12PosobKR2015 (1013897), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Рассмотрим простейшую задачу о растяжении стержня (рис. 4).

Рис. 4.

Здесь Р – сила, действующая на стержень длиной L и площадью поперечного сечения F. Напряжения в стержне будут . Если сила будет в ньютонах, площадь – в квадратных сантиметрах, то размерность напряжений будет Под действием силы Р стержень растягивается на длину , которую называют абсолютным удлинеием. Безразмерную величину называют относительным удлинением или линейной деформацией .

Закон упругости справедлив, пока напряжение не достигает определенного предела, называемого пределом упругости - . (Рис. 5).

Опре­деление этого предела довольно условно; при испытаниях, располагая аппарату­рой разной чувствительности, можно обнаружить отклонение от закона упругости при больших или меньших напряжениях. На­пряжение, до которого справедлив линейный закон, называют пре­делом пропорциональности . Замечание об условности определения относится в равной мере и к пределу пропорциональности. При деформации тела до этого предела (точка «а» рис.5.), тело возвращается к прежнему состоянию при удалении нарузки. Если тело деформируется до состояния, например, обозначенном буквой «с», к прежнему состоянию оно уже не вернется и останется деформированным до состояния . Понятно, что такого состояния стараются избегать (никто не желает ездить на велосипеде с изогнутой вилкой).

Для огромного большин­ства материалов закон упругости с большой точностью может считаться линейным и его можно записать следующим образом:

σ = Еε .

Коэффициент пропорциональности Е является физической константой для данного материала и называется модулем упругости первого рода, иногда - модулем упругости на растяжение и сжатие, иногда – модулем Юнга, а соотношение носит название закона Гука.

Поэтому задачи в пределах действия закона Гука (при малых деформациях, обычно существенно меньших 1 %) называют физически линейными задачами, а за пределами закона Гука – физически нелинейными задачами. Человечество научилось их решать, пытаясь использовать всю несущую способность материала. Правда такие задачи решаются значительно труднее, более сложно и менее точно. Ими мы заниматься не будем.

Модуль упругости Е определяется путём экспериментов с данным материалом и характеризует способность материала сопротивляться деформации, так как при постоянном с увеличение Е уменьшаются деформации . Следовательно, модуль Е можно рассматривать как характеристику жесткости материала при растяжении и сжатии. Очевидно, что сталь более жесткая, чем дюралюминий, а, тем более, резина. Поэтому модуль Е для стали ( 2 ) более, чем в два раза больше модуля Е для дюралюминия ( ) и, более, чем в 20000 раз больше, чем у резины ( ). Здесь Мпа – Мега Паскаль, 1 па = 1Н/м² , 1Мпа=1 10⁶па= 100Н/см².

Существует ещё модуль упругости при сдвиге .

В идеальном случае (при чистом сдвиге) деформируемый материал не меняет своего объема; произвольный малый элемент деформирукмого тела меняет только форму (рис.6). При сдвиговых деформациях возникают касательные напряжения и соотношение

называют законом Гука при сдвиге.

Несколько слов о коэффициенте Пуассона . Коэффициент Пуассона - величина отношения относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец.

При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться в продольном направлении, а поперечное сечение уменьшается. Коэффициент Пуассона показывает, во сколько раз относительное уменьшение поперечного размера деформируемого тела больше относительного увеличения его длины, при его растяжении. Для абсолютно хрупкого материала коэффициент Пуассона равен 0, для абсолютно несжимаемого — 0,5. Для большинства сталей этот коэффициент лежит в районе 0,3, для резины он примерно равен 0,5.

Коэффициент Пуассона и модуль Юнга E полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала (модуль сдвига вычисляется через эти величины).

Считается, что механика деформируемого твердого тела как наука развивается со времён Роберта Гука (1635—1703), когда гениальный английский матема­тик и физик сформулировал свой знаменитый закон, носящий его имя. Гениальным его можно считать хотя бы потому, что он обнаружил прямую пропорциональность зависимости удлинения струны от величины подвешенного на ней груза (закон Гука), открыл явление интерференции, выдвинул идею о волнообразном распространении света и всю жизнь дискуссировал с великим Ньютоном, который, в частности, оспорил приоритет Гука в формулировке закона всемирного тяготения.

Можно быть уверенным, что хотя бы только из-за длительности развития этой науки в ней сделано очень и очень много и можно только представить, до каких сложнейших физико-математических представлений она в настоящее время развилась. Сейчас МДТТ относится к фундаментальным отраслям знаний и задачи, решаемые в ней, описываются, как правило, дифференциальными уравнениями в частных производных или системами таких уравнений, наподобие системы (1).

Этот комплекс дисциплин занят нахождением ответа на извечный вопрос: сломается ли конструкция или нет, а если не сломается, то нельзя ли уменьшить (и на сколько), например, площадь поперечного сечения стержня, величину толщины пластины и т.п. без последующего разрушения?

Для того, чтобы понять, как инженеры отвечают на эти вопросы придется обратиться к начальным знаниям в этой области, рассмативаемых, кстати, в сопромате.

