Исследование модели фрактального броуновского движения

Дипломная работа содержит 96 страниц, 24 рисунка, 5 таблиц, 11 источников, 1 приложение.

Фрактальное броуновское движение, фрактальный гауссовский шум, автомодельность, оценка ковариационной функции, оценка параметра Харста, интерполяция, экстраполяция, прогнозирование, фильтрация Калмана-Бьюси.

В данной работе рассматривается теоретические основы фрактального броуновского движения (ФБД), вопросы статистического моделирования ФБД на компьютере, а также применение теории ФБД при статистическом моделировании процессов стохастической системы, описываемых линейным дифференциальным уравнением с возмущениями в виде ФБД.

Оглавление

1. Введение

При статистическом анализе финансовых временных рядов давно было замечено, что многие из них обладают свойствами (статистического) самоподобия, проявляющимися в том, что, образно говоря, их «части устроены так же, как и целое». Например, если - дневные значения финансового индекса, то эмпирические плотности и , , найденные по большому ряду величин

и ,

соответственно, оказываются такими, что

,

где H – некоторая константа, которая (в отличие от ожидаемой, согласно центральной предельной теореме, величины ) значимым образом больше .

Эти наблюдения привели к развитию общей концепции (статистической) автомодельности, приведшей к появлению понятий фрактального броуновоского движения и фрактального гауссовского шума. Константа H, упомянутая выше, получила название параметра Харста, в честь британского климатолога Гарольда Харста открывшего эффект сильного последействия последовательности зависимых случайных величин при анализе поведения флуктуаций годичной водности реки Нила. Позднее теория фрактального броуновского движения получила широкое практическое применение при анализе финансовых показателей (цен акций, обменных курсов валют), а также ряда физических явлений, таких как турбулентность.

2. Теоретические основы фрактального броуновского движения (ФБД)

2.1. Свойство автомодельности

Случайный процесс со значениями в называется автомодельным (самоподобным), или удовлетворяющим свойству (статистической) автомодельности, если для каждого можно найти такое , что

. (1)

Это означает, что изменение временной шкалы приводит к тому же самому результату, что и изменение фазовой шкалы .

Для ненулевых строго устойчивых процессов существует константа H такая, что . Таким образом, если в данном ранее определении автомодельного процесса заменить , то случайный процесс будет называться автомодельным с показателем Харста H, или процессом, удовлетворяющим свойству статистической автомодельности с показателем Харста H.

2.2. Фрактальное броуновское движение

Рассмотрим функцию:

. (2)

Эта функция при является неотрицательно определенной, и, следовательно, на некотором вероятностном пространстве существует гауссовский процесс с нулевым средним и автоковариационной функцией

,

то есть, с

. (3)

Отсюда видим, что

.

и, значит,

.

Таким образом, можно заключить, что рассматриваемый процесс является автомодельным с показателем Харста H.

Непрерывный гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией (3) называется (стандартным) фрактальным броуновским движением с показателем автомодельности Харста (в дальнейшем для такого процесса будет использоваться обозначение ).

Из данного определения следует, что (стандартное) фрактальное броуновское движение удовлетворяет следующим свойствам, которые можно было бы также принять в качестве определения этого процесса:

1) , для всех ;

2) имеет стационарные приращения:

;

3) является гауссовским процессом,

,

где .

4) имеет непрерывные траектории.

Из этих свойств снова следует, что фрактальное броуновское движение обладает свойством автомодельности.

В случае (стандартное) фрактальное броуновское движение есть ни что иное, как (стандартное) броуновское движение, или винеровский процесс.

2.3. Фрактальный гауссовский шум

В прикладной теории вероятностей броуновское движение используется в качестве модели, дающей простой способ получения белого шума.

Если положить

, (4)

то получаемая последовательность будет гауссовской последовательностью независимых одинаково распределенных случайных величин с , . Такая последовательность называется белым (гауссовским) шумом.

По аналогии с (4) положим

, (5)

и будем называть последовательность фрактальным (гауссовским) шумом с параметром Харста H, .

Из формулы (3) для ковариационной функции (стандартного) процесса следует, что ковариационная функция имеет следующий вид:

. (6)

Отсюда видно, что при

. (7)

Тем самым, в случае ковариация для , и образует гауссовскую последовательность независимых случайных величин. Если же , то из (7) видно, что ковариация убывает с ростом достаточно медленно, что обычно интерпретируется, как наличие «долгой памяти», или «сильного последействия».

Отметим принципиальную разницу в случаях и .

Если , то ковариация отрицательна ( , ), при этом .

Если , то ковариация положительна ( , ), при этом .

Положительная ковариация означает, что вслед за положительными (отрицательными) значениями следует ожидать также положительные (отрицательные) значения. Отрицательность же ковариации означает, что вслед за положительными (отрицательными) значениями следует ожидать отрицательные (положительные) значения.

3. Моделирование ФБД

Рассмотрим фрактальное броуновское движение с дискретным временем . Согласно формуле (5) его можно представить в виде:

. (8)

Для того чтобы смоделировать ФБД по формуле (8), возьмем следующую оценку фрактального гауссовского шума:

, (9)

где – комплексно-значные независимые центрированные гауссовские случайные величины с дисперсией .

Дисперсии случайных величин определяются следующим образом:

, (10)

.

Спектральная плотность имеет вид:

, (11)

где ковариационная функция определяется по формуле (6).

Распишем спектральную плотность в формуле (11):

(в силу четности ковариационной функции)

. (12)

При моделировании ФБД будем использовать оценку спектральной плотности с конечной суммой слагаемых в формуле (12):

, (13)

где .

Оценим, какую ковариационную функцию дает такая оценка спектральной плотности:

Распишем интеграл I:

Интеграл II:

Таким образом:

Поскольку дальше при расчетах используется , можно говорить о том, что оценка спектральной функции (13) является допустимой в рамках данной работы.

В формуле (10) выберем такие , чтобы . Для этого построим функцию, равную интегралу от спектральной плотности, с аргументом, равным верхнему пределу интеграла:

.

Поскольку ряд в выражении (13) сходится, его можно интегрировать почленно:

Далее для каждого , вычисляем .

Поскольку очевидно, что выбранное разбиение отрезка симметрично относительно нуля, перейдем от , к , следующим образом:

,

, , (14)

.