12PosobKR2015 (В.А. Столярчук. Решение задач в Sigma (учебное пособие)), страница 2

В компактной форме:

(1)

здесь: ; E –модуль упругости на растяжение-сжатие;

- модуль упругости сдвигу; - коэффициент Пуассона;

- объемная деформация (произносится как «тэта»);

- оператор Лапласа (произносится как «дельта»);

и – проекции внешних усилий на оси координат.

Неизвестными в этих уравнениях, которые можно трактовать как уравнения равновесия тела (вспомните: для исключения перемещения объекта, как твердого тела сумма проекций всех сил на оси X и Y должна равняться нулю), являются перемещения

Уравнения равновесия (1) можно записать не в перемещениях, а в напряжениях:

В этих уравнениях проявляется четкая связь между напряжениями и проекциями внешних усилий и в некоторой точке твердого тела.

Эти уравнения называются уравнениями плоской задачи теории упругости.

Для того, чтобы понимать суть решаемой задачи, надо разобраться в её физическом смысле и математическом описании.

Итак, любой расчет на прочность делают с целью понять, разрушится ли объект или нет. Собственно говоря, ради этого и проводится расчет.

Ответом на этот вопрос занимается целый комплекс наук, имеющих общее название механики деформируемого твердого тела (МДТТ). К главам этой общей науки относятся теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, теория вязкоупругости, теория устойчивости, прочность, строительная механика. Это далеко не полный перечень. В частности, известная даже широкой публике дисциплина «сопротивление материалов» занимается методами расчета простейших элементов конструкции и потому, по сути, является начальным шагом в изучении более общей и более сложной науки – механики деформируемого твердого тела.

Сама механика деформируемого твердого тела является частью обширной и очень разветвленной науки – механики сплошных сред. Механика сплошных сред, помимо МДТТ, включает ещё гидромеханику, аэродинамику, газовую динамику с теорией плазмы.

В механике сплошных сред помимо обычных материальных тел, подобных воде, воздуху или железу, присутствуют также особые среды -поля: электромагнитное, гравитационное и другие.

При этом механика сплошных сред рассматривает материальные тела, заполняющие пространство непрерывно, и пренебрегает их молекулярным строением

В механике сплошной среды разработана и используется единая физико-математическая модель, описывающая движение и изменения газообразных, жидких и твердых деформируемых тел и позволяющая решать большинство задач, рассматриваемых в традиционных общетехнических дисциплинах. Отсюда становится понятным, почему метод конечных элементов, который дискретизирует непрерывное пространство, применяется во всех этих науках, где проявляет самые свои лучшие свойства. На рис.2. приведена иерархия комплекса наук, относящихся к задаче, решаемой в Sigma.

Рис.2

Следует особо подчеркнуть, что под влиянием механики сплошных сред получил большое развитие ряд разделов математики. Например, вариационное исчисление, некоторые разделы теории функции комплексного переменного,  краевые задачи для уравнений в частных производных,  интегральные уравнения и огромный перечень численных методов приближенного решения задач математической физики.

1.1. Основные положения механики сплошных сред

Если твёрдое тело совершает поступательное или враща­тельное движение, или оба движения вместе так, что расстоя­ния между его точками не изменяются, то твёрдое тело не подвергается деформации. Но если под действием приложенных сил или при изменении тепло­вого состояния изменяются расстояния между частицами твёрдого тела, то это явление называют деформацией твёрдого тела и именно этим явлением занимается теория упругости.

Сплошная среда. В механике деформируемого твердого тела реальное твердое тело заменяется воображаемой, модельной сплошной средой. Среда называется сплошной, если любой объем, выделенный из неё, содержит вещество. т.е. имеет массу. Ясно, что представление о сплошной среде противоречит представлению об атомном строении вещества. Действительно, если примыкающие друг к другу объемы достаточно малы, в каком-то объеме может не оказаться атома и, следовательно, объем не будет содержать в себе ничего, имеющего массу. Но представление о сплошной среде упрощает математическое описание поведения среды и потому именно это представление и положено в основу механики деформируемого твердого тела. Вдобавок, оказалось, что можно строить разные модели сплошной среды, наделяя их разными свойствами, причем, такие усложненные модели будут более точно описывать поведение реальных тел. Простейшая модель поведения твердого тела, называемой классической, положена в основу теории упругости, строительной механики и сопротивления материалов.

Внешние силы. Понятие о силе вводится в механике как первичное понятие. Предполагается, что сила полностью определена, если задан со­ответствующий вектор, при этом определение того, что такое век­тор, относится целиком к области математики. Но здесь следует подчеркнуть, что понятие силы неразрывно связано с представ­лением о том объекте, на который сила действует. В действи­тельности так называемых сосредоточенных сил, т. е. сил, приложенных к точке, не существует, хотя в теоретической механике изучается движение материальной точки под действием сил — векторов, приложенных к этой точке. Понятно, что материальная точка это воображаемый объект, абстракция, не имеющая площади в области контакта. При контакте же реальных твердых тел они обязательно деформируются в области кон­такта и образуется площадка контакта конечных размеров. На этой площадке давление распределено непрерывным образом. Ещё одно допущение: силу тяжести считают приложенной в центре тяжести тела, хотя в действительности эта сила распределена непрерывным образом по объему. Поэтому ее приводят к центру тяжести на основании теорем статики об эквивалентности, теорем, которые справедливы только для абсолютно жестких тел.

