183386 (Экономико-математическое моделиpование), страница 2
Описание файла
Документ из архива "Экономико-математическое моделиpование", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "экономико-математическое моделирование" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "рефераты, доклады и презентации", в предмете "экономико-математическое моделирование" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "183386"
Текст 2 страницы из документа "183386"
График №3
З А Д АЧА 4 | |||||||||||||||||||||||||
Условие задачи. | |||||||||||||||||||||||||
Задана следующая экономическая ситуация. Завод выпускает изделия двух | |||||||||||||||||||||||||
типов А и В. При этом используется сырье четырех видов. Расход | |||||||||||||||||||||||||
сырья каждого вида на изготовление еденицы продукции и запасы сырья | |||||||||||||||||||||||||
заданы в таблице | |||||||||||||||||||||||||
Изделия | Сырье | ||||||||||||||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |||||||||||||||||||||
А | 2 | 1 | 0 | 2 | |||||||||||||||||||||
В | 3 | 0 | 1 | 1 | |||||||||||||||||||||
Запасы сырья | 21 | 4 | 6 | 10 | |||||||||||||||||||||
Выпуск изделия А приносит 3 денежные еденицы, В - 2 денежные единицы. | |||||||||||||||||||||||||
Составить план производства, обеспечивающий максимальную | |||||||||||||||||||||||||
прибыль | |||||||||||||||||||||||||
а) составьте матиматическую модель задачи; | |||||||||||||||||||||||||
б) поясните смысл целевой функции и ограничении | |||||||||||||||||||||||||
Решение: | |||||||||||||||||||||||||
а) Математическая модель | |||||||||||||||||||||||||
2x1+3x2 <=21 | |||||||||||||||||||||||||
x1 <=4 | |||||||||||||||||||||||||
x2+ <=6 | |||||||||||||||||||||||||
2x1+ x2 <=10 | |||||||||||||||||||||||||
x1 >=0 | |||||||||||||||||||||||||
x2 >=0 | |||||||||||||||||||||||||
б) Суммарный расход каждого вида сырья на весь выпуск не должен | |||||||||||||||||||||||||
превышать заданного ограничения. | |||||||||||||||||||||||||
Валовая реализация (сумма объемов реализации по каждому виду | |||||||||||||||||||||||||
продукции в денежном выражении) должна стремиться при заданных | |||||||||||||||||||||||||
условиях к максиму | |||||||||||||||||||||||||
в) Решать будем симплекс методом | |||||||||||||||||||||||||
преобразуем неравенства в равенства, для этого введем четыре | |||||||||||||||||||||||||
дополнительные переменные | |||||||||||||||||||||||||
2x1+3x2+ x3 =21 | |||||||||||||||||||||||||
x1 + x4 =4 | |||||||||||||||||||||||||
x2 +x5 =6 | |||||||||||||||||||||||||
2x1+x2+ x6 =10 | |||||||||||||||||||||||||
f=3x1+2x2+0*x3+0*x4+0*x5+0*x6 -> max | |||||||||||||||||||||||||
перепишем в виде систем 0 уравнений | |||||||||||||||||||||||||
0= 21-(2x1+3x2+x3) | |||||||||||||||||||||||||
0= 4-( x1 + x4) | |||||||||||||||||||||||||
0= 6-( x2+ х5) | |||||||||||||||||||||||||
0=10-(2х1+х2+ х6) | |||||||||||||||||||||||||
f=0-(-3x1-2x2-0*x3-0*x4-0*x5-0*x6) | |||||||||||||||||||||||||
Система уравнений может быть записана в виде векторного равенства | |||||||||||||||||||||||||
0=В - (А1х1+А2х2+А3х3+А4х4+А5х5+А6х6) | |||||||||||||||||||||||||
В - свободные члены | |||||||||||||||||||||||||
А1…А6 коэффициенты при переменных х1…х6 | |||||||||||||||||||||||||
Линейная форма имеет вид : f=c1x1+c2x2+c3x3+c4x4+c5x5+c6x6 | |||||||||||||||||||||||||
Векторы А3,А4, А5,А6 составляют базис | |||||||||||||||||||||||||
Составляем первую симплекс таблицу | |||||||||||||||||||||||||
Базисный вектор | Коэф.лин. формы с | вектор св. член b | b/a | 3 A1 | 2 A2 | 0 A3 | 0 A4 | 0 A5 | 0 A6 | ||||||||||||||||
А3 | 0 | 21 | 10,5 | 2 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||||||||||||||||
| 0 | 4 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||||||||||||||||
A5 | 0 | 6 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | ||||||||||||||||
A6 | 0 | 10 | 5 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||||||||||||||
индексная строка fj-сj |
| 0 |
| -3 | -2 |
|
|
|
| ||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Решение: | х1=0,х2=0,х3=21,х4=4,х5=6,х6=10 | ||||||||||||||||||||||||
f=0 | |||||||||||||||||||||||||
Так как в индексной строке есть отрицательные элементы -решение не | |||||||||||||||||||||||||
является оптимальным. | |||||||||||||||||||||||||
A1 вводим в базис вместо вектора А4 | |||||||||||||||||||||||||
