01Hastq_1_2010 (Медицинская техника (лекции)), страница 3

2
.4 Поле монополя (рис 2.6)

Простейшим источником поля является монополь. Это одиночный заряд в пространстве. Для нахождения его поля возьмем сферическое проводящее тело большого диаметра и расположим начало координат в его центре (далее будет ясно, что требование сферичности не обязательно). Поместим в центр небольшой, но то же сферический электрод диаметром D. Подадим на этот электрод плюс V_D источника напряжения, а минус подключим равномерно распределено по всей внешней поверхности сферы. Электрод D станет источником тока. В силу сферической симметрии линии тока будут радиальными и прямыми, а эквипотенциали будут сферами. Площадь S_e каждой из них пропорциональна квадрату радиуса Ŕ (S_e=4πŔ²). Полный ток через эти поверхности для разных Ŕ неизменен, следовательно плотность тока будет убывать обратно пропорционально квадрату расстояния. Соответственно (по закону Ома) так же будет убывать Е. Результат рассуждений показан на рис 2.9.

Т.к. полный ток I монополя не зависит от Ŕ, то U(Ŕ) легко определяется по закону Ома: U(Ŕ) =I*R_Ŕ. Для нахождения поля U достаточно знать значение сопротивления R_Ŕ пространства, внешнего к сфере произвольного радиуса Ŕ. Найдем R_R Разобьем пространство вокруг выбранной сферы 2Ŕ=D на слои малой толщины Δ. Сопротивление одного слоя Δ равно ρ*Δ/4πŔ² (ρ - удельное сопротивление). Искомое внешнее сопротивление R_R равно сумме сопротивлений по всем слоям ∆ до бесконечности (или интегралу по Ŕ в тех же пределах). Проинтегрируем и получим, что сопротивление пространства внешнего к сфере радиуса Ŕ_d равно:

R_Rd=ρ/8πŔ_d.

Следовательно потенциал U спадает как гипербола:

U(R)=I_*ρ/8πŔ.

Значение полного тока I находится как

I=V_D/R_RD=V_D4πD/ρ (D-диаметр сферы источника).

Подставляя значение I в предыдущее выражение получим две формы записи потенциала монополя:

1) U(Ŕ)=V_D*D/2Ŕ первая, и рядом запишем вторую:

2) U(Ŕ)=I_D*ρ/8πŔ, 2Ŕ>D.

В первой формуле не требуется знания удельного сопротивления ρ, а во второй - D. Получен интересный и важный результат: форма поля одинакова для сред с разными ρ - от пустоты до серебра. В одной крайности электростатика, во второй - прекрасно проводящее тело. Это свойство очень полезно: в силу независимости формы поля от ρ мы можем заменять ρ в разных руслах тока без изменения общей структуры поля. Результат имеет практическую значимость: например, приложенный внешний электрод создает поле совпадающее со случаем замены одной половины нашей сферы на пустоту. Т.к. общее поле неизменно, то мы знаем форму поля под электродом совершенно точно, не смотря на неоднородность пространства (см рис 2.6 б).

Для больших Ŕ потенциал U стремится к нулю. Из этого следует важный вывод: форма тела на большом удалении от монополя D не обязательно должна быть сферой: распределение поля в ближней зоне не зависит от контура тела при больших его размерах.

Зная форму поля U нетрудно определить форму напряженности поля Е: надо взять производную в направлении максимального изменения поля. Для сферы это направление совпадает с радиусом, следовательно Е=I_D*ρ/4πŔ². Мы получили квадратичную гиперболу, она спадает быстрее, чем потенциал U и тем более зависимость от формы тела устраняется.

Напряженность Е так же имеет две формы записи:

Е=V_D*D/2Ŕ² и

Е=I_D*ρ/4πŔ², (2Ŕ>D).

Обратим внимание: при постоянном V_D (или I_D) напряженность Е неограниченно возрастает при уменьшении D (R>D). Так острый выступ на большой сфере или волосяной покров на теле становятся точками стока зарядов за счет локального увеличения значения Е. Для типовых размеров клеток порядка 20-50 мкм и типовых потенциалов 50-70 мВ, напряженность поля на их поверхности составляет величину порядка 2 кВ/м. Статические потенциалы на пациенте достигают сотни вольт: в этом случае Е=2000 кВ/м.

Целесообразно привести еще один вид формулы потенциала поля монополя. Центральная сфера монополя D обладает емкостью C=2πεD. Напряжение V_D так же выражается через емкость и заряд: V=q/C. Тогда:

U=q/2πεŔ, E= q/2πεŔ² .

Именно в таком виде выражения для U и E приводятся в справочниках по электростатике.

Зная емкость сферы D и сопротивление R_D внешнего к сфере пространства полезно найти постоянную времени разряда этой сферы τ=RC = ερ/2 . Мы видим, что τ не зависит от диаметра. Для величин ρ, характерных для биотканей, τ примерно равно 10^-12 сек.

Непрерывное убывание поля позволяет очертить границу, за которой монополь не наблюдаем. Эту границу создает уровень собственных шумов пространства. Границу наблюдаемости можно считать границей реального существования поля в конкретной среде.

Для описания поля монополя нужны координаты его центра (x_о,y_о,z_о) и значение ЭДС V_D (на поверхности диаметром D) или полного тока I (плюс ρ среды), т.е пять параметров.

