7271-1 (Апология Бесконечности в связи с парадоксом Лжец)

Апология Бесконечности в связи с парадоксом "Лжец"

Станишевский Олег Борисович

В нашей "Апологии бесконечности" [1] было показано, что отвергать актуальную бесконечность и канторовскую теорию множеств на том основании, что и диагональный метод доказательства существования бесконечных множеств, больших по своей мощности, чем счетное множество натуральных чисел, и само счетное множество как начальная актуальная бесконечность являются противоречивыми, – занятие несостоятельное и бесперспективное. Во-первых, – это чистейший агностицизм, а во-вторых, противоречия канторовской теории множеств устранимы и условиями их устранения является строгое соблюдение законов и принципов классической логики, как в конечном, так и в бесконечном. Все эти "за" и "против" бесконечности носили теоретико-множественный характер. Однако мы вынуждены продолжить защиту бесконечности, поскольку имеются выступления против бесконечности и канторовской теории множеств и с другой стороны, а именно, со стороны анализа классических парадоксов, когда результаты этого анализа используются для ниспровержения и дискредитации бесконечности. При этом аргументация ниспровержения является весьма солидной, поскольку в качестве аргументов используются результаты машинного моделирования парадоксов. Речь идет о работе А.А. Зенкина "Новый подход к анализу проблемы парадоксов" [2]. Посвящена она главным образом парадоксу "Лжец" и все антиканторовские выводы в ней основываются как на результатах анализа самого этого парадокса, так и на анализе результатов его машинного моделирования. Концепция Зенкина, как это нетрудно видеть из его же работы [3], претендует на то, чтобы она стала общепринятой в философском и, особенно, в математическом знании (см., например, его призыв в конце статьи [3]). Последствия принятия этой концепции будут весьма фундаментальными. Мало того, что придется отбросить весьма эффективную и солидную часть математического знания, но еще и наши представления о Бытии и о Всем Сущем будут отброшены на целые тысячелетия назад, когда Космос был конечным и круглым. Все это и заставило нас весьма скрупулезно вникнуть в аргументы Зенкина против бесконечности со стороны парадоксов в его работе [2].

Во-первых, в этой работе говорится [2, с. 80], что общим для всех усовершенствований теории множеств, "более похожих на грубое хирургическое вмешательство, чем (по мягкому выражению Гильберта) на "лекарства против парадоксов", является готовность пожертвовать любой частью здорового тела математической науки, но не столько для избавления математики от парадоксов, сколько ради сохранения ... теории трансфинитных чисел Г. Кантора, которая, например, тому же Гильберту, представлялась "заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека" ... . хотя ни для кого и никогда не было секретом, что для "спасения" математического "Титаника" было достаточно "запретить" использование в математике актуальной бесконечности и "пожертвовать" именно теорией трансфинитных чисел Кантора." Вот это и есть та концепция, которую отстаивает автор работы [2]. Во-вторых, в заключении к ней автор упоминает о своей статье "Ошибка Георга Кантора" [4] и напоминает, что им "показано, что канторовское "доказательство" существования бесконечных множеств, различающихся по их мощности (теорема Г. Кантора о несчетности множества всех действительных чисел), также основано на нефинитном "рассуждении" вида (5)". Под видом же (5) имеется ввиду "парадоксальная потенциально-бесконечная осцилляция" на с. 87 в [2]. «такое совпадение, – продолжает автор, – с результатами настоящей работы, конечно же, не случайно и является достаточно убедительным свидетельством того факта, что исторический "спор" Георга Кантора о природе актуальной бесконечности с Аристотелем, Лейбницем, Беркли, Локком, Гауссом, Коши, Пуанкаре, ... и другими, которые ... "... выказывали полнейшую убежденность в окончательной победе занимаемой ими позиции" ..., завершается в пользу знаменитого не лозунга, а пророчества великого Аристотеля: "Infinitum Actu Non Datur"». Кроме этого, как видно из приведенного фрагмента заключения, его автор в своем отрицании актуальной бесконечности опирается и на то, "что канторовское "доказательство" существования бесконечных множеств ... основано на нефинитном "рассуждении" вида" "парадоксальной потенциально-бесконечной осцилляции (5)". С одной стороны, автор здесь неточен в том, что называет канторовское диагональное доказательство нефинитным, которое на самом деле является финитным, что он сам и утверждает в [4, с. 167]: "2. Вывод Кантора о несчетности множества X "перепрыгивает" через потенциально-бесконечный этап ...". С другой стороны, сама "парадоксальная потенциально-бесконечная осцилляция вида (5)" основывается на несостоятельном "потенциально-бесконечном рассуждении вида (3)" (виды (5) и (3) приводятся ниже). Поэтому, чтобы защитить актуальную бесконечность, мы дадим критический анализ аргументации Зенкина, приведшей его к необоснованной парадоксальной потенциально-бесконечной осцилляции, используемой им для дискредитации актуальной бесконечности и канторовской теории множеств, а затем изложим истинное положение вещей, как с самим парадоксом "Лжец", так и с его техническим моделированием.