Базисный вектор | Коэф.лин. формы с | вектор св. член b | b/a | 3 A1 | 2 A2 | 0 A3 | 0 A4 | 0 A5 | 0 A6 | ||||||||||||||||
A3 | 0 | 13 | 4 1/3 | 0 | 3 | 1 | -2 | 0 | 0 | ||||||||||||||||
A1 | 3 | 4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||||||||||||||||
А5 | 0 | 6 | 6 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | ||||||||||||||||
| 0 | 2 | 2 | 0 | 1 | 0 | -2 | 0 | 1 | ||||||||||||||||
индексная строка fj-сj |
|
|
| 0 | -2 | 0 | 3 | 0 | 0 | ||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Решение: | х1=4,х2=0,х3=13,х4=0,х5=6,х6=2 | ||||||||||||||||||||||||
f=12 | |||||||||||||||||||||||||
Так как в индексной строке есть отрицательные элементы -решение не | |||||||||||||||||||||||||
является оптимальным. | |||||||||||||||||||||||||
A2 вводим в базис вместо вектора А6 | |||||||||||||||||||||||||
Базисный вектор | Коэф.лин. формы с | вектор св. член b | b/a | 8 A1 | 7 A2 | 6 A3 | 0 A4 | 0 A5 | 0 A6 | ||||||||||||||||
| 0 | 7 | 1 3/4 | 0 | 0 | 1 | 4 | 0 | -3 | ||||||||||||||||
A1 | 3 | 4 | 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||||||||||||||||
А5 | 0 | 4 | 2 | 0 | 0 | 0 | 2 | 1 | -1 | ||||||||||||||||
A2 | 2 | 2 | -1 | 0 | 1 | 0 | -2 | 0 | 1 | ||||||||||||||||
индексная строка fj-сj |
|
|
| 0 | 0 | 0 | -1 | 0 | 2 | ||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||
Решение: | x1=4, x2=2; x3=7; x4=0;x5=4;x6=0 | ||||||||||||||||||||||||
f=12 | |||||||||||||||||||||||||
Так как в индексной строке есть отрицательные элементы -решение не | |||||||||||||||||||||||||
является оптимальным. | |||||||||||||||||||||||||
A4 вводим в базис вместо вектора А3 | |||||||||||||||||||||||||
Базисный вектор | Коэф.лин. формы с | вектор св. член b | b/a | 8 A1 | 7 A2 | 6 A3 | 0 A4 | 0 A5 | 0 A6 | ||||||||||||||||
A4 | 0 | 1 3/4 |
| 0 | 0 | 1/4 | 1 | 0 | - 3/4 | ||||||||||||||||
A1 | 3 | 2 1/4 |
| 1 | 0 | - 1/4 | 0 | 0 | 3/4 | ||||||||||||||||
А5 | 0 | 1/2 |
| 0 | 0 | - 1/2 | 0 | 1 | 1/4 | ||||||||||||||||
A2 | 2 | 5 1/2 |
| 0 | 1 | 1/2 | 0 | 0 | -1 1/2 | ||||||||||||||||
индексная строка fj-сj |
|
|
| 0 | 0 | 1/4 | 0 | 0 | 1 1/4 | ||||||||||||||||
Решение: | x1=2,25, x2=5,5; x3=0; x4=1 3/4;x5=1/2;x6=0 | ||||||||||||||||||||||||
f=17,75 | |||||||||||||||||||||||||
В индексной строке нет отрицательных элементов, следовательно | |||||||||||||||||||||||||
дальнейшее увеличение значения линейной формы невозможно мы получили | |||||||||||||||||||||||||
оптимальную программу | |||||||||||||||||||||||||
Максимальная прибыль достигается при изготовлении первого вида | |||||||||||||||||||||||||
продукции 2,25 у.е., а второго 5,5 у.е. | |||||||||||||||||||||||||
Так как нам не было задано условие целочисленности, такие значения | |||||||||||||||||||||||||
допустимы, например в качестве условных едениц - тысячи тонн. | |||||||||||||||||||||||||
ЗАДАЧА 5 | |||||||||||||||
Наити максимум функции F при заданных ограничениях | |||||||||||||||
F = x1+2x2 ->max | |||||||||||||||
3x1+x2 >=3 | (1) | ||||||||||||||
3x1-x2 <=0 | (2) | ||||||||||||||
x1-x2 >=3 | (3) | ||||||||||||||
x1>=0 | (4) | ||||||||||||||
x2>=0 | (5) | ||||||||||||||
Решить графическим методом | |||||||||||||||
Решение | |||||||||||||||
1.Из условия знакоположительности - первой допустимой областью | |||||||||||||||
решения является первая четверть декартовой системы координат | |||||||||||||||
2. Построим области допустимых значений, для этого построим линии | |||||||||||||||
для каждого из уравнений | |||||||||||||||
3x1+x2 =3 | |||||||||||||||
3x1-x2 =0 | |||||||||||||||
x1-x2 =3 | |||||||||||||||
и линию для функции f | |||||||||||||||
x1+2x2 =0 | |||||||||||||||
3. Наидем область допустимых значений | |||||||||||||||
4. Как видно на графике области допустимых значений для | |||||||||||||||
ограничении (1),(2) и (3) не пересекаются, значит система не имеет | |||||||||||||||
допустимых решений. Ограничения противоречивы. | |||||||||||||||
5.Для того чтобы система была решаема, она должна быть например | |||||||||||||||
такой | F = x1+2x2 ->max | ||||||||||||||
3x1+x2 <=3 | |||||||||||||||
3x1-x2 <=0 | |||||||||||||||
x1-x2 <=3 | |||||||||||||||
x1>=0 | |||||||||||||||
x2>=0 | |||||||||||||||
Тогда область допустимых решений - треугольник АВС | |||||||||||||||
И функция F достигает максимума в точке С (0;3) и F=6 |
Уравнения | значения | |
| x1 | x2 |
для уравнения 3x1+x2=3 | 0 | 3 |
| 2 | -3 |
|
|
|
для уравнения 3x1-x2=0 | 0 | 0 |
| 2 | 6 |
|
