Столярчук В.А. “CAD/CAE - системы”. Материалы к лекциям. Лекции № 9-10

Лекции № 9-10

4. МКЭ в задачах теории упругости и строительной механики

Содержание

4.1.

Основные положения механики сплошных сред 2

4.1.1. Сплошная среда 2

4.1.2. Внешние силы 3

4.1.3. Принцип Сен-Венана 4

4.1.4. Внутренние силы 5

4.1.4. Упругость 6

4.2. Метод конечных элементов

4.2.1. Основные этапы МКЭ

4.2.2. Матрица жесткости 8

4.3. Построение матрицы жесткости КЭ прямым методом 10

4.4. Построение матрицы жесткости системы прямым методом 18

Наличие в теории упругости и строительной механике своей терминологии и возможность при­дать многим из вычислительных операций ясный физический смысл оправдывает дополнительное рассмотрение приложения МКЭ к решению задач механики деформируемых сред.

4.1. Основные положения механики сплошных сред

Если твёрдое тело совершает поступательное или враща­тельное движение, или оба движения вместе так, что расстоя­ния между его точками не изменяются, то твёрдое тело не подвергается деформации. Но если под действием приложенных сил или при изменении тепло­вого состояния изменяются расстояния между частицами твёрдого тела, то это явление называют деформацией твёрдого тела и именно этим явлением занимается теория упругости.

Теория упругости является ветвью или главой более общей науки, называемой механикой деформируемого твердого тела. К главам этой общей науки относятся теория пластичности, теория ползучести, теория вязкоупругости, строительная механика, сопротивление материалов. В частности, известная даже широкой публике дисциплина «сопротивление материалов» занимается методами расчета простейших элементов конструкции и потому, по сути, является начальным шагом в изучении более общей, более сложной и точной науки – механики деформируемого твердого тела.

4.1.1.Сплошная среда

В механике деформируемого твердого тела реальное твердое тело заменяется воображаемой, модельной сплошной средой, почему существует и другое название этой науки – механика сплошной среды. Среда называется сплошной, если любой объем, выделенный из неё, содержит вещество, т.е. имеет массу. Ясно, что представление о сплошной среде противоречит представлению об атомном строении вещества. Действительно, если объемы достаточно малые, то в одном объеме может оказаться атом, другой будет находиться в пространстве между атомами и, значит, не будет содержать в себе ничего, имеющего массу. Но представление о сплошной среде упрощает (по мнению ученых, до чрезвычайности) математическое описание поведения среды и потому именно это представление и положено в основу механики деформируемого твердого тела.

Надо сказать, что само понятие сплошной среды не такое простое, как может показаться на первый взгляд и как это казалось подавляющему большинству ученых 19-го века. Оказалось, что можно строить разные модели сплошной среды, наделяя их разными свойствами, причем, такие усложненные модели будут более точно описывать поведение сплошной среды. Простейшая модель поведения твердого тела, называемой классической, положена в основу теории упругости, строительной механики и сопротивления материалов.

4.1.2. Внешние силы

Понятие о силе вводится в механике как первичное понятие. Предполагается, что сила полностью определена, если задан соответствующий вектор, при этом определение того, что такое век­тор, относится целиком к области математики. Но здесь следует подчеркнуть, что понятие силы неразрывно связано с представ­лением о том объекте, на который сила действует. В действи­тельности так называемых сосредоточенных сил, т. е. сил, приложенных к точке, не существует, хотя в теоретической механике изучается движение материальной точки под действием сил — векторов, приложенных к этой точке. Понятно, что материальная точка это воображаемый объект, абстракция. При контакте реальных твердых тел они обязательно деформируются в области кон­такта, и образуется площадка контакта конечных размеров. На этой площадке давление распределено непрерывным образом. Силу тяжести считают приложенной в центре тяжести тела, но в действительности эта сила распределена непрерывным образом по объему, ее приводят к центру тяжести на основании теорем статики об эквивалентности, теорем, которые справедливы только для абсолютно жестких тел. С другой стороны, у достаточно прочных материалов, применяемых в технике, размеры площадки контакта оказываются, как правило, малы по сравнению с размерами тела. Поэтому представление о со­средоточенной силе давления одного тела на другое не совсем бессмысленно. Приведенные рассуждения о непрерывно распределенном давле­нии на площадке контакта, о силе тяжести, непрерывно распре­деленной но объему, опять-таки относятся не к реальному телу, а к сплошной среде в том смысле, в каком было определено это понятие выше.

Представляя себе сплошную среду как предельный случай совокупности материальных точек, мы можем трактовать так называемую «распределенную» нагрузку как предельный случай совокупности сосредоточенных сил, приложенных к точкам по­верхности тела, хотя такое представление в известной мере ис­кусственно. На самом деле, как уже подчеркивалось, вводя модель сплошной деформируемой среды, мы должны именно распределенную нагрузку принять как нечто первичное данное, а сосредоточенная сила представляет собой абстракцию. Тем не менее, распределенную силу обычно заменяют системой сосредоточенных сил, что связано с необходимостью дальнейшего упрощение сложнейших представлений механики сплошных сред.

