12PosobKR2015 (1013897), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Аналогично происходит и при нагружении пластин.

По найденным перемещениям можно определить деформации , , :

(2)

Здесь - деформация сдвига, а формулы (2) называются соотношениями

Коши. Из формул обобщенного закона Гука для плоского деформированного состояния определяются напряжения

Значения напряжений и являются конечной целью расчета на прочность.

1.3. Формулировка плоской задачи теории упругости в терминах и представлениях метода конечных элементов.

Плоская задача теории упругости, как мы видели ранее, описывается разрешающими уравнениями (1). В качестве неизвестных здесь выступают перемещения точек тела:

.

Как мы знаем, при решении задач методом конечных элементов объект (в нашем случае пластину) разбивают на треугольные (чаще всего) конечные элементы. За неизвестные принимаются перемещения узлов на границах элементов, на которые расчленена вся конструкция.

Необходимо предупредить, что развернутая запись формул МКЭ имеет весьма громоздкую форму. Поэтому чаще всего их записывают в матричном виде.

Напомним, что основным этапом при построении решения методом конечных элементов является составление интерполирующего полинома для используемого конкретного конечного элемента.

Поясним процедуру МКЭ на одномерной задаче, как наиболее удобной для понимания. Имеем (рис.1.1.) прямолинейную балку длиной ab на двух опорах, нагруженную снизу неравномерной распределенной нагрузкой

Рис.1.1

Балка аb –закрепленна в точках a и b от перемещений вдоль осей Х и Y, но имеет возможность поворачиваться в этих точках. Под воздействием сил балка выгнется вверх и займет положение, изображенное на рисунке штриховой линией. Очевидно, что длина балки увеличится, в результате чего она будет испытывать во всех точках деформации растяжения и изогнётся, а следовательно будет испытывать во всех точках изгибные деформации. Зная деформации можно будет подсчитать напряжения, а зная напряжения и их допускаемые значения можно будет установить, разрушится ли балка или нет, а если разрушится, то в каких точках. Итак, получается, что задача расчета на прочность по большей части заключается в нахождении функции прогиба . Для нахождения этой функции необходимо решить дифференциальное уравнение изгиба балки, нагруженной поперечной неравномерно распределенной нагрузкой q(x):

Для решения этой задачи разделим эту балку на произвольное число отрезков не обязательно равной длины . На рисунке 1.2 отрезков, которых будем называть в дальнейшем конечными элементами, изображено 9. В методе конечных элементов конечные элементы – это не абстрактные математические понятия, а физические тела, которые могут перемещаться, деформироваться, изгибаться. Каждый из этих конечных элементов заканчивается узлами, обозначенными черными сплошными прямоугольниками. Каждый из этих узлов переместится в результате деформации балки и займет какое-то место. Если предположить, что штриховая линия и есть функция, удовлетворяющая дифференциальному уравнению (), то тогда штриховая линия есть точное решение этой задачи, а черные кружки – истинные положения узлов конечных элементов, которые они должны занять в результате деформации балки. Ещё одно замечание: если бы мы могли точно знать решение (формулу) дифференциального уравнения ( ), то тогда бы в любой точке мы могли бы по формуле подсчитать деформации, а с ними и напряжения в любой точке изогнутой балки. Но МКЭс математической точки зрения - приближенный метод решения дифференциальных уравнений и поэтому мы понимаем, что точного решения нам никогда не достичь и придется согласиться на приближенное решение. Это приближенное решение и является нашей целью. Его получают, заменяя искомую функцию на длине конечного элемента какой-либо простой функцией, а так как любую функцию, в том числе и простую, можно представить с какой-то точностью в виде полинома, эти простые функции называют интерполирующими полиномами, так как они должны обязательно проходить через точки на кривой.

В результате искомая функция, например, функция перемещений на всей площади рассчитываемого объекта представляется составленной из интерполирующих полиномов (рис. 1.2 ).

