dokazat-formulu-grina-dlya-odnosvyaznoy-oblasti (теория), страница 2

Доказать признаки сравнения знакоположительных рядов.

Первый признак сравнения рядов. Пусть выполнено неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .Доказательство. 1) Пусть ряд сходится. Тогда выполнено неравенство . Поэтому последовательность частичных сумм ограничена сверху числом . Но эта последовательность не убывает. Следовательно, по теореме Вейерштрасса . Последнее неравенство справедливо в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве.

2) Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по п.1 доказательства и ряд сходится. Противоречие. Следовательно, ряд расходится.

Второй признак сравнения. Пусть . Тогда ряды и сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится. Доказательство. Раскроем определение предела. . .Если ряд сходится, то по 1 признаку сравнения ряд сходится ( , ряд сходится (свойство сходящихся рядов). Если ряд сходится, то ряд сходится (свойство сходящихся рядов), тогда по 1 признаку сравнения ряд сходится. Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие). Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Записать формулу Грина для односвязной области и сформулировать условия ее справедливости.

Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L.Тогда справедлива формула Грина .

Дать определение двойного интеграла. Его геометрический смысл.

Организуем разбиение области D на элементы – области так, чтобы эти элементы не имели общих внутренних точек и (условие А), Отметим на элементах разбиения «отмеченные точки» M_i и вычислим в них значения функции , Построим интегральную сумму , где - площадь . Переходя к пределу при условии (условие В), получим двойной интеграл как предел интегральных сумм:

К двойному интегралу .мы пришли от задачи об объеме цилиндрического тела, расположенного над областью D с переменной высотой .

В этом и состоит его геометрический смысл.

Доказать признак Даламбера сходимости знакоположительного числового ряда.

Конечная форма признака Даламбера. Пусть , тогда ряд сходится. Пусть , тогда ряд расходится. Доказательство. Пусть . Тогда . , и ряд сходится. Можно было, не оценивая частичную сумму ряда, заключить, что ряд сходится по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Пусть , Тогда . Поэтому не стремится к нулю при , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд расходится.

Предельная форма признака Даламбера. Пусть , тогда ряд сходится. Пусть , тогда ряд расходится. Если , то признак не позволяет сделать вывод о сходимости или расходимости ряда. Доказательство. Пусть . Тогда .При малом . По конечной форме признака Даламбера ряд сходится. Пусть . Тогда . При малом , то есть . Поэтому не стремится к нулю при , необходимый признак сходимости ряда не выполнен, ряд расходится.

Условия независимости криволинейного 2 рода от пути интегрирования.

Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции F=Pi+Qj+Rk не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция u=u(x,y,z), такая, что F=grad(u) или ∂u/∂x=P,∂u/∂y=Q,∂u/∂z=R.

Формула Грина для односвязной.

Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L.Тогда справедлива формула Грина .

Доказать радикальный признак Коши.

Конечная форма радикального признака Коши. Пусть , тогда ряд сходится. Пусть , тогда ряд расходится. Доказательство. Пусть . Тогда , ряд сходится по первому признаку сравнения с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Пусть . Тогда , ряд расходится, так как необходимый признак сходимости ряда не выполнен.

Предельная форма радикального признака Коши. Пусть , тогда ряд сходится. Пусть , тогда ряд расходится. Доказательство. Пусть , тогда . при малом . Ряд сходится по конечной форме радикального признака Коши. Пусть , тогда . при малом . Тогда , ряд расходится, так как необходимый признак сходимости ряда не выполнен.

Ф-ла Грина для многосвязной области.

Пусть кусочно-гладкие контуры  лежат внутри контура  и вне друг друга. Пусть  непрерывны и имеют непрерывные частные производные по переменным x, y в области между контурами и на самих этих контурах. Тогда 

Дать определение соленоидального векторного поля и сформулировать его основные св-ва.

Векторное поле называется соленоидальным в области V, если в любой точке M этой области Свойства: 1)Для того чтобы поле было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность равнялся нулю.(Необходимость следует из формулы Остроградского – Гаусса, достаточность – из инвариантного определения дивергенции.)2)Поток соленоидального поля через любую поверхность, окружающую изолированный источник или сток, один и тот же.

Доказать признак Лейбница; оценка суммы и остатка такого ряда.

Пусть 1)ряд имеет вид (знакочередующийся, ) 2)последовательность монотонно убывает3) . Тогда: ряд сходится,

Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм с четными номерами

(последовательность монотонно убывает по условию теоремы).

Т.е. последовательность ограничена сверху .

Т.е. последовательность монотонно возрастает.

По теореме Вейерштрасса существует .

Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм с нечетными номерами

.

По условию , т.е. .

По доказанному выше . Следовательно, предел правой части равенства существует и равен . Поэтому предел левой части равенства тоже существует и равен

.

Раскроем определение предела как для четных n, так и для нечетных n. Следовательно, это справедливо для любых , поэтому .

Из доказанного выше неравенства . Переходя к пределу, получим .

Следствие. . Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного члена ряда.

Доказательство. Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.

То есть . А первый член остатка ряда и есть первый отброшенный член.

Грин для односвязной.

Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L.Тогда справедлива формула Грина .

Дать определение потенциального векторного поля и сформулировать его основные св-ва.

Векторное поле называется потенциальным, если существует такое скалярное поле (потенциал векторного поля ), что = .Свойства :

1. Линейный интеграл потенциального поля не зависит от формы дуги L = , а зависит только от начальной и конечной точек дуги.

В самом деле, = .

1. Циркуляция потенциального поля равна нулю

Полагая дугу АВ замкнутой (A = B), получаем =

1. Потенциальное поле является безвихревым, т.е.

Доказать формулу Грина для односвязной области.

Пусть G – плоская односвязная область с кусочно-гладкой границей L. Пусть функции P(x, y), Q(x, y) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по своим переменным в области G и на L.Тогда справедлива формула Грина . Доказательство. 1) Назовем плоскую область D (в плоскости OXY) правильной, если любая прямая, параллельная координатной оси (OX или OY) пересекает область не более, чем в двух точках. Можно показать, что область G можно представить как объединение конечного числа правильных областей .Тогда по свойству аддитивности двойной интеграл в правой части формулы Грина равен сумме двойных интегралов по правильным областям. Криволинейный интеграл в левой части равен сумме криволинейных интегралов по границам правильных областей, так как криволинейные интегралы по общим границам любых правильных областей различны по знаку из-за различных направлений обхода границы и взаимно уничтожаются при суммировании. Поэтому доказательство может быть проведено для правильной области G.2) Пусть G – правильная область. Так как P, Q могут быть произвольными функциями, то формула Грина сводится двум формулам и , каждую из которых надо доказать. Докажем первую формулу, вторая доказывается аналогично.

Записать формулу Стокса и сформулировать условия ее справедливости.