4.1.3. Принцип Сен-Венана

К
огда рассматривается состояние тела на достаточно большом расстоянии от площадки контакта, бывает доста­точно пренебречь ее размерами и считать давление сосредото­ченным; в окрестности же области контакта замена распределенного давления сосредоточенной силой приводит к серьезным ошибкам. Например, результаты многочисленных точных и приближенных реше­ний убеждают в том, что фактический способ приложения силы и момента к концу стержня сказывается лишь в непосредствен­ной близости к этому концу. В данном случае это означает, что если нас интересуют прогибы и удлинение стержня в целом, нам нет необходимости детально анализировать реальную ситуацию в месте приложения силы, а при расчетах достаточно исходить из упрощенной схемы, которая носит совершенно условный характер, поскольку ни сосредото­ченных сил, ни сосредоточенных моментов не существует. Область, в которой сказывается фактический способ приложения нагрузки достаточно мала. Высказанное пра­вило носит название принципа Сен-Венана, и его довольно расплывча­тая формулировка связана с тем, что этот принцип не доказы­вается для общего случая, а иллюстрируется многочисленными примерами.

4.1.4. Внутренние силы

Сохранение формы твердого тела обеспечивается внутренними связями, природа которых для механики сплошных сред безразлична. Согласно аксио­ме связей равновесие системы сохраняется, если разрушить часть связей и заменить их силами, которые называют реакциями связей.

Рассмотрим произвольное тело, нагруженное совокупностью внешних сил. Мысленно рассечем тело поверхностью S, проходящей через некоторую внутреннюю точку М и отбросим одну из частей (в нашем случае – правую). На левую часть действует совокупность сил P и для того чтобы оставшаяся часть сохраняла рав­новесие, необходимо приложить на поверхности разреза S силы взаимодействия, которые называются внутренними силами или напряжениями.

В классической механике сплошных сред предпо­лагают, что реакция отброшенной правой части представляет собою силу, непрерывно распределенную по поверхности разреза. В каждой точке поверхности Sопределен вектор σ, который мы будем называть вектором напряжения или просто напряжением. Это означает следующее. Окружим точку М на поверхности Sконтуром, который заключает в себе малую площадь ω. Сила, действующая со стороны отброшенной правой части на площадку, принадлежащую левой части, равна произведению σ ω с тем большей точностью, чем меньше площадка ω. Иначе говоря, напряжение есть предел, к которому стремится вектор силы, действующей на пло­щадку. В действительности, силы, действующие на конечную площадку ω со стороны отброшенной части тела, распределены по этой площадке каким-то неизвестным нам способом.

Итак, предел отношения главного вектора сил, действующих на площадку, к величине её площади называется напряжением. Отсюда и знаменитое выражение «напряжение равно силе, деленной на площадь» . Вектор напряжения в точке М на площадке с нормалью n естественно разложить на две составляющие, одна из которых направлена по вектору нормали и называется нормальным напряжением σ_n, другая принадлежит плоскости площадки и называется касательным напряжением τ_n.

4.1.5. Упругость

Важнейшее свойство всех без исключения твердых тел — это упругость. В основе определения этого понятия будет находиться модель идеального упругого тела — объекта, в природе не суще­ствующего. Идеальной упругостью называется однозначная за­висимость между силами и вызванными этими силами перемеще­ниями. Если прикладывать к упругому телу нагрузки в различ­ной последовательности, то конечное состояние не будет зависеть от порядка их приложения, оно определяется только конечными значениями нагрузок. Из данного определения следует, в частности, что после снятия нагрузки идеально упругое тело всегда возвращается в исходное состояние. Данное определение упру­гости несколько упрощено. При более строгом подходе упругое тело следует рассматривать как термодинамическую систему и принимать во внимание изменение температуры, которое может сопровождать деформацию. Однознач­ная зависимость между силами и перемещениями сохраняется, если тело теплоизолировано или если температура его поддер­живается постоянной за счет внешнего притока или оттока тепла. Следует заметить, что для большинства твердых тел тепловые эф­фекты невелики, для металлов они практически неощутимы, но для, например, полимеров иногда их приходится принимать во внимание.

Закон упругости выполняется с очень большой степенью точ­ности для кристаллов кварца, для термически обработанной ста­ли, но если нагрузки, а следовательно, и напряжения, не слишком велики. Другие материалы считают упругими лишь с известным приближением, сознательно пренебрегая той погреш­ностью, которая связана со сделанным предположением. Суще­ственно, чтобы эта погрешность не выходила за определенные пределы, которые устанавливаются требованиями практики. В противном случае приходится применять другие, усложненные модели. Эти модели приходится конструировать из различных эле­ментов; идеальная упругость и представляет один из таких эле­ментов, фигурирующий почти во всех не слишком упрощенных моделях твердого тела.

Для огромного большин­ства материалов закон упругости с большой точностью может считаться линейным и его можно записать следующим образом:

σ = Еε,

где ε деформация, а величина Е - модулем упругости материала.

Соотношение σ = Еε носит название закона Гука (Роберт Гук — английский матема­тик и физик, 1635—1703).

Напомним, что закон упругости справедлив, пока напряжение не достигает определенного предела, называемого пределом упругости. Определение этого предела довольно условно; располагая аппарату­рой разной чувствительности можно обнаружить отклонение от закона упругости при больших или меньших напряжениях. На­пряжение, до которого справедлив закон Гука, называют пре­делом пропорциональности; замечание об условности определения относится в равной мере и к пределу пропорциональности (см. курс «Механика»).

В простейшем случае (для растянутого стержня) закон Гука можно записать по-другому.

Предположим, что силы N, приложенные к торцам стержня длиной и площадью поперечного сечения F, растянули его на величину . Длина растянутого стержня стала равной .

Величину называют абсолютным удлинением стержня (перемещением его концов), а безразмерную величину – относительным удлинением стержня или его линейной деформацией. Таким образом, абсолютное удлинение стержня длиной будет .

Так как напряжение вызвано действующим в стержне постоянным внутренним усилием N, то в соответствии с общеизвестной формулой закон Гука можно переписать следующим образом:

Откуда,