12PosobKR2015 (В.А. Столярчук. Решение задач в Sigma (учебное пособие)), страница 5

Надо сказать, что когда мы рассматривали задачу растяжения стержня мы использовали это условие. Дело в том, что при приложении силы Р к правому концу стержня, который был прикреплен, допустим, к стене, в закрепленном левом конце должна возникать сила, направленная влево. Эта сила будет равной по абсолютной величине силе Р и сумма сил на ось Х будет равной нулю (иначе стержень станет перемещаться вправо или влево). Такое представление действия сил обусловлено необходимостью выполнения условий статики для всех покоящихся тел:

Аналогичное представление можно смоделировать при решении задачи деформирования треугольной пластины. Достаточно мысленно представить, что, например, узлы и закреплены, а силы в узле являются внешними для этой треугольной пластины.

Если узлы и закреплены, то, следовательно, перемещения

Тогда вся задача определения перемещений с учетом того, что мы приняли их распределение внутри треугольной пластины по закону плоскости, сводится к определению значений перемещений и в узле . В этом случае уравнение (6) будет представлять из себя систему двух уравнений с двумя неизвестными и . Решением этой системы будут значения и перемещений в точке . Геометрически функцию, например, на площади треугольника в этом случае можно изобразить в виде заштрихованной плоскости, представленном на рис. 11.

Если пластина разбита на множество конечных элементов, то такой выбор функции перемещений внутри каждого конечного элемента приводит к тому, что функция, например, , геометрически представляющая собой некую поверхность над и(или) под пластиной, будет выглядеть как бы выложенной набором плоскостей (рис. 12), а функция напряжения – в виде дискретных столбиков с горизонтальными вершинами в площади каждого конечного элемента (рис. 13).

В случае, когда пластина имеет произвольную форму, нагружена системой внешних сил и разбита на конечные элементы треугольной формы, для каждого конечного элемента возникает задача определения сил, действующих в каждом

узле каждого конечного элемента.

Конечные элементы связаны с другими конечными элементами только в узлах. Следовательно, взаимодействие конечных элементов друг с другом происходит через узлы. В узлах передаются силы от одного КЭ к другому.

Очевидно, что для получения системы сил, действующих на каждый конечный элемент необходимы дополнительные условия.

Пусть требуется найти напряженно-деформированное состояние плоской пластины (рис. 14), находящейся под действием системы распределённых нагрузок, приложенных к её сторонам (нагрузки находятся в равновесии, т.е. суммарные силы от этих нагрузок соответственно по осям х и у равны нулю).

При решении задачи методом конечных элементов пластину разбивают на треугольные панели – конечные элементы и внешние распределённые нагрузки заменяют силами, сосредоточенными в узлах конечных элементов в виде компонентов по осям x и y.

Например, для 9 - го узла, лежащего на границе, такими внешними компонентами будут силы и .

Рассмотрим в качестве примера узел 9 и примыкающие к нему конечные элементы 4, 6 и 17 (рис. 15). Очевидно, что от действия внешней нагрузки на конечные элементы 4, 6 и 17 в 9-ом узле действуют действуют силы (нижняя часть рисунка 15).

Если для простоты понимания воспринимать узел 9 как физическое тело, то на узел будут действовать эти же силы , только направленные в противоположную сторону, а также силы и (верхняя часть рисунка 15).

Из условия равновесия узла получим:

Для узла 8, где отсутствуют внешие силы, уравнения будут иметь такой вид:

Такие условия равновесия можно составить для всех узлов пластины.

Но очевидно, что из системы двух уравнений, составленных, например, для граничного узла 9, невозможно определить все шесть неизвестных .

И это естественно. Конечные элементы 4, 6 и 17 (даже в простейшем случае, когда они изготовлены из одного материала одинаковой толщины) имеют разную форму и разную площадь, и хотя бы поэтому имеют разную жесткость. Т.е., сопротивляются приложенным к ним силам по-разному.

Поэтому пераспределение сил между конечными элементами 4,6 и 17 будет происходить и из-за разной жесткости этих конечных элементов согласно уравнению (6). Но так как все конечные элементы взаимодействуют между собой, каждый элемент нельзя рассматривать отдельно от всех остальных и приходится все конечные элементы объединять в систему, что приводит к образованию системы алгебраических уравнений, записываемых в матричной форме следующим образом.

(11)

Здесь векторы и , соответственно, включают все силы, действующие в узлах конечно-элементной сетки, и все перемещения этих узлов в направлении действия этих сил, а матрица - есть сумма матриц жесткости конечных элементов, образующих систему.

Чтобы исключить перемещения пластины как твердого тела, необходимо ввести условия закрепления пластины; если пластина закреплена в каких-то точках, то соответствующие перемещения нужно принять равными нулю и исключить соответствующие этим перемещениям строки и столбцы; если пластина закреплена по всей стороне, то следует приравнять нулю перемещения всех узлов этой стороны.