С другой стороны, у достаточно прочных материалов, применяемых в технике, размеры площадки контакта оказываются, как правило, малы по сравнению с размерами тела. Поэтому представление о со­средоточенной силе давления одного тела на другое не совсем бессмысленно. Приведенные рассуждения о непрерывно распределенном давле­нии на площадке контакта, о силе тяжести, непрерывно распре­деленной по объему, опять-таки относятся не к реальному телу, а к сплошной среде в том смысле, в каком было определено это понятие выше.

Представляя себе сплошную среду как предельный случай совокупности материальных точек, мы можем трактовать так называемую «распределенную» нагрузку как предельный случай совокупности сосредоточенных сил, приложенных к точкам по­верхности тела, хотя такое представление, в известной мере, ис­кусственно. На самом деле, как уже подчеркивалось, вводя модель сплошной деформируемой среды, мы должны именно распределенную нагрузку принять как нечто первично данное, а сосредоточенная сила представляет собой абстракцию. Тем не менее, распределенную силу обычно заменяют системой сосредоточенных сил, что связано с необходимостью дальнейшего упрощение сложнейших представлений механики сплошных сред.

Принцип Сен-Венана. Когда рассматривается состояние тела на доста­точно большом расстоянии от площадки контакта, бывает доста­точно пренебречь ее размерами и считать давление сосредото­ченным; в окрестности же области контакта замена распределенного давления сосредоточенной силой приводит к серьезным ошибкам. Например, результаты многочисленных точных и приближенных реше­ний убеждают в том, что фактический способ приложения силы и момента к концу стержня сказывается лишь в непосредствен­ной близости к этому концу. В данном случае это означает, что если нас интересуют прогибы и удлинение стержня в целом, нам нет необходимости детально анализировать реальную ситуацию в месте приложения силы, а при расчетах достаточно исходить из упрощенной схемы, которая носит совершенно условный характер, поскольку ни сосредото­ченных сил, ни сосредоточенных моментов не существует. Об­ласть, в которой сказывается фактический способ приложения нагрузки достаточно мала. Высказанное пра­вило носит название принципа Сен-Венана, и его довольно расплывча­тая формулировка связана с тем, что этот принцип не доказы­вается для общего случая, а иллюстрируется многочисленными примерами.

Внутренние силы. Сохранение формы твердого тела обеспечивается внутренними связями, природа которых для механики сплошных сред безразлична. Согласно аксио­ме связей равновесие системы сохраняется, если разрушить часть связей и заменить их силами, которые называют реакциями связей.

Рассмотрим произвольное тело, нагруженное совокупностью внешних сил (рис. 3). Мысленно рассечем тело поверхностью S, проходящей через некоторую внутреннюю точку М и отбросим одну из частей (в нашем случае – правую). На левую часть действует совокупность сил P и для того чтобы оставшаяся часть сохраняла рав­новесие, необходимо приложить на поверхности разреза S силы взаимодействия, которые называются внутренними силами или напряжениями.

В классической механике сплошных сред предпо­лагают, что реакция отброшенной правой части представляет собою силу, непрерывно распределенную по поверхности разреза. В каждой точке поверхности S определен вектор σ, который мы будем называть вектором напряжения или просто напряжением. Это означает следующее. Окружим точку М на поверхности S контуром, который заключает в себе малую площадь ω. Сила, действующая со стороны отброшенной правой части на площадку, принадлежащую левой части, равна произведению σ ω с тем большей точ­ностью, чем меньше площадка ω. Иначе говоря, напряжение есть предел, к которому стремится вектор силы, действующей на пло­щадку. В действительности, силы, действующие на конечную площадку ω со стороны отброшенной части тела, распределены по этой площадке каким-то неизвестным нам способом. Итак, предел отношения главного вектора сил Р, действующих на площадку, к величине её площади F называется напряжением. Отсюда и знаменитое выражение

напряжение равно силе, деленной на площадь. Вектор напряжения в точке М на площадке с нормалью n раскладывают на две составляющие, одна из которых направлена по вектору нормали и называется нормальным напряжением σ_n, другая принадлежит плоскости площадки и называется касательным напряжением _n.

Упругость. Важнейшее свойство всех без исключения твердых тел — это упругость. В основе определения этого понятия будет находиться модель идеального упругого тела — объекта, в природе не суще­ствующего. Идеальной упругостью называется однозначная за­висимость между силами и вызванными этими силами перемеще­ниями. Если прикладывать к упругому телу нагрузки в различ­ной последовательности, то конечное состояние не будет зависеть от порядка их приложения, оно определяется только конечными значениями нагрузок. Из данного определения следует, в част­ности, что после снятия нагрузки идеально упругое тело всегда возвращается в исходное состояние.

Закон упругости выполняется с очень большой степенью точ­ности для кристаллов кварца, для термически обработанной ста­ли, но только если нагрузки, а следовательно, и напряжения, не слишком велики. Другие материалы считают упругими лишь с известным приближением, сознательно пренебрегая той погреш­ностью, которая связана со сделанным предположением. Суще­ственно, чтобы эта погрешность не выходила за определенные пределы, которые устанавливаются требованиями практики. В противном случае приходится применять другие, усложненные модели.