dokazat-formulu-grina-dlya-odnosvyaznoy-oblasti (теория)
Описание файла
Документ из архива "теория", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "кратные интегралы и ряды" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "высшая математика (криволинейные и кратные интегралы)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "dokazat-formulu-grina-dlya-odnosvyaznoy-oblasti"
Текст из документа "dokazat-formulu-grina-dlya-odnosvyaznoy-oblasti"
Доказать формулу Грина для односвязной области
Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L.Тогда справедлива формула Грина . Доказательство. 1) Назовем плоскую область D (в плоскости OXY) правильной, если любая прямая, параллельная координатной оси (OX или OY) пересекает область не более, чем в двух точках. Можно показать, что область G можно представить как объединение конечного числа правильных областей .Тогда по свойству аддитивности двойной интеграл в правой части формулы Грина равен сумме двойных интегралов по правильным областям. Криволинейный интеграл в левой части равен сумме криволинейных интегралов по границам правильных областей, так как криволинейные интегралы по общим границам любых правильных областей различны по знаку из-за различных направлений обхода границы и взаимно уничтожаются при суммировании. Поэтому доказательство может быть проведено для правильной области G.2) Пусть G – правильная область. Так как P, Q могут быть произвольными функциями, то формула Грина сводится двум формулам и , каждую из которых надо доказать. Докажем первую формулу, вторая доказывается аналогично.
= = = = |
Сформулировать признаки сравнения знакоположительных рядов.
Числовой ряд называется знакоположительным, если все его члены – положительные числа. . Первый признак сравнения рядов. Пусть выполнено неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда . Второй признак сравнения. Пусть . Тогда ряды и сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится.
Дать определение дивергенции векторного поля. Вычисление дивергенции в декартовой системе координат.
Дивергенция векторного поля (расходимость) есть . Дивергенция – это характеристика векторного поля, инвариантная относительно системы координат. Дивергенция векторного поля в точке M имеет смысл объемной плотности потока векторного поля через окрестность этой точки и характеризует мощность источника (если >0) или стока (если <0) векторного поля в точке M.
Записать формулу Грина для односвязной области и сформулировать условия ее справедливости.
Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L. Тогда справедлива формула Грина .
Сформулировать условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.
Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции F=Pi+Qj+Rk не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция u=u(x,y,z), такая, что F=grad(u) или ∂u/∂x=P,∂u/∂y=Q,∂u/∂z=R.
Поток векторного поля. Вывести Остроградского-Гаусса.
Говорят, что в области (плоской или пространственной) задано векторное поле (M), если в этой области задана векторная функция (M). Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные в пространственно односвязной замкнутой области V и на ее кусочно-гладкой границе .Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса
.
Заметим, что левая часть формулы представляет собой поток векторного поля через поверхность . Доказательство. 1) Формула Остроградского – Гаусса, в силу произвольности P, Q, R состоит из трех частей, в каждую из которых входит одна из компонент векторного поля P, Q, R. В самом деле, можно взять P = 0, Q = 0 и доказывать отдельно часть формулы в которую входит только R. Остальные части формулы (при P = 0, R = 0, Q = 0, R = 0) доказываются аналогично. Будем доказывать часть формулы 2) Для доказательства выбранной части формулы представим пространственную область V в виде объединения конечного числа цилиндрических тел, не имеющих общих внутренних точек, с образующими, параллельными оси OZ. Доказательство можно проводить для цилиндрического тела. В самом деле, тройной интеграл в правой части равен сумме тройных интегралов по цилиндрическим телам (свойство аддитивности). Поверхностный интеграл в левой части также равен сумме поверхностных интегралов по полным поверхностям цилиндрических тел, причем при суммировании интегралы по общим границам соседних цилиндрических тел будут сокращаться из-за противоположного направления внешних нормалей на общих границах. Итак, будем доказывать соотношение для цилиндрического тела V, проектирующегося в область D на плоскости OXY. Пусть «верхняя» граница цилиндрического тела – поверхность описывается уравнением , «нижняя» граница – поверхность описывается уравнением . Боковую поверхность цилиндрического тела, параллельную оси OZ, обозначим . Сразу заметим, что поток векторного поля через боковую поверхность равен нулю. Действительно, , так как нормаль на боковой поверхности ортогональна оси OZ и .Заметим также, что на «верхней» поверхности , а на «нижней поверхности . Поэтому при переходе от поверхностного интеграла по к двойному интегралу по области D и обратно надо менять знак, а при переходе от поверхностного интеграла по к двойному интегралу по области D и обратно менять знак не надо .
- = = + =
Таким образом, соотношение доказано. |
Замечание. Формулу Остроградского – Гаусса можно записать в «полевом» виде
- поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемному интегралу от дивергенции поля по области, ограниченной поверхностью .
Признак Лейбница
Пусть: ряд имеет вид (знакочередующийся, ), последовательность монотонно убывает, . Тогда 1) ряд сходится, 2)
Формула Грина для многосвязной области
Пусть кусочно-гладкие контуры лежат внутри контура и вне друг друга. Пусть непрерывны и имеют непрерывные частные производные по переменным x, y в области между контурами и на самих этих контурах. Тогда
Степенной ряд. Доказать теорему Абеля.
Степенным рядом называется ряд вида
Степенной ряд заведомо сходится при - центр сходимости ряда.
Теорема Абеля:1) Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он абсолютно сходится в интервале , симметричном относительно .2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Тогда он расходится в области .Доказательство.
-
Пусть степенной ряд сходится в точке , тогда числовой ряд сходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда . Тогда .
Рассмотрим произвольное, но фиксированное .
Оценим ,
где .
По первому признаку сравнения числовых знакоположительных рядов ряд сходится в указанной области (сравнение с бесконечно убывающей геометрической прогрессией . Следовательно, в области степенной ряд абсолютно сходится.
-
Пусть степенной ряд расходится в точке . Рассмотрим . Если бы ряд сходился в точке x, то он по п. 1 доказательства сходился бы в точке . Противоречие.
Замечание. Для каждой точки x константа q(x) своя. Может не найтись константы, меньшей единицы и ограничивающей сверху константы q(x) для всех точек области V.
Поэтому абсолютная сходимость есть, но равномерной сходимости степенного ряда в области V не гарантируется.
Если такая константа найдется, то гарантируется равномерная сходимость ряда.
Записать формулу Стокса и сформулировать условия ее справедливости.
Пусть пространственно односвязная область V содержит кусочно-гладкую поверхность с кусочно-гладкой границей .Пусть компоненты векторного поля непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим аргументам до второго порядка включительно в области V.Тогда справедлива формула Стокса
Сформулировать признак Даламбера сходимости знакоположительного числового ряда.
Конечная форма признака Даламбера. Пусть , тогда ряд сходится. Пусть , тогда ряд расходится.
Предельная форма признака Даламбера. Пусть , тогда ряд сходится. Пусть , тогда ряд расходится. Если , то признак не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости ряда.