После решения этой системы и определения перемещений в узлах определяются напряжения по формула (3) или (10).

На этом решение задачи расчета пластины, разбитой на конечные элменты,заканчивается.

1.4. Виды напряжений.

Напряжения имеют размерность Н/см². Это означает, что сила делится на площадь квадрата со стороной в 1см. В центре квадрата находится интересующая нас точка. Поэтому чаще говорят о напряжениях в точке.

Так как сила перпендикулярна площадке, то и напряжения направлены по нормали к ней. Но так как оси x и y ориентированы относительно пластины произвольно, то, следовательно, направления и значения напряжений и в выбранной точке тоже являются произвольными и действуют в площадках, произвольно ориентированных относительно пластины.

Помимо нормальных напряжений и , касательных напряжений при оценке напряженного состояния плоского объекта используют и другие напряжения.

Если в плоском нагруженном теле выделить произвольно ориентированный квадрат, то в нём можно определить нормальные и и касательных напряжений (рис. 16)

Если это плоское тело соотнести с координатами X и Y и квадрат сориентировать по этим осям (Рис. 17), то нормальные напряжения будут обозначаться, как и и , а касательные - как . Предположим, что основные напряжения , и нам известны. Тогда напряжения на произвольной площадке, нормаль к которой составляет угол с осью , определяются по формулам:

Возникает вопрос, как должны быть ориентированы площадки, чтобы напряжения в них были максимальными. Как оказалось, такое положение площадок является единственным, касательные напряжения в них равны нулю, нормальные напряжения в них называются главными, а сами площадки, также называемые главными, перпендикулярны по отношению друг к другу (рис. 18).

Главные напряжения для плоского напряженно-деформированного состояния определяются по формулам:

называтся 1-ым и 2-ым главными напряжениями, а угол наклона главных площадок к оси x – формулой:

Эти напряжения играют важную роль в характеристике напряженного состояния объекта.

Таким образом, в точке рассчитываются множество напряжений и когда, например, требуется оценить общую картину изменения напряжений в пластине или определить, разрушится ли пластина в этой точке или нет, приходится принимать во внимание все напряжения, сравнивая их с допускаемым напряжением для данного материала.Но так как все основные напряжения действуют одновременно и каждое из напряжений вносит свой довесок в общую картину напряжений, то оно может как увеличить, так и уменьшить опасность разрушения. Поэтому сравнение только каждого из них в отдельности с допускаемым напряжением не придает уверенности в решении вопроса, разрушится ли пластина или нет.

Приходится создавать и применять свертки множества напряжений к неким интегральным напряжениям, называемым в сопромате эквивалентными.

Для подсчета эквивалентных напряжений в сопротивлении материалов разработали специальные теории, называемыми теориями прочности, каждая из которых находит применение в зависимости от вида материала, типа деформации, вида разрушения и т.п. факторов.

Для случая изотропного материала и плоского напряженного состояния наиболее используема так называемая четвертая теория прочности, по которой эквивалентное напряжения подсчитыватся по формуле:

При анализе состояния плоского объекта приходится оценивать все напряжения, как основные, так и производные от основных, ибо никогда не ясно изначально, какие напряжения окажутся наиболее опасными, особенно если принимать во внимание вопросы устойчивости, которые приходится рассматривать в случае сжимающих (отрицательных) напряжений.

Поэтому оценка многомерного напряженного состояния является далеко не тривиальной задачей и требует от исследователя знаний, опыты и умения сопоставить вклад разных типов напряжений в общее напряженное состояние конструкции.

1. Общая схема реализации метода конечных элементов в перемещениях

Рассчитываемая этим методом конструкция расчленяется на конеч­ные элементы (балки, стержни, пластины), соединяемые с соседними элементами в узлах. За неизвестные принимаются перемещения узлов, а перемещения внутренних точек элемента выражаются через них.

Элементы считаются нагруженными в узлах силами, которые оп­ределяются из условия их эквивалентности фактическому нагружению сторон. Расчетные уравнения для определения перемещений узлов обычно полу­чаются путем применения к системе принципа Лагранжа, что соответ­ствует условию равновесия внутренних и внешних сил в узлах или мо­гут быть получены непосредственно из этих условий, как это показано в предыдущем разделе.

В данных уравнениях узловые силы выражаются через перемещения узлов и через матрицу жесткости системы. При рассмотрении условий равновесия узлов видно, что мат­рица жесткости системы получается суммированием матриц жесткости всех элементов. Матрицы жесткости отдельных элементов находятся сначала в местной системе координат, обычно лежащей в плоскости элемента, а затем преобразовываются к общим глобальным координатам.

Полученная система уравнений решается с использованием граничных условий и находятся перемещения узлов, по которым оп­ределяются узловые силы и напряжения в элементах. Общую блок-схему расчета конструкций по методу конечных элементов для задач прочности можно представить следующим образом (рис. 19):