыслен математиками, которые часто называют данный метод вариационно-разностным, подчеркивая тем самым его математическую природу. Они занимаются математическим обоснованием МКЭ, т.е. проводят теоретический анализ его сходимости и точности результатов. Представители же инженерного направления решают довольно сложные технические задачи, часто не задумываясь над строгим обоснованием применяемых ими приемов, а построенные алгоритмы и программы проверяют на известных точных решениях.

Существенный толчок в своем развитии МКЭ получил после того, как в 1963 г. было доказано, что этот метод можно рассматривать как один из вариантов известного в строительной механике метода Рэлея-Ритца, который путем минимизации потенциальной энергии позволяет свести задачу к системе линейных уравнений равновесия.

Связь МКЭ с процедурой минимизации позволила широко использовать его при решении задач в других областях техники. Метод применялся к задачам, описываемым уравнениями Лапласа или Пуассона (например, электромагнитные поля). Решение этих уравнений также связано с минимизацией некоторого функционала. Известны решения с помощью этого метода задач распространения тепла, задач гидромеханики и, в частности задач о течении жидкости в пористой среде.

Область применения МКЭ существенно расширилась, когда в 1968 г. было показано, что уравнения, определяющие элементы в задачах строительной механики, распространения тепла, гидромеханики, могут быть легко получены с помощью таких вариантов метода взвешенных невязок, как метод Галёркина или способ наименьших квадратов. Установление этого факта сыграло важную роль в теоретическом обосновании МКЭ, т.к. позволило применять его при решении многих типов дифференциальных уравнений. Таким образом, метод конечных элементов из численной процедуры решения задач строительной механики превратился в общий метод численного решения дифференциальных уравнений или систем дифференциальных уравнений. Этот прогресс был достигнут за довольно короткий срок, благодаря совершенствованию компьютерной техники.

4.2.1. Основные этапы МКЭ

Для лучшего понимания идеи МКЭ сначала покажем основные этапы его применения на примере расчета напряженно – деформированного состояния тела (решения задач механики сплошных сред), хотя это можно было бы сделать на примерах термодинамики, аэродинамики, электростатики и т.п.

Задача механики сплошных сред чаще всего состоит в отыскании функции перемещений точек тела, которая в последствие даёт возможность определить деформации и напряжения в окрестности этих точек.

Специфика МКЭ наибольшим образом проявляется в первых четырёх этапах.

П ервый этап состоит в разделении тела на небольшие элементы простой формы, соприкасающиеся в точках, которые называются узлами. Разделение на элементы можно выполнить множеством разных способов, так как выбор размеров, формы и ориентации элементов целиком определяется представлениями инженера о том, как лучше всего решить задачу. Элементы плоского тела имеют обычно треугольную или четырехугольную форму, а элементы трехмерных тел - форму тетраэдров или гексаэдров. Те участки тела, для которых из физических соображений требуется получить более детальную информацию, разбиваются на большое число мелких элементов.

Если физические свойства тела изменяются в точке или вдоль линии, то можно изменять форму, размеры или ориентацию элементов на этом участке тела.

В торой этап применения МКЭ состоит в выборе и задании какой – либо схемы интерполяции, позволяющей выразить неизвестную функцию (которую мы отыскиваем) - в нашем случае – функцию перемещения - в любой точке внутри элемента через значения перемещений в узлах. Обычно функция перемещений задается каким-либо простым полиномом или готовым простейшим решением для данного конечного элемента. В пределах каждого элемента для интерполяции значений перемещения используются полиномы с коэффициентами, определяемыми в процессе решения.

Выбор выражений, аппроксимирующих перемещения, - один из наиболее ответственных моментов в общей процедуре МКЭ. Всегда желательно, чтобы этот выбор приводил к удовлетворению уравнениям равновесия и уравнениям совместности деформаций внутри объема каждого из конечных элементов и по линиям (граням) их стыковки.

Ограниченность числа степеней свободы для конечного элемента не позволяет удовлетворить всем этим условиям, а следовательно, и получить точное решение задачи.