Математически точно доказано, что для того, чтобы решение методом конечных элементов задач, описываемых дифференциальными уравнениями, было достоверным и сходилось при увеличении числа конечных элементов необходимо, чтобы степень интерполирующих полиномов была n ≥ 2m -1, где 2m – степень (по производным) дифференциального уравнения.

Так как максимальная степеньуравнений (1) равна 2 (2m = 2), то степень интерполирующего полинома для этой задачи будет равна n = 2m –1= 1.

Поэтому принимают, что перемещения любой точки внутри треугольного элемента зависят от координат точки линейно, т.е.:

(4)

Установим зависимость между перемещениями узлов треугольного элемента

и действующими на узлы силами (рис. 10).

Рис. 10.

Применяя первую формулу из (4) получим:

; ; ;

Отсюда определяем коэффициенты выражая их через координаты узлов. Аналогично, записав вторую формулу из (4) для перемещений узлов, выразим через координаты узлов. Подставив найденные значения в формулы (4), получим:

(5)

где , а остальные коэффициенты получаются круговой перестановкой индексов .

Величина представляет собой площадь треугольника, при этом:

, где означает определитель матрицы.

Вектор нагрузок и вектор перемещений узлов связаны знаменитым уравнением , (6)

имеющим простой физический смысл, знакомый из школьной физики (когда, например, рассмотривалось растяжение пружины), а именно: «Если к пружине жесткостью K приложить силу, равную , то пружина растянется на величину, равную ».

Кстати, такая ясная формулировка чрезвычайно способствовала пониманию и распространению метода конечных элементов.

Для матрицы жесткости элемента имеем формулу

, (7)

где t – толщина пластины, - матрица упругости элемента, а ,

Матрицу жесткости записывают в виде:

(8)

Если произвести перемножение матриц в формуле (7),

то для коэффициентов получаются такие формулы:

Понятно, что запрограммировав эти формулы один раз, можно получить составляющие матрицы жесткости любого треугольного конечного элемента, для которого интерполирующий полином принят в виде (4).

Итак, имея формулы (5) для перемещений, по формулам Коши находят деформации в точке пластины:

, (9)

где вектор - вектор перемещений узлов.

Напряжения выражаются формулами (3). В матричной записи это выглядит так:

или . (10)

В другой форме: .

Последовательность действий будет такой:

1. Определяем матрицу жесткости по формуле (8).

2. Из уравнения (6) определяется вектор перемещений .

3. По формулам (5) получаем уравнения полиномов .

4. По соотношениям (9) определям вектор деформации .

5. С помощью формул (3) или (10) получаем значения напряжений .

Учитывая, что производные от являются константами, напряжения для всех точек конечного элемента будут тоже постоянны. Очевидно, что в реальной треугольной пластине, к узлам которой приложены силы распределение напряжений не может быть постоянным. Полученный результат есть следствие выбора интерполирующего полинома первой степени в качестве функции, приближенно описывающей изменение перемещений внутри конечного элемента,

Если пластина имеет треугольную форму, состоит из одного конечного элемента и находится под действием системы сил , которые в таком случае будут для пластины внешними силами, то тогда задача решается в соответствии с пп. 1-5. Как видим, для расчета напряжений надо иметь значения вектора , приложенного в узлах элемента.

Снова напомним, что если будет существовать результирующая действия всех этих внешних сил, то пластина станет перемещаться в сторону этой результирующей и вместо задачи статики мы получим задачу динамики. Но в задачах деформации пластина никуда не передвигаться. Она деформируется, но вся в целом не перемещается. Следовательно, для решения задачи деформации рассматриваемой треугольной пластины, находящейся под воздействием системы сил в трёх узлах, необходимо, чтобы результирующая всех сил, действующих на эту треугольную пластину, была равна нулю. Иными словами, прикладывать такие силы, сумма проекций которых на оси Х и Y равнялись нулю.

Характеристики

Список файлов книги