|
|
для уравнения x1-x2=3 | 0 | -3 |
| 5 | 2 |
|
|
|
для уравнения x1+2x2=0 | 0 | 0 |
(линия функции) | 5 | -2,5 |
|
|
|
Диаграмма к 5
ЗАДАЧА 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Имеются следующие данные об урожайности зерновых культур Y (в ц/га) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
количестве осадков Х1 (в см) выпавших в вегетационный период | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||||||||||||||||||||||||
Yi | 23 | 24 | 27 | 27 | 32 | 31 | 33 | 35 | 34 | 32 | |||||||||||||||||||||||||
Xi | 25 | 27 | 30 | 35 | 36 | 38 | 39 | 41 | 42 | 45 | |||||||||||||||||||||||||
Требуется : | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
а)Определить параметры уравнения регрессии; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) определить коэффициент парной корреляции и проверить его | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
статическую надежность | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. Количественные оценки связи между величинами случайного процесса | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
устанавливает регрессионный анализ. Связи между переменными могут | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
линейные и нелинейные. В простейшем случае значения Y выражаются в | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
виде линейной зависимости : | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Y =a + bX, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
где a и b - коэффициенты регрессии. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Наиболее часто для расчетов коэффициентов применяют метод | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
наименьших квадратов. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. По методу наименьших квадратов произведем расчет коэффициентов | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения регрессии | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
из системы уравнении | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
sum(Yi)= n*A + B sum(Xi) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
sum(XiYi) = A* sum(Xi) + B*sum(Xi2)) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
А = sum(Yi) * sum(Xi2) - sum(XiYi) * sum(Xi) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
n* sum(Xi2)- (sum(Xi) 2) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
B = n*sum(XiYi) - sum(Xi)* sum(Yi) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
n*sum(Xi2)- (sum(Xi))2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
A=S2*S3-S4*S1 B=n*S4-S1*S2, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
n*S3-S1*S1 | n*S3-S1*S1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
где S1=SUM(Xi) S2=SUM(Yi) S3=SUM(Xi2) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
S4=SUM(XiYi) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
n - общее число замеров, в нашем случае это 10 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.В результате расчета получено уравнение регрессии: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Y= | 8,917+0,583*Х | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
3.Подставив значения X в уравнение найдем Y расчетное. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
4.По значениям экспериментальным и теоретическим строим графики. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. Связь между двумя случайными величинами, которая определяется с | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
некоторой вероятностью, называется корреляционной. Для | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
количественной оценки линейной корреляции используется коэффициент | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
парной корреляции | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
r = 10*S4-S1*S2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
(10*S3-S12)*(10*S5-S22) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
S5=SUM(Yi2) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
r= | 0,9104 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
По таблице Чеддока найдём тесноту связи между двумя явлениями, связь | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
"очень тесная" | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.Качество уравнений регрессии оценивают по его прогнозирующей | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