На третьем этапе на основе зависимостей между перемещениями в узлах и деформациями конечных элементов, между деформациями КЭ и напряжениями в КЭ вычисляются коэффициенты матриц жесткости каждого из КЭ. Зная соотношения между перемещениями, деформациями и напряжениями в каждом конечным элементе, строится матрица жесткости системы КЭ в целом. При этом должны выполняться условия равенства перемещений и деформации соприкасающихся элементов в точках (узлах) и по линиям соприкосновения КЭ между собой, а силы, действующие в узлах, должны составлять в сумме внешнюю силу, приложенную в той же точке.

В результате получается система линейных уравнений вида:

где – известная матрица жесткости системы,

– вектор перемещений системы,

– вектор нагрузки.

Подчеркнем, что этой системой можно пользоваться лишь при условии, когда принятые выраже­ния для компонентов перемещения удовлетворяют всем условиям сплошности, включая условия кинематической стыковки смежных конечных элементов. Получаемая при этом матрица жесткости называется совместной.

К сожалению, часто об этом забывают, что приводит к получению так называемых несовместных матриц жесткости. Применение таких матриц жесткости в практических расчетах таит в себе большую опасность, поскольку, наряду с удовлетворительным результатом для одной задачи, возможно получение ошибочного решения для другой задачи.

Матрица жесткости полностью определяет жесткостные свойства системы составленной из конечных элементов.

В случае произвольной деформации каждый из m узлов может иметь n перемещений (например, по x и y в плоском случае; по х, y и z - в объёмном). Поэтому матрица жесткости будет иметь размерность , а векторы деформации и силы – размерность .

Некоторые значения перемещений определяются граничными условиями. Известные значения перемещений можно исключить из системы уравнений и тем самым понизить ее порядок. Можно поступить иначе, приняв один из диагональных элементов матрицы жесткости, равный какой-либо большой величине, намного превышающей значения других элементов, этот прием имеет важное преимущество, позволяя сохранить исходную форму системы уравнений, и часто используется при формировании пакетов программ, разработанных на основе МКЭ.

На четвертом этапе решается полученная система уравнений.

Прежде всего, отметим, что система уравнений содержит много нулевых элементов, так как не каждый узел принадлежит каждому элементу. Поскольку получается разреженная система уравнений, для ее решения удобно пользоваться методом последовательной верхней релаксации.

Еще более прогрессивный способ - упаковка разреженной матрицы. Последние методы будут рассмотрены в дальнейшем.

В результате получают значения перемещений для всех узлов.

На пятом этапе с помощью обычных уравнений теории упругости с использованием полученных значений перемещений в узлах и выбранной схемы интерполяции перемещений в каждом КЭ находится распределение напряжений и деформаций в каждом КЭ и тем самым на всём объекте.

Из сказанного следует, что матричные методы позволяют лучше организовать подготовку программы и решение задачи. Поэтому матричная форма записи МКЭ является предпочтительной.

Универсальность МКЭ позволила разработать на его основе программы для ЭВМ, позволяющие решать самые разнообразные задачи.

4.2.2. Матрица жесткости

При использовании МКЭ для решения задач о напряженно-деформированном состоянии тел последние представляют в виде совокупности конечных элементов, связанных между собою в узло­вых точках. Если применяется вариант МКЭ — метод перемеще­ний, то за основные неизвестные принимаются компоненты пере­мещений узловых точек. При этом напряженно-деформированное состояние i-го элемента однозначно определяется через вектор узловых параметров (перемещений):

Связь между конечными элементами вызывает в узловых точках реактивные усилия взаимодействия, и каждый из конечных эле­ментов оказывается загруженным этими усилиями

.

Вектор усилий также однозначно определяет напря­женно-деформированное состояние элемента. При этом возникает вопрос и о части внешних нагрузок, действующих непосредственно на элемент. Забегая вперед, укажем, что ее заменяют некоторыми приложенными в узлах сосредоточенными силами, эквивалент­ными по своему действию действительной нагрузке. Эти сосредо­точенные узловые силы учитывают при составлении уравнений равновесия в узлах.

Между векторами и существует связь, обусловленная вышепреведенным законом Гука.

Где матрица, осреднённо характеризующая жесткостные свойства среды в объёме е – го конечного элемента, опре­деляющая упругие свойства элемента. Ее элементы в совокупности характеризуют жесткость конечного элемента.

Для построения – матрицы жесткости е-го элемента — можно применять разные способы, о которых будет говориться дальше.