7271-1 (Апология Бесконечности в связи с парадоксом Лжец), страница 2

На этом мы закончим обсуждение неадекватных рассуждений автора работы о парадоксах и перейдем к разбору его ключевой ошибки.

Рассматривая физическую модель достаточных условий парадоксальности [2, с. 83-84], автор, с одной стороны, допускает фундаментальное противоречие с отстаиваемой им концепцией, а с другой стороны, основываясь на этом допущении, совершает ключевую ошибку в своей работе. Как мы знаем, в основе концепции автора лежит отрицание актуальной бесконечности. Согласно этой концепции никакая величина не может быть равной бесконечности, она может только стремиться к ней как к своему пределу. Автор же, вопреки этому, берет и допускает скорость распространения сигналов равной бесконечности, то есть V=∞ [2, с. 83,86]. Как это понимать методологически? Наверное только так, что когда автору необходимо получить результаты, позволяющие, по его мнению, дискредитировать канторовскую теорию множеств, то не грех и слукавить – взять и воспользоваться тем, что отрицаешь. А это и есть тот самый парадокс "Лжец", который он анализирует.

Ключевой ошибкой работы [2] являются полученные в ней "потенциально-бесконечное "рассуждение":

(-100=>0)&(0=>-100)&(-100=>0)&(0=>-100)&(-100=> 0)&... (3)"

и основанная на нем "потенциально-бесконечная осцилляция вида:

Y=И=>Y=Л=>Y=И=>Y=Л=>Y=Л=>... (5)"

Суть ошибки заключается в следующем. Сначала говорится [2, с. 83]: "после подачи на вход сумматора Σ напряжения X=+100 вольт, стрелка вольтметра W в течение 1-2 секунд плавно (время переходного процесса) переместилась из положения Y=0 в положение Y=-50 вольт и застыла в этом стационарном положении в полном соответствии с законом аналогового суммирования напряжений Y=-(X+Y), откуда Y=-1/2X." Дальше автор проводит неверные рассуждения. Допуская скорость распространения сигналов V=∞, что теоретико-гипотетически, без учета антиканторовской концепции, вполне допустимо, он говорит [2, с. 84]: "нефизический сигнал X=+100 вольт, – без потерь, без сопротивления и без всяких задержек, – мгновенно "проскакивает" через инвертор Σ и превращается в выходной сигнал Y=-100 вольт, который по цепи обратной связи вновь подается на вход Σ, складывается с входным сигналом X=+100 вольт, дает на выходе Σ сигнал Y=0 вольт, который по цепи обратной связи подается на вход Σ и суммируется с X=+100 вольт, дает на выходе сигнал Y=-100 вольт, и т.д." (это "рассуждение" вида (3)).

Данная ошибка Зенкина подобна той, в которой он "уличает" Георга Кантора, а именно: он "перепрыгивает" через потенциально-бесконечный этап. Действительное положение вещей при моделировании на АВМ (АВМ – аналоговая вычислительная машина) с помощью "стандартной схемы инвертора с обратной связью" [2, с. 84] является следующим. рассматривая предельные переходы типа скорость распространения сигналов V стремится к бесконечности ∞, или, что то же самое, время t переходных процессов в схеме сумматора Σ с инвертором стремится к нулю 0, надо действовать в строгом соответствии с методами, принятыми и отработанными в физике и математическом анализе для подобных воображаемых экспериментов и не следует "перепрыгивать" через следующий потенциально-бесконечный этап. Первое: после подачи на вход Σ напряжения X=+100 вольт через время переходных процессов t=1-2 секунды напряжение на выходе Σ изменится от Y=0 до Y=-50 вольт в полном соответствии с аналоговым суммированием напряжений Y=-(X+Y) => Y=-1/2X. Второе: допуская, что время переходных процессов схемы сумматора нам удалось уменьшить в 2-4 раза, то есть с t=1-2 секунды до t=1/2 секунды, мы должны заметить, что и соответствующее выходное напряжение Y=-50 вольт установится не через 1-2 секунды, а через 1/2 секунды. Третье: уменьшив предыдущее время 1/2 секунды в 2 раза, мы получим соответствующее значение напряжения Y=-50 вольт уже не через 1/2 секунды, а через 1/4=2-2 секунды. Четвертое: снова, третий раз, уменьшив предыдущее время переходных процессов t=2-2 с в 2 раза, мы получим соответствующее выходное напряжение Y=-50 вольт уже через t=2-3 с. Пятое: уменьшая таким образом в 2 раза время переходных процессов четвертый, пятый, шестой и вообще n-й раз, мы будем получать соответствующее установившееся выходное напряжение Y=-50 вольт все раньше и раньше: через 2-4 с, через 2-5 с, через 2-6 с и вообще через 2-n с. Надо подчеркнуть, что при любом значении времени переходных процессов t=2-n с выходное напряжение Y=-50 вольт устанавливается именно через это время t=2-n с и затем не меняется в полном соответствии с законом аналогового суммирования напряжений Y=-(X+Y). Ничего не меняется и при t=lim2-n(при n=>∞)=0, или, что то же самое, при скорости распространения сигналов V=∞, когда, как говорит автор [2], сигналы со входа на выход "проскакивают мгновенно": при входном сигнале X=+100 вольт на выходе сумматора Σ "мгновенно" устанавливается сигнал Y