III. Оценка труднодоступных для непосредственного наблюдения и измерения параметров системы.

Восстановление возраста археологической находки по ряду косвенных признаков; прочности бетона с помощью косвенных (неразрушающих) методов контроля; денежных сбережений семьи по ее доходу (в среднедушевом исчислении) — во всех этих ситуациях исследователь вынужден иметь дело с показателями, труднодоступными для непосредственного измерения. Очевидно, для того чтобы иметь принципиальную возможность статистически выявить связь, существующую между труднодоступным показателей у и косвенно связанными с ним, но легко поддающимися наблюдению и измерению признаками x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p), исследователю необходимо располагать исходными статистическими данными, которые получают с помощью специально организованного контрольного эксперимента или наблюдения. После того как эта связь выявлена (и оценена степень ее точности), она используется для косвенного определения значений труднодоступных показателей лишь по значениям объясняющих переменных x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p).

IV. Оценка эффективности функционировании (или качества) анализируемой системы.

Пытаясь оценить (в целом) эффективность деятельности отдельного специалиста, подразделения или предприятия, проранжировать страны по некоторому интегральному качеству, мы каждый раз по существу решаем одну и ту же задачу: отправляясь в своем анализе от набора частных показателей x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p), каждый из которых может быть измерен и характеризует какую-нибудь одну частную сторону понятия «эффективность», мы их как бы взвешиваем и выходим на некоторый скалярный агрегированный показатель эффективности у. Этот показатель — латентный (скрытый), так как он принципиально не поддается непосредственному измерению. Но он с некоторой точностью восстанавливается по значениям частных показателей эффективности x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p). Это значит, что между латентным агрегированный показателем у и набором частных критериев эффективности x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p) существует статистическая связь типа (2.2).

V. Оптимальное регулирование параметров функционирования анализируемой системы, ситуационный анализ.

Рассмотрим пример. При анализе производительности мартеновских печей на одном из заводов исследовалась, в частности, зависимость между производительностью в тонно/часах и процентным содержанием углерода в металле по расплавлении ванны (пробу брали через час после первого скачивания шлака). Очевидно, величины производительности (y_i) и процентного содержания углерода (x_i) подвержены некоторому неконтролируемому разбросу, обусловленному влиянием множества не поддающихся строгому учету и контролю факторов.

Другими словами, последовательность пар чисел (x_i, y_i), i = 1, 2, . . . , 130, представляет в данном случае результаты 130 независимых наблюдений двумерной случайной величины (ξ, η). Здесь просматривается вполне определенная закономерность зависимости условного среднего значения производительности y_cp (x) = E (η | ξ = x) от величины процентного содержания углерода х. Поэтому, мы можем дать рекомендации технологу по оптимальному (с точки зрения максимизации производительности) управлению процессом выплавки: поддерживать процентное содержание углерода в пределах 0,6-1,0 %.

Основные типы зависимостей между количественными переменными:

Зависимость между неслучайными переменными. В этом случае результирующий показатель у детерминировано (однозначно) восстанавливается по значениям неслучайных объясняющих переменных Х = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p))^Т, т. е. значения у зависят только от соответствующих значений Х и полностью ими определяются. Это – обычная схема чисто функциональной зависимости между неслучайными переменными, когда у является некоторой функцией от р переменных Х (т. е. y = f (X)), что является вырожденным случаем зависимостей вида 2.2, когда остаточная случайная компонента ε равна нулю (с вероятностью единица).

Регрессионная зависимость случайного результирующего показателя η от неслучайных объясняющих переменных Х. Природа такой связи может носить двойственный характер:

а) регистрация результирующего показателя η неизбежно связана с некоторыми ошибками измерения ε, в то время как предикторные (объясняющие) переменные Х = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p))^Т измеряются без ошибок

б) значения результирующего показателя η зависят не только от соответствующих значений Х, но и еще от ряда неконтролируемых факторов, поэтому при каждом фиксированном значении Х’ соответствующие значения результирующего показателя η (Х’) = (η | X = X’) неизбежно подвержены некоторому случайному разбросу.

В этом случае объясняющие переменные Х играют роль неслучайного (векторного при р 1) параметра, от которого зависит закон распределения вероятностей (в частности, среднее значение и дисперсия) исследуемого результирующего показателя η. Удобной математической моделью такого рода является разложение вида

η (Х) = f (X) + ε (X). (2.4)

Корреляционно-регрессионная зависимость между случайными векторами η – результирующим показателем и ξ – объясняющей переменной. Зависимости такого типа вообще характерны для описания хода технологических процессов, реальные значения параметров которых ξ = (ξ⁽¹⁾, ξ⁽²⁾, . . . , ξ^(р))^Т, равно как и характеризующие их результирующие показатели η = (η⁽¹⁾, η²⁾, . . . , η^(m))^Т, как правило, флюктуируют случайным (но взаимосвязанным) образом около установленных номиналов.