2.5 Поле диполя. Второй важнейший источник.

В
теле человека монополь существует в составе диполя. Диполь является важнейшим видом источников биосигналов. Пусть (как и в случае монополя) мы имеем большое проводящее тело. В центре на расстоянии ℓ друг от друга размещены два сферических электрода с источниками V_D: положительный D+ и отрицательный D-. Электроды D+ и D- образуют диполь (рис 2.10).

Согласно принципа суперпозиции поле диполя U_Д в любой точке А находится как разность полей двух монополей D+ и D-:

U_АД(Ŕ) = (V_D*D/2)_*{1/L₊ - 1/L-} =

= (ρ_*I_D/8 π)_*{1/L₊ - 1/L_-},

где L₊ и L_- - расстояния от точки наблюдения А до центров источников D+ и D-, V_D-напряжение диполя, I_D - ток диполя.. Важно отметить, что сопротивление пространства между сферами D диполя не зависит от расстояния ℓ. (Вы можете проверить этот факт измеряя сопротивление тестером между двумя штекерами погруженными в соленую воду). Это сопротивление равно удвоенному значению сопротивления внешнего пространства монополя, т.е. R_DD = ρ/2π D. Зная R_DD переход от V_D к I_D осуществляется по закону Ома. Точно так же форма поля не зависит от ρ пространства.

В двух крайних случаях формула упрощается. Пусть L+ и L- много больше ℓ. Введем расстояние Ŕ от центра диполя к точке наблюдения А и угол φ между вектором диполя и направлением на точку А. Вектор диполя расположен в центре диполя и направлен к положительному заряду. Обозначения ясны из рис 2.7. После замены L на Ŕ имеем:

U_Д(Ŕ,φ) = V_D (D*ℓ/2Ŕ²)_*cosφ =

=(M /8πŔ²)_*cos φ, Ŕ>>ℓ.

Здесь M = qℓ=4πV_DDℓ= 2ρI_Dℓ; - момент диполя, q - эквивалентный заряд диполя, ℓ -расстояние между диполями D, ρ - удельное сопротивление.

Если точка А внутри диполя и Ŕ<<ℓ, то получаем другое выражение:

U_Д(Ŕ,φ) = 4V_D(D/ℓ²)*Ŕ_*cosφ,

Диаграмма поля U_Д(Ŕ,φ), Ŕ=const в функции угла φ в обоих случаях предстанет в виде восьмерки (см рис 2.7). Это диаграмма направленности поля диполя. В отличие от монополя поле диполя U_Д (при φ = const, Ŕ>>ℓ) спадает уже как квадратичная гипербола (В зоне Ŕ<<ℓ поле нарастает с увеличением Ŕ). Резкое падение поля с расстоянием затрудняет измерение глубоко лежащих от поверхности тела диполей. На оси симметрии между источниками D (перпендикулярно вектору М диполя) поля двух монополей в точности компенсируют друг друга. На этой линии (плоскости) поле диполя равно нулю.

Форма эквипотенциалей поля более сложна, чем восьмерка диаграммы направленности. Для нахождения эквипотенциалей надо зафиксировать конкретное значение U на выбранном уровне (например 1мВ) и находить точки пространства Ŕ, φ, где поле соответствует этому уровню. Форма эквипотенциалей близка к восьмерке, но суженой и дополненной внутренней зоной между электродами D.

Для описания поля диполя кроме координат его центра (x_о,y_о,z_о) требуется знание момента диполя М и двух его направляющих углов θ, φ ( или три проекции М : всего шесть параметров).

2.6. Практическое применение

В реальных случаях повсеместно встречаются две разновидности дипольных систем. У первой дипольное расстояние ℓ очень мало по сравнению с расстоянием до точки измерения. Это клеточные структуры нейронов и мышц при наблюдении поверхностными электродами. Такие диполи удобно характеризовать моментом М. Форма их эквипотенциалей имеет вид восьмерки. Во второй разновидности дипольные центры D расположены на большом расстоянии. Это случай токовых электродов физиотерапевтических приборов, а так же некоторые другие (рис 2.11). Здесь мы интересуемся внутренним полем диполя.

Как и при рассмотрении монополя, мы можем выделить русла тока и произвольно изменять ρ в каждом из них. Общая форма поля не изменяется. Здесь, как и для случая монополя, мы снова получаем практически важный результат: полная картина поля от электродов, расположенных на поверхности тела точно описывается в достаточно простых формулах, несмотря на то, что половина проводящей среды отброшена.

Около каждого электрода поле повторяет форму поля монополя. Между электродами - внутреннее поле диполя. На том же рисунке показано, как источник - диполь, расположенный близко к поверхности черепа формирует внешнее поле, воспринимаемое электродами.

Используя принцип линейности (наложения) несложно определить форму поля для электродов различной формы, например, больших и плоских. Электрод надо заменить композицией множества сферических электродов и находить их суммарное поле.

2.7. Структуры двойного зарядового слоя (ДЗС)

Многие источники биоэлектрических потенциалов имеют протяженные структуры. Клеточная мембрана представ­ляет из себя конденсатор с поверхностью сложной формы. Такие конденсаторы называются структурами двойного зарядового слоя (ДЗС). Большинство биологических структур при деполяризации образуют ДЗС. (ДЗС часто является структурой токового слоя, но выше мы показывали способ перехода от зарядового представления к токовому).