Располагая матрицей матрицей жесткости конечного элемента и вектором (е = 1, 2, 3, …, М) и переходя к общей системе координат можно построить матрицу (матрицу жесткости всей системы) и вектор , которыми соответственно определяются жесткостные свойства среды для всей области и внешнее воздействие на нее.

После этого выписываются разрешающее уравнение МКЭ:

Для нахождения узловых неизвестных в общей системе координат .

Таким образом, построение матриц и является необходимым и важным элементом составления разрешающей системы уравнений МКЭ.

Для построения матриц жесткости конечных элементов и получение матрицы разрешающей системы уравнений используется один из трех основных способов: прямой метод, вариационный подход, метод Бубнова – Галеркина.

Мы рассмотрим только первый метод. Вариационный подход рассматривается в дисциплине «Системы моделирования »

Прямой метод применим лишь для конечных элементов простой геометрии при малом числе степеней свободы. Он заключается в непосредственном использовании основных уравнений и зависимостей теории упругости для построения матрицы жесткости и вектора узловых усилий конечного элемента.

4.3. Построение матрицы жесткости КЭ прямым методом

Р
ассмотрим два примера: плоские раму и балку, нагруженные системой сил.

В предположении, что внешняя нагрузка на раму и балку приведена к узлам, разобьем раму и балку на отдельные базовые элементы, жестко защемленные на концах.

В качестве базового элемента выберем и для рамы и для балки один и тот же тип конечного элемента – так называемый балочный элемент, работающий на растяжение (сжатие) и изгиб в своей плоскости. Напомним, что стержневой элемент работает только на растяжение и сжатие.

В строительной механике элементы матрицы жесткости имеют ясный физический смысл. Например, под элементом матрицы жесткости принимается реакция (усилие) стержня, возникающая в узле iпри единичном перемещении узлаj в одном из направлений координатных осей. Так, например для элемента, изображенного на правом рисунке, при перемещении узлаj в направлении, противоположном направлению оси y на единицу, в узлеiвозникает реакция в направлении оси Y.

Сформировав матрицы жесткости отдельных элементов и состыковав их, получим матрицу жесткости всей системы К. Искомый вектор перемещений будет найден из решения уравнения P=KU.

Таким образом, формирование матриц жесткости конечных элементов, которыми представлена конструкция, предшествует формированию матрицы жесткости всей конструкции.

Для построения матрицы жесткости отдельного элемента можно воспользоваться соответствующим подбором интерполирующих функций.

Однако для простейших элементов, таких как стержни, балки можно, используя инженерную теорию, получить приближенное решение, которое будет точным в рамках определенных гипотез.

Получим матрицу жесткости балочного конечного элемента. Для этого рассмотрим балку постоянной жесткости, защемлённую по краям и загруженную поперечными и продольными силами и изгибающим моментом. Если мысленно разрезать балку, то в каждом сечении балки имеем три неизвестных фактора: x₁ – усилие в направлении оси х,x₂– в направлении оси у и x₃– изгибающий момент.

Так как наша цель заключается в формировании элементов матрицы жесткости , которые, как уже говорилось, есть реакция (усилие) элемента, возникающая в узле i при единичном перемещении узлаj в одном из направлений координатных осей, то необходимо записать зависимости между усилиями и перемещениями для каждого из трёх неизвестных х₁,х₂и х₃. Для записи этих зависимостей используем известные приближённые соотношения сопротивления материалов и строительной механики.

В качестве примера приведём вывод соотношений, необходимых для формирования элементов матрицы жесткости, связанных с усилиями х₁.

Усилия х₁вызывают растяжение (сжатие) элемента балки. Для описания этого вида деформации используют закон Гука:

Где Р – растягивающая (сжимающая) сила, – длина элемента балки, – площадь его поперечного сечения, – модель упругости материала, из которого изготовлен элемент балки, – абсолютное удлинение. Записав это выражение в другой форме, получим формулу, удобную для получения коэффициентов матрицы жесткости:

Принимая , получаем, что для растяжения (сжатия) элемента балки на единицу необходима сила , что и характеризует жесткость элемента в выбранном направлении при заданных .

Усилие х₂ и изгибающий момент х₃ характеризуют более сложный вид деформации – изгиб элемента балки. Не приводя окончательный вывод при рассмотрении усилия х₂, обращаем внимание на то, что под действием поперечной нагрузки Р (т.е. в том направлении, в котором действует х₂) балка в сечении с координатой х имеет прогиб, равный .

Функция удовлетворяет приближенному дифференциальному уравнению изогнутой оси балки:

Где – момент инерции поперечного сечения балки, и , как и ранее, модуль упругости материала и длина балки, а – функция изгибающего момента, определяемая соотношением .

Из решения этого дифференциального уравнения можно определить функции, дающие возможность получить соответствующие коэффициенты матрицы жесткости.

Следует только обратить внимание на то, что при изгибе возникает не только перемещение , но и поворот на угол поперечного сечения балки.

Поэтому при перемещении узла элемента балки в направлении оси Y на единицу возникнет не только силовая реакция, , но момент , что и характеризует жесткость элемента в выбранном направлении при заданных .

Аналогичный подход и рассуждения применимы и для момента х₃ , а именно, что при повороте узла на угол, равный единице возникает не только силовая реакция вдоль оси у, равная (на единицу угла поворота), но и моментные реакции: – в том узле, в котором производится единичный поворот, и в другом узле (также на единицу поворота).

Итак, построим матрицу жесткости для балочного конечного элемента.

Разрешающее уравнение представим в виде:

Формирование матрицы жесткости проводим по столбцам.

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в узлах элемента при единичном перемещении узла i в направлении x (в направлении 1)

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в узлах элемента при единичном перемещении узла j в направлении оси х (в направлении 2)

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в концах балки при единичном перемещении узла i по направлению оси y (в направлении 3)

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в концах балки при единичном перемещении узла j по направлению оси y (в направлении 4)

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в концах элемента при единичном повороте узла i по направлению оси (в направлении 5)

1. Столбец матрицы жесткости – есть система усилий, возникающих в концах элемента при единичном повороте узла j по направлению оси (в направлении 6)

В результате получаем матрицу жесткости балочного конечного элемента в окончательном виде:

Ниже приведена структура полученной матрицы:

Следующим этапом метода конечных элементов является получение матрицы жестокости всей системы.

4.4. Построение матрицы жесткости системы прямым методом

В
качестве примера получения матрицы жесткости всей системы, рассмотрим задачу с балкой, приведенной ранее, представив ее системой из трех конечных элементов с единой системой нумерации неизвестных усилий.

Для формирования матрицы жесткости воспользуемся матрицей жесткости элемента из предыдущего раздела. Построение матрицы жесткости проводим по столбцам. Для этой цели будем последовательно придавать единичное смещение каждому из узлов балки поочередно в одном из направлений координатных осей, как показано на рисунке.

В результате, получим матрицы жесткости каждого из элементов в общей системе нумерации.