Зависимости структурного типа, или зависимости по схеме конфлюэнтного анализа. Конфлюэнтный анализ предоставляет совокупность методов математико-статистической обработки данных, относящихся к анализу априори постулируемых функциональных связей между количественными (случайными или неслучайными) переменными Y = (y⁽¹⁾, y⁽²⁾, . . . ,y^(m))^T и X = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p))^T в условиях, когда наблюдаются не сами переменные, а случайные величины

_{, k = 1, 2, . . . , p;} (2.5)

где и - случайные ошибки измерений соответственно переменных х^(k) и y⁽ⁱ⁾ в i-м наблюдении, a n - общее число наблюдений. [1].

3. Проверка ряда гипотез о свойствах распределения вероятностей для случайной компоненты как один из этапов эконометрического исследования

Описанные ниже критерии проверки справедливости сделанного выбора общего вида искомой функции регрессии подтверждают факт непротиворечивости проверяемого вида функции регрессии имеющимся у исследователя исходным данным (2.3) либо отвергают обсуждаемую гипотетичную форму зависимости как не соответствующую этим данным.

1. Общий приближенный критерий, основанный на группированных данных (или при наличии нескольких наблюдений при каждом фиксированном значении аргумента). Пусть высказана гипотеза об общем виде функции регрессии Н_о: Е( | = X) =f_а (Х; ₁, ₂, . . . _k) (f_a (X; ) – известная функция, (₁, ₂, . . . _k) = - неизвестные числовые параметры) и пусть вычислены оценки ₁, ₂, . . . , _k неизвестных параметров, входящих в описание уравнения регрессии. При группировке данных (или при проведении эксперимента) мы должны соблюдать требование, в соответствии с которым число интервалов группирования (или число различных значении аргумента, в которых производилась наблюдения) s должно обязательно превосходить число неизвестных параметров k, т. е. s – k ≥ 1.

2. Общий приближенный критерий, основанный на негруппированных данных (при известной величине дисперсии остаточной случайной компоненты).

Встречаются ситуации, когда в результате предварительных исследований или из других каких-либо соображений нам удается заранее определить величину дисперсии σ² остаточной случайной компоненты ε (например, когда ε – ошибка измерения и нам известны характеристики точности используемого измерительного прибора). В этом случае можно отказаться от стеснительного требования группированности данных и для проверки гипотезы об общем виде функции регрессии воспользоваться фактом χ² (n – k) – распределенности статистики.

Заключение

Подведем краткие итоги проделанной работы:

1. Аппарат статистического исследования зависимостей — составная часть многомерного статистического анализа — нацелен на решение основной проблемы естествознания: как на основании частных результатов статистического наблюдения за анализируемыми событиями или показателями выявить и описать существующие между ними стохастические взаимосвязи.

2. Центральным математическим объектом в процессе статистического исследования зависимостей является функция f(X), называемая функцией регрессии Y по X и описывающая изменение условного среднего значения Y_cp(X) результирующего показателя Y (вычисленного при фиксированных на уровне X значениях объясняющих переменных) в зависимости от изменения значений объясняющих переменных X.

3. К основным типовым задачам практики следует отнести задачи: 1) нормирования; 2) прогноза, планирования и диагностики; 3) оценки труднодоступных (для непосредственного наблюдения и измерения) характеристик исследуемой системы; 4) оценки эффективности функционирования (или качества) анализируемой системы; 5) регулирования параметров функционирования анализируемой системы.

4. По своей природе исследуемые зависимости могут быть разделены на: 1) детерминированные, когда исследуется функциональная зависимость между неслучайными переменными; 2) регрессионные, когда исследуется зависимость случайного результирующего показателя от неслучайных объясняющих переменных — параметров системы; 3) корреляционные, когда исследуется зависимость между случайными переменными, причем объясняющие переменные могут быть измерены без искажений; 4) конфлюэнтные, когда исследуется функциональная зависимость между случайными или неслучайными переменными в ситуации, когда те и другие могут быть измерены только с некоторой случайной ошибкой.

Список литературы

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1998.

3. Эконометрика. / Под ред. Елисеевой И.И. – М.: Финансы и статистика, 2001.