rpd000004569 (210400 (11.03.01).Б2 Радиофизика и электроника), страница 6

а) , ;

б)

в) ,

г) , ;

д) ,

Ответ: а) пересекающиеся в точке ; б) перпендикулярные, скрещивающиеся; в) совпадающие; г) перпендикулярные, пересекаются в точке ; д) параллельные.

8.15. Найти ортогональную проекцию точки на плоскость, проходящую через точку и прямую . Ответ: .

8.16. Найти точку , симметричную точке относительно прямой, проходящей через точки и . Ответ: .

8.17. Составить каноническое уравнение проекции прямой на плоскость . Ответ: .

8.18. Составить уравнение общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым и . Ответ: .

8.19. Установить взаимное расположение пар, образуемых прямой и плоскостью (пересечение, перпендикулярность, параллельность, принадлежность прямой плоскости):

а) , ;

б) ;

в) ; ;

г) .

Ответ: а) прямая пересекает плоскость в точке ; б) прямая перпендикулярна плоскости и пересекает ее в точке ; в) прямая параллельна плоскости; г) прямая принадлежит плоскости.

8.20. Заданы координаты вершин , , треугольника . Составить уравнения прямых, проходящих через вершину и содержащих медиану, высоту и биссектрису треугольника, а также уравнение серединного перпендикуляра к стороне , принадлежащего плоскости треугольника.

Ответ: ; ;

8.21. В пространстве заданы три прямые:

; .

Найти величину угла между скрещивающимися прямыми. Составить общее уравнение плоскости, проходящей через параллельные прямые.

Ответ: ; .

8.22. Заданы координаты вершин , , , треугольной пирамиды . Требуется:

а) составить общее уравнение плоскости грани ;

б) найти расстояние от вершины до плоскости грани ;

в) найти величину угла между плоскостями граней и ;

г) найти угол между ребром и плоскостью грани пирамиды;

д) найти проекцию вершины на плоскость основания ;

е) составить каноническое уравнение прямой, проходящей через вершину и точку пересечения медиан треугольника ;

ж) найти угол между прямыми и ;

з) найти расстояние между прямыми и ;

и) найти ортогональную проекцию вершины на прямую ;

к) составить уравнение прямой, симметричной прямой относительно плоскости основания .

Алгебраические линии и поверхности второго порядка.doc

Занятие 9. Алгебраические линии и поверхности второго порядка.

9.1. Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду (определить название линии, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат, указать формулы преобразования координат и построить линию в исходной системе координат):

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) .

Ответ: а) эллипс ; , ; б) гипербола ; , ; в) парабола ; , ; г) пара пересекающихся прямых ; , ; д) эллипс ; , ; е) гипербола ; , ; ж) парабола ; , ; з) пара пересекающихся прямых , , ; и) пара параллельных прямых , , . Формулы преобразования координат определяются неоднозначно.

9.2. На координатной плоскости изобразить эллипсы

а) ; б) .

Для каждого эллипса найти фокусное расстояние, коэффициент сжатия, фокальный параметр и эксцентриситет, координаты центра, фокусов и вершин.

9.3. На координатной плоскости изобразить гиперболы

а) ; б) .

Для каждой гиперболы найти фокусное расстояние, фокальный параметр и эксцентриситет; координаты центра, фокусов и вершин, составить уравнения асимптот.

9.4. На координатной плоскости изобразить параболы

а) ; б) ; в) .

Для каждой параболы найти ее параметр, координаты вершины и фокуса, составить уравнение директрисы.

9.5. Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду (определить название линии, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат и построить линию в исходной системе координат):

а)

;

б) ;

в) .

9.6. Определить названия линий второго порядка, получающихся в сечениях поверхности плоскостями: а) ; б) ; в)  .

Ответ: а) гипербола; б) пара пересекающихся прямых; в) гипербола.

9.7. Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду (определить название поверхности, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат, указать формулы преобразования координат и построить поверхность в исходной системе координат):

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

Ответ: а) однополостный гиперболоид (вращения) ; , , ; б) конус (круговой) ; , ; в) параболический цилиндр ; , , ; г) эллипсоид ; , , ; д) конус ; , , ; е) двуполостный гиперболоид ; , , ; ж) гиперболический параболоид ; , , . Формулы преобразования координат определяются неоднозначно.