Начнем с того, что сначала укажем на неадекватно даваемые в работе [2] вербальную и формальную интерпретации парадокса "Лжец", а затем – на смешение языка и метаязыка в его вербальной интерпретации.

В самом начале статьи [2] автор говорит: "этот парадокс звучит так: "Я – лжец" – "Лжец ли я?" если я – лжец, то я лгу, когда утверждаю, что я – лжец, и, следовательно, я – не лжец. Но если я – не лжец, то я говорю правду, когда утверждаю, что я – лжец, и следовательно, я – лжец." Это – вербальная интерпретация парадокса. о ней можно сказать, во-первых, то, что она неадекватна, и, во-вторых, то, что в ней смешаны язык субъекта "Я" (объектный язык) и авторский язык (метаязык).

Неадекватность этой интерпретации, или рассуждения, состоит в следующем. С самого начала в нем, то есть в рассуждении, говорится: "если я – лжец, то я лгу, когда утверждаю, что я – лжец". Из контекста всего рассуждения следует, что заключение "то я лгу" так же, как затем и заключение "то я говорю правду", следует из начального предположения "Если я – лжец", или соответственно из "Но если я – не лжец", и является одномоментным с самим высказыванием "Я – лжец". Но поскольку высказывание "Я – лжец" истинно, так как субъект "Я" есть лжец, а сам субъект утверждает, что это ложь, говоря "Я – лжец", то сделанное автором заключение "то я лгу" является достаточным и нет необходимости еще в одном и уже неверном заключении "следовательно, я – не лжец". В этой связи уместно привести из книги А.С. Богомолова [5, с. 231] адекватную формулировку парадокса "Лжец", даваемую Евбулидом: "Когда ты говоришь "я лгу" и тем самым говоришь правду, ты лжешь. Ибо ты говоришь, что ты лжешь, и все же говоришь правду; следовательно, ты лжешь." Здесь имеют место два предложения, разъясняющие одну и ту же суть парадокса. А что делает автор вербальной интерпретации [2]? Он строит цепь посылок и заключений, которую в более развернутом виде можно представить следующим образом: 1) "я есть лжец"; 2) поскольку лжец – это тот, кто лжет, постольку "то я лгу"; 3) я утверждаю "я – лжец"; 4) поскольку, утверждая "я – лжец", я согласно второй посылке при этом лгу (в данном рассмотрении мы пока не принимаем в расчет то, что на самом деле здесь автор ошибается, поскольку субъект произносит правду), постольку "я – не лжец"; 5) но "если я – не лжец, то я говорю правду"; 6) я утверждаю "я – лжец"; 7) поскольку, утверждая "я – лжец", я согласно пятой посылке при этом говорю правду (здесь опять автор ошибается), постольку "я – лжец". Здесь из "1" следует "2", из "3" и "2" следует "4", из "4" следует "5", из "6" и "5" следует "7". Эта цепь суждений не является одномоментной. Но поскольку в математической логике нет времени, то в общем случае все суждения цепи должны (чтобы отличать их друг от друга) иметь различные имена, или обозначения. Однако всем этим автор пренебрегает: он, во-первых, вводит единое обозначение А="я – лжец" для изменяющегося субъекта (сначала субъект есть лжец, затем – не лжец), а во-вторых, объединяет две импликации "4" и "7", из которых вторая следует из первой, в одно одномоментное событие с помощью конъюнкции &: (А=>неА)&(неА=>А) (А=>неА читается "если А, то неА", где неА – отрицание А) , откуда естественным образом получает А&неА. Почему это надо считать истиной? Да потому, что автор в подобной ситуации на с.84 отвечает: "Исключительно потому, что нам так захотелось". Однако, из импликации "4" следует импликация "7", то есть на самом деле авторской вербальной интерпретации парадокса "Лжец", по крайней мере, отвечает импликация импликаций (А=>неА)=>(неА=>А), а не конъюнкция импликаций. Из импликации же импликаций следует не противоречие А&неА, а сам парадокс "Лжец": [(А=>неА)=>(неА=>А)] = [(неА+неА)=>(А+А)] = (неА=>А) = А (импликация (X=>Y)=(неX+Y), где "+" – дизъюнкция "или"). Это совпадает с тем, что сказал Евбулид.

