Полезности 2 (Билеты прошлых годов+полезности)

1. Аксиомы динамики. Инерциальная С.О. (ИСО).

1)Существует ИСО , в которой изолированная мат. точка находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.(Изолированная мат. точка-точка, на которую не действуют внешние силы)

2) В ИСО сила, действующая на мат. точку сообщай ей ускорение, направление которого совпадает с направлением действия силы и модуль которого прямопропорционален модулю действия силы. ( = m )

3)Если 2 мат. точки взаиомдействуют друг с другом, то силы их взаимодействия равны по модулю, противоположны по направлению и направлены по 1й линии.

4) В ИСО ускорение мат. точки при одновременном действии на нее нескольких сил равно геометрической сумме ускорений от каждой силы.

5)Связи, наложенные на мат. точку можно заменить реакциями.

2. ДУ движения мат. т. в векторной форме и проекциях на декартовы и естесственные оси координат.

m =

m =

m = в декартовой с.к.

m =

в естественной с.к.

3. Две основных задачи динамики материальной точки. Интегралы уравнений движения.

1. Первая задача состоит в том, чтобы по заданному закону движения точки массой m определить силу , под действием которой происходит движение.

2. Вторая задача состоит в определении движения точки по заданным силам и начальным условиям движения, при этом силы должны быть выражены как функции переменных, используемых для задания движения.

(1)

Общие решения содержат шесть произвольных переменных.

Первым интегралом системы диф. ур. называется функция

Выражение называется производной функции Ф по времени.

Для того, чтобы полностью найти закон движения материальной точки достаточно найти 6 функционально независимых первых интегралов:

…..

Определяя x; y; z; Vx; Vy; Vz, как функции времени и 6-ти констант, получаем общее решение системы (1).

4. Дифференциальные уравнения движения материальной точки в неинерциальной системе отсчета. Неинерциальная система отсчета - система отсчета, которая с ускорением движется относительно другой ИСО.

-переносная сила инерции; - Кориолисова сила инерции; ; - дифф. ур-е в НИСО.

5. Принцип относительности Галилея-Ньютона

Абсолютное ускорение точки: ; разрешая полученное выражение относительно , получим: ; При поступательном, равномерном и прямолинейном движении неинерциальной системы отсчета O’XYZ Ф_е=Ф_к=0, , т.е. эта система превращается в одну из инерциальных. Уравнения движения точки к любой инерциальной системе отсчеты – одинаковы. Невозможность путем наблюдения за мех. движением тел отличить одну инерц. СО от другой составляет содержание принципа относительности Галилея-Ньютона.

6. Центр масс системы материальных точек. Теорема о движении центра масс. Частные случаи.

Геометрическая точка с радиус-вектором называется центром масс системы.

Теорема о движении центра масс:

Ускорение центра масс механической системы не зависит от внутренних сил и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему:

Частные случаи:

1) Если на мех. систему не действуют внешние силы или геом. сумма внешних сил равна нулю, то центр масс системы движется прямолинейно и равномерно;

2) Если сумма проекций внешних сил системы на некоторую неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту ось остается постоянной.

7. Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и интегральной формах. Частные случаи.

(k=1…N)

Q-Количество движения

Дифференцируем по t :

- в дифф. ф-ме

Частные случаи:

Если

Если ,то ,

Производная по времени от кол-ва движения мех.системы=главному вектору внешних сил

|*dt

-элементарный импульс

Изм. кол-ва движения мех.сист. за конечный интервал времени=геометрической сумме внеш.сил за тот же промежуток времени

8. ДУ простейших движений твёрдого тела.

9. Кинетический момент материальной точки и мех. системы относительно центра и оси. Кинетический момент тв. тела относительно оси вращения.

Кинетическим моментом м.т массы относительно центра наз векторную величину равную векторному произведению радиус-вектора м.т проведенного из этого центра на вектор количества движения.

x

т. к. : x , то

Кинетический момент мех систему относительно центра и оси

Кинетическим моментом мех системы относительно центра O наз геометрическую сумму векторов количеств движения материальных точек системы относительно того же центра x

Кинетический момент тв. тела относительно оси вращения

;

для одной точки :

для всего тела :

Кинетический момент тела относительно оси вращения при вращательном движении равно произведению угловой скорости тела на его момент инерции относительно оси вращения .

10. Теорема об изменении кинетического момента для мат. точки и мех. системы.

П ервая производная по времени от кинетического момента точки относительно неподвижного центра О равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

,

Для системы:

(

-Первая производная по времени от главного момента количеств движения механической системы относительно неподвижного цента О равна главному моменту внешних сил, приложенных к точкам системы, относительно того же центра.

11. Формула для кинетического момента системы мат. точки относит. центра и оси при сложном движении.

= +

= )

= + + +

= 0 = = 0

= = = 0

= M +

12. Теорема об изменении кинетического момента системы мат. точек в относительном движении по отношению к ц.м.

Первая производная по времени от кинетического момента относительно ц.м. для относительного движения мех. сист. равна главному моменту внешних сил, действующих на точки системы относительно ц.м.

=

13. ДУ плоского движения твердого тела.

Плоское движение задается полюсом, который является центром масс.

Система ДУ плоского движения.

14. Элементарная и полная работа силы. Мощность. Работа равнодействующей силы. Работа сил, приложенных к твердому телу в случае его движения.

Элементарная работа силы равна скалярному произведению вектора силы на бесконечно малое приращение радиус вектора точки приложения силы.

Полную работу силы на перемещении из точки Мо в точку М определяют как предел суммы её элементарных работ.

Мощность – работа в единицу времени.

Работа равнодействующей силы на перемещении их т. Мо в т. М равна алгебраической сумме работ, составляющих сил на том же перемещении.

Работа сил при поступательном движении:

Работа сил при вращательном движении.

15. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы. Теорема Кенига. Кинетическая энергия твердого тела в различных случаях его движения

Кинетическая энергия материальной точки массой m, движущейся с абсолютной скоростью V: . Кинетическая энергия системы:

Теорема Кенига: ; продифференцировав по времени получим: ;

;

, т.к. сумма статических моментов масс точек относительно центра масс равна 0. Отсюда получаем - кинетическая энергия мех. системы в ее абсолютном движении равна кинетической энергии центра масс в предположении, что в нем сосредоточена масса всей системы, и кинетической энергии движения системы относительно центра масс.

1. Поступательное движение: , ; А-произвольная точка тела, С-центр масс;

2. Вращательное движение:

3. Плоскопараллельное движение: ;

4. Сферическое движение: ;

5. Общий случай движения: , где - главный момент количеств относительного движения относительно центра масс.

16. Теоремы об изменении кинетической энергии для материальной точки и механической системы в дифференциальной и интегральной формах.

17. Потенциальное силовое поле. Силовая функция и потенциальная энергия поля. Поверхности уровня и их свойства.

Силовое поле – часть пространства или пространство, в каждой точке которого действуют силы, зависящие от координат и от времени.

Поле называется потенциальным, если ∃ U=U(x,y,z,t).

Свойства:

1) Элементарная работа есть полный дифференциал.

2) Работа потенциальных сил поля не зависит от траектории, а зависит лишь от начального и конечного положения точки.

3) Работа потенциальных сил поля по замкнутой траектории равна нулю.

18. Примеры вычисления силовых функций однородного поля силы тяжести и линейной силы упругости.

1) Сила тяжести

2) Сила упругости

19. Закон сохранения полной механической энергии системы.

Пусть силы совершающие работу на элементарном действительном перемещении ,потенциальны ,тогда