rpd000003080 (161400 (24.05.05).С1 Прицельно-навигационные системы ЛА), страница 3

где вектор - прогнозируемый промах, который будет иметь место после проведения -ой коррекции; - коэффициент, представляющий собой частную производную прогнозируемого промаха по управлению, ; - случайная ошибка реализации корректирующего импульса, о которой известен лишь диапазон ее возможных значений ; -число коррекций. Значение характеризует начальный промах.

Поставим задачу определения закона управления , которые гарантируют выполнение условия

,

или, что то же самое

.

При минимальных энергозатратах, оцениваемых величиной

В приведенной записи через обозначено множество допустимых возмущений .

Решение задачи Для решения задачи составим обобщенный критерий вида:

,

где компонента не зависит от возмущений . Множитель , присутствующий в выражении для критерия подлежит определению в процессе оптимизации.

Для отыскания управляющей последовательности воспользуемся рекуррентным соотношением. Для этого рассмотрим последовательные моменты времени В частности, для момента имеем:

,

где

Для отыскания оптимального управления из условия минимума функции будущих потерь необходимо прежде всего определить функцию максимума .

Поскольку, зависимость линейна по возмущению максимум этой функции всегда будет достигаться на границе интервала допустимых значений, либо при значении , либо при . Поэтому исследуем две зависимости

Рассмотрим поведение этих зависимостей, полагая сначала, что . На рисунке приведен качественный вид зависимостей , при фиксированном значении

Функция принимает значение равное 0 в точке . Аналогично функция при . Поскольку , а значение лежит правее значения

Так как зависимость линейна по управлению , следовательно, график функции образован двумя прямыми, исходящими из точки и имеющими одинаковый (по модулю) наклон. Это же справедливо и в отношении зависимости с той лишь разницей, что наклон прямых, образующих эту зависимость больше, чем наклон прямых зависимости . При такой конфигурации зависимостей , функция максимума

имеет вид зависимости, выделенной на рисунке жирной линией. Очевидно, что минимум функции по управлению достигается в точке , полученной в результате пересечения прямых

Значение

Перейдем теперь к определению оптимального (гарантирующего) управления из условия . Воспользуемся вновь графической иллюстрацией. Для этого совместим на одном графике зависимости и . Качественный вид этих зависимостей приведен на следующем рисунке, где жирной линией выделена функция при фиксированном значении

Легко видеть, что в зависимости от значения множителя оптимальное управление , при котором достигается минимум функции будущих потерь определяется условиями

,

где

Гарантированная оценка конечного промаха определяется значением и равна

Здесь через обозначено управление, которое принадлежит интервалу при или, что тоже самое, при

Соответственно выражение для функции будущих потерь

Зависимость оценки конечного промаха от множителя или, что то же самое, от параметра приведена на следующем рисунке

Предположим теперь, что Тогда в зависимости от значений и возможны три случая.

Случай 1. . Подобная ситуация интереса не представляет, поскольку заданная конечная точность уже достигнута, а значит, необходимости в проведении коррекции нет.

Случай 2. является основным. Он возникает при выполнении условия:

Если это условие имеет место, о удается найти «особое» управление, при котором заданная точность гарантируется и данная коррекция является единственной. Поскольку при этом , то из выражений для имеем следующее уравнение для определения управления

,

откуда находим

Функция будущих потерь при этом

Объединяя полученный результат с ранее рассмотренным для случая и полагая при этом, что момент - единственный момент управления, можно окончательно записать следующие выражения для алгоритма гарантированного управления:

Для функции будущих потерь имеем

Для гарантированной оценки конечной точности имеем

Случай 3. возникает, если . Это означает, что заданная точность не может быть достигнута при проведении одной коррекции и необходимо проведение, по крайней мере, еще одной. Алгоритм оптимального управления в этом случае может быть найден с помощью рекуррентного соотношения

определения алгоритма ак, полагая, что одноимпульсная коррекция не обеспечивает достижения требуемой точности, считая для момента имеем

,

где

,

Видим, что эти выражения полностью повторяю выражения, рассмотренные раннее для случая , поэтому процедура -ой коррекции подобна ранее рассмотренной. Применяя эту процедуру последовательно для моментов времени

, получаем следующую систему рекуррентных соотношений для определения гарантирующей стратегии управления при любом заданном числе коррекций.

Структура алгоритма оптимальной коррекции

где

Оценка конечной точности

Функция будущих потерь при отсутствии решения на - ом шаге ,

где

Заметим, что , если при некотором в результате применения приведенных выше соотношений для оказалось, что , то и, следовательно, весовой коэффициент может быть найден из условия

Таким образом, для решения задачи о поиске минимально возможного числа коррекций, необходимого для достижения заданной конечной точности, следует варьировать число коррекций от некоторого начального, например, , с шагом 1 и при каждом фиксированном применять процедуру определения коэффициентов , , изменяя от до 1.

ПЗ1.doc

Практическое занятие 4. Алгоритм оптимальной коррекции траектории летательного аппарата .

Постановка задачи. Для иллюстрации применения достаточных условий оптимальности рассмотрим задачу коррекции траектории движения космического аппарата. Учитывая силы, обеспечивающие выведение КА на межпланетную траекторию и возможные ошибки, возникающие в процессе выполнения этой операции, будем полагать, что траектория пройдет на расстоянии от планеты, называемом промахом. Считается, что мы имеем возможность прогноза значения промаха для любого момента времени. Для проведения коррекции траектории используется двигательная установка, Включение ДУ в некоторый момент времени приводит к тому, что конечный промах изменяется по следующему закону

где вектор - прогнозируемый промах до проведения коррекции; - управляющий импульс скорости в момент , создаваемый ДУ; - коэффициент, характеризующий эффективность управления; - центрированная, нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием с заданной дисперсией . Считается, что количество коррекций и значения эффективностей - заданы. Кроме того, известно что начальное значение - центрированная, нормально распределенная случайная величина с дисперсией .

Поставим задачу определения закона управления , который обеспечивает среднеквадратическое значение конечного промаха, не больше заданного, то есть

,

при минимальных затратах топлива.

Затраты топлива в процессе коррекции будем оценивать с помощью критерия

.

Прежде чем перейти к решению задач 1 и 2, преобразуем модель исследуемой системы, записав ее в виде

где - аддитивная случайная ошибка с характеристиками:

Решение задачи. Введем новый функционал

Весовой множитель подлежит определению из условия . Допустим, что весовой коэффициент задан. Тогда можно воспользоваться результатами синтеза оптимального управления для линейной стохастической системы, оптимизируемой по квадратичному критерию.

Учитывая, что в данном случае нет мультипликативной составляющей случайной ошибки, а , , - скалярные величины запишем выражение для функции будущих потерь

.

Закон оптимального управления

,

где

Поскольку параметры зависят от , следовательно, и управление зависит от . Для определения необходимо найти дисперсию конечного промаха, который возникает при движении системы из случайного начального состояния в конечное, при оптимальном законе управления . Совершенно ясно, что эта дисперсия также будет функцией параметра .

Ведем в рассмотрение оценку конечной точности, представляющую собой квадрат промаха, возникающего при движении КА из некоторого произвольного состояния в конечное , с оптимальным законом управления. Эту оценку обозначим как . Очевидно, что при

Для следует