Например, если на растянутый стержень с площадью поперечного сечения F действует сила Р (рис. 4), то, как мы уже это видели, можно определить напряжение, действующее в поперечном сечении стержня, .

Каждое тело изготовлено из какого-то материала, которое имеет предельное значение напряжений, которое оно может выносить без разрушения. Как мы уже видели, эти предельные значения люди получают в результате экспериментов, заносят в таблицы и таким образом для каждого материала в справочниках можно найти эти цифры.

Такие напряжения называются допускаемыми и обозначаются как .

Очевидно, что если действующие напряжения в стержне площадью F (от внешнией силы F) будут больше предельных (допускаемых), то стержень разрушится. Следовательно, условие неразрушения конструкции записывается как

Это условие обычно называют условием прочности.

Отсюда возникает необходимость вычисления действующих напряжений . В случае растянутого стержня они вычисляются просто. Во всех остальных – очень сложно, так как на рассчитываемый объект действует много сил, объект имеет, как правило, не простую форму и, наконец, представляет собой комплекс элементов, сложнейшим образом взаимодействующих друг с другом. Не надо забывать, что само представление напряжения в стержне тоже носит модельный характер, так как приходится мысленно распределять равномерно силу Р по всей площади F, представлять её абсолютно перпендикулярной поперечному сечению стержня, считать стержень абсолютно прямым, все поперечные сечения стержня – абсолютно равной площади, считать неизменными характеристики материала вдоль всей длины стержня и т.д. и т.п. Короче – формула напряжений для стержня тоже является приближенной.

Несмотря на все эти оговорки, основной задачей при расчете конструкций на прочность была и остается задача определения напряжений, которые возникают в теле, когда на него действуют силы.

Для того, чтобы понять, каким образом рассчитываются напряжения, вернемся к уравнению (1).

Если плоское тело отнести к координатам X и Y, то любая точка этого тела будет иметь конкретные координаты в этих осях. Если на тело действуют какие-то силы, то все точки тела начнут перемещаться. Если тело не закреплено, то согласно закону Ньютона, оно начнёт передвигаться в направлении действия результирующей сил. Это задача динамики, которая не относится к кругу тем, рассматриваемых в данном пособии.

Если же тело закреплено, то все незакрепленные точки этого тела всё равно будут изменять своё положение в результате деформации тела, но на очень небольшие расстояния, так как материал, из которого изготовлено тело, обычно достаточно жесткий (например, сталь). Итак, в общем случае при приложении сил незакрепленные точки тела будут перемещаться в пространстве. Для нашей задачи считаем, что все точки будут перемещаться в плоскости. Т.е. плоская пластина до деформации будет оставаться плоской и после приложения сил. Это, конечно, опять допущение, сделанное с целью упрощения задачи, потому что реализовать на практике в точности такую задачу невозможно по многим причинам: нельзя изготовить абсолютно плоскую пластину, нельзя изготовить плоскую пластину абсолютно одинаковой толщины, характеристики материала обязательно имеют отклонения в разных точках пластины, нельзя реализовать силы, действующие абсолютно в плоскости пластины и т.д. Все эти отклонения приводят к тому, что на самом деле плоской задачи не существует, но инженеры применяют эту модель в силу её относительной простоты, а также потому, что во многих практических задачах такое представление дает удовлетворительные результаты при расчетах.

Составляющие перемещений этих точек обычно обозначают u и . Первое – это перемещение точек вдоль оси Х, второе – вдоль оси Y. Для простоты лучше сначала разобраться с одним перемещением, скажем, с перемещением точек вдоль оси Y. Итак, каждая точка с координатами и в результате деформации передвинется вдоль оси Y на конкретное расстояние . Тогда для каждой точки этого тела с координатами и имеем своё значение перемещения (Рис.7). Если в изометрии для каждой точки с координатами и теперь изобразить в виде столбика значение (Рис. 8), то множество этих значений образуют поверхность = (x, y) (рис. 9). Аналогично будет и для перемещений u = u (x, y ).

Рис. 9.

Понятно, что при более точном решении функция получится несколько иной и более гладкой.

Таким образом, при решении уравнений (1) отыскиваются две функции, каждая из которых представляет собою поверхность . После нахождения этих функций в каждую из них можно подставить любую комбинацию координат и (соответствующую области определения этих функций) и определить значения перемещений и вдоль осей Х и Y. Т.е. определить, на сколько сантиметров передвинется в результате деформации эта точка вдоль осей Х и Y.

Но для чего их искать? Как ни странно, сами значения перемещений конкретных точек для расчета напряжений нам не нужны. Нам нужны производные от перемещений - деформации.

Снова вернемся к задаче о стержне (рис. 5). Бесконечно малый участок стержня длиной в результате растяжения всего стержня стал длинее на . В общем случае (например при растяжении стержня под собственным весом) удлинение будет разным в зависимости от координаты х. Отсюда, в любой точке стержня можно подсчитать деформации уже в дифференциальной форме .

Характеристики

Список файлов книги