9.8. Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду (определить название поверхности, составить каноническое уравнение, найти каноническую систему координат и построить поверхность в исходной системе координат):

а) ;

б) .

Линейные пространства.doc

Линейные пространства

12.1. Выяснить, является ли линейным пространством данное множество радиусов-векторов с обычными операциями сложения векторов и умножения вектора на число:

а) множество радиусов-векторов, параллельных данной прямой;

б) множество радиусов-векторов, перпендикулярных данной прямой;

в) множество радиусов-векторов, параллельных данной плоскости;

г) множество радиусов-векторов, перпендикулярных данной плоскости;

д) множество единичных радиусов-векторов;

е) множество радиусов-векторов, образующих с данной прямой угол величиной . Ответ: а) да; б) да; в) да; г) да; д) нет; е) нет.

12.2. Выяснить, является ли линейным пространством данное множество функций, определенных на , с обычными операциями сложения функций и умножения функции на число ( , ):

а) множество четных функций ( );

б) множество нечетных функций ( );

в) множество периодических функций (с разными периодами);

г) множество периодических функций (с одним и тем же периодом);

д) множество возрастающих функций;

е) множество ограниченных функций;

ж) множество функций, разрывных в нуле.

Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) да; д) нет; е) да; ж) нет.

12.3. Выяснить, является ли линейным пространством данное множество матриц с обычными операциями сложения матриц и умножения матрицы на число:

а) множество диагональных матриц порядка ;

б) множество верхних треугольных матриц порядка ;

в) множество треугольных матриц порядка ;

г) множество вырожденных квадратных матриц порядка ;

д) множество невырожденных квадратных матриц порядка .

Ответ: а) да; б) да; в) нет; г) нет; д) нет.

12.4. Найти размерность и базис следующих линейных пространств:

а) пространство четных многочленов степени не выше ;

б) пространство нечетных многочленов степени не выше ;

в) пространство тригонометрических многочленов (не выше -го порядка), т.е. функций вида .

Ответ: а) размерность: ; базис: , ,…, ; б) размерность: ; базис: , ,…, ; в) размерность: ; базис: , , , , ,…, , . Искомые базисы определены неоднозначно.

12.5. Доказать, что в заданном линейном пространстве система векторов образует базис. Разложить вектор по данному базису:

а) пространство : , , ;

б) пространство : , , ;

в) пространство : , , , ;

г) пространство многочленов степени не выше второй: , , , .

Ответ: а) ; б) ;

в)  ; г) .

12.6. Найти матрицу перехода от базиса к базису :

а) , , , ;

б) , , , , , .

Ответ: а) ; б) .

12.7. Доказать, что в заданном линейном пространстве система векторов образует базис. Разложить вектор по данному базису:

а) пространство : , , ;

б) пространство : , , , ;

в) пространство многочленов степени не выше второй: , , , .

12.8. Найти матрицу перехода от базиса к базису :

а) пространство : , , , ;

б) пространство симметрических матриц второго порядка: , , , , , ;

в) пространство многочленов степени не выше второй: , , , , , .

12.9. В пространстве заданы подпространства:

а) – множество решений системы уравнений:

б) – линейная оболочка столбцов , , .

Найти размерности и базисы подпространств.

12.10. В пространстве квадратных матриц второго порядка задано множество матриц, перестановочных с матрицей . Показать, что это множество является линейным подпространством в , найти его размерность и базис.

Линейные отображения.doc

. Линейные отображения

и преобразования

13.1. Выяснить, является ли инъективным, сюръективным, биективным, обратимым, линейным заданное преобразование пространства радиус-векторов на координатной плоскости :

а) поворот плоскости вокруг начала координат на угол ;

б) увеличение длины радиус-вектора на единицу при сохранении его направления;

в) симметрия относительно прямой, проходящей через начало координат;

г) сжатие к оси абсцисс с коэффициентом (ордината радиус-вектора уменьшается в раз);