способности. Уравнения хорошо прогнозируют(т.е. адекватно описывают) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
экспериментальные данные, если расхождения между экспериментальными | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
и расчетными данными находятся в допустимых пределах. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для проверки адекватности уравнения найдем среднюю относительную | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
ошибку прогнозирования E: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
E=100 *SUM |Yэi - Ypi| | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 Yэi | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
где Yэi -экспериментальное, Ypi - расчетное значение | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Е= | 4,434% | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Это сравнительно большое значение ошибки прогнозирования при | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
полученном выше значении r. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Внимательно посмотрим на значения отклонений между фактическими и | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
расчетными значениями Y. Почти непрерывный рост уражайности | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
после 8 года сменяется спадом. 10 год дает самый большой прирост | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
ошибки прогнозирования. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
По всей видимости, для описания зависимости, лучше подошло бы | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
не уравнение прямой, а уравнение параболлы, так как после достижения | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
определенного уровня осадков урожайность начинает падать (много воды - | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
это тоже плохо для урожая) см. последние значения Х и Y | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
В 4 год также сравнительно большое расхождение, это может быть | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
вызванно тем, что урожайность зерновых зависит не только от | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
количества осадков, но и от многих других факторов, например от | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
количества теплых дней. Просто было холодно. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
i | X | Y | X2 | XY | Yрасч | Y2 | (Y-Yрасч) Y | ||||||||||||||||||||||||||||
1 | 25 | 23 | 625 | 575 | 23,5 | 529 | 0,0217 | ||||||||||||||||||||||||||||
2 | 27 | 24 | 729 | 648 | 24,67 | 576 | 0,0279 | ||||||||||||||||||||||||||||
3 | 30 | 27 | 900 | 810 | 26,42 | 729 | 0,0215 | ||||||||||||||||||||||||||||
4 | 35 | 27 | 1225 | 945 | 29,33 | 729 | 0,0863 | ||||||||||||||||||||||||||||
5 | 36 | 32 | 1296 | 1152 | 29,92 | 1024 | 0,0650 | ||||||||||||||||||||||||||||
6 | 38 | 31 | 1444 | 1178 | 31,08 | 961 | 0,0026 | ||||||||||||||||||||||||||||
7 | 39 | 33 | 1521 | 1287 | 31,67 | 1089 | 0,0403 | ||||||||||||||||||||||||||||
8 | 41 | 35 | 1681 | 1435 | 32,83 | 1225 | 0,0620 | ||||||||||||||||||||||||||||
9 | 42 | 34 | 1764 | 1428 | 33,42 | 1156 | 0,0171 | ||||||||||||||||||||||||||||
10 | 45 | 32 | 2025 | 1440 | 35,17 | 1024 | 0,0991 | ||||||||||||||||||||||||||||
å | 358 | 298 | 13210 | 10898 | 298 | 9042 | 0,4434 | ||||||||||||||||||||||||||||
среднее | 35,8 | 29,8 |
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||
Коэффициенты регрессии: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
b | 0,583 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
a | 8,917 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Уравнение регрессии: Y= | 8,917+0,583*Х | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Коэффициент парной корреляции: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
ЧИСЛИТ | 2296 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
ЗНАМЕН | 2522 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
R | 0,91 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
Средняя относительная ошибка прогнозирования: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
E= | 4,43439 |
Диаграмма6
|
| |
25 | 23 | 23,5 |
27 | 24 | 24,67 |
30 | 27 | 26,42 |
35 | 27 | 29,33 |
36 | 32 | 29,92 |
38 | 31 | 31,08 |
39 | 33 | 31,67 |
41 | 35 | 32,83 |
42 | 34 | 33,42 |
45 | 32 | 35,17 |