одной из причин неадекватной вербальной и формальной интерпретации Зенкиным парадокса "Лжец", на наш взгляд, является смешение языков. Смешение языков в вербальной интерпретации парадокса "Лжец" состоит в том, что эта интерпретация дается от лица самого субъекта. На самом же деле субъект "Я" ничего, кроме "Я – лжец", сказать не может. Поэтому должен быть еще метасубъект, как Евбулид например, который бы не был связан ограниченностью языка субъекта. Конечно, можно сказать, что поскольку в разбираемой вербальной интерпретации все рассуждение ведется от авторского лица как метасубъекта, то и нет никакого смешения языков. На самом же деле это не так – ведь не ясно кто говорит "если я – не лжец", или "если я – лжец", или "то я лгу" и т.д. Поэтому и оказывается возможным говорить о двух высказываниях А="Я–лжец" и неА="Я–не лжец", да еще соединенных конъюнкцией &: А&неА. Только вот кому принадлежит второе высказывание не ясно – ведь субъект "Я" может сказать лишь "Я – лжец".

Нужно отметить еще и непоследовательность автора "нового подхода к анализу парадоксов". При анализе процесса моделирования парадокса "Лжец" автор почему-то позволяет себе провести «потенциально-бесконечное "рассуждение"» [2, с. 84], а при вербальной интерпретации парадокса он почему-то себе этого не позволяет. А должен был бы позволить и продолжить: "Но если я – лжец, ... Но если я – не лжец, ... Но если я – лжец, ..." и т.д. Затем, будучи корректным, он должен был бы получить бесконечную цепь импликаций импликаций (А=>неА)=>(неА=>А)=>(А=>неА)=>(неА=>А)=> ... (здесь для наглядности скобки, указывающие порядок следования внешних импликаций, опущены). и тогда ему не пришлось бы ошибочным образом строить ошибочное "потенциально-бесконечное рассуждение (3)".

Заканчивая критические замечания в отношении вербальной и формальной интерпретаций парадокса "Лжец" [2], следует сказать, что одна из его адекватных потенциально-бесконечных записей получается из высказывания "ложно то, что я сейчас говорю" и имеет вид: "ложно то, что ложно то, что ложно то, ..., что я сейчас говорю" [6, с.89-91].

Разбор неадекватных рассуждений в статье [2] мы закончим замечанием о некорректном доказательстве, а точнее – об отсутствии доказательства, недостаточности условий парадоксальности конструкции "НЕ+СЯ". Автор формулирует такую теорему [2, с.83]: "Самоприменимость с отрицанием, то есть логическая конструкция "НЕ+СЯ", является необходимым, но недостаточным условием (классической) парадоксальности." Если с необходимостью все ясно, то почему это условие является недостаточным – непонятно, поскольку автор говорит: "Недостаточность этих двух условий доказывается с помощью тривиального контрпримера: "Брадобрей должен брить всех тех, и только тех, жителей своей деревни, которые НЕ умываютСЯ по четвергам". Очевидно, что в этом утверждении почти расселовского типа есть конструкция "НЕ+СЯ", но нет никакого парадокса". Некорректность здесь заключается в том, что, как нам представляется, автор вложил не тот смысл в самоприменимость понятий, который она имеет на самом деле. Так, А.С. Богомолов говорит [5, с.231], что самоприменимость – это определение, включающее "ссылку на множество, к которому принадлежит определяемое." Иначе еще можно так сказать. Применение – это отношение между понятиями, объектами. Если к тому же эти понятия, объекты определены через это же отношение, то это и будет самоприменение. В приведенном же примере жители деревни, в том числе, и брадобрей как тот же житель деревни определены через отношение "умываться". Затем, хотя можно сказать и сначала, через отношение "брить" определен брадобрей, который бреет не умывающихся жителей. Самоприменение – это когда брадобрей должен брить или не брить жителей, которые бреются или не бреются, применение же отношения брить к жителям, находящимся в отношении умываться или не умываться, не является самоприменением. Поэтому "недостаточность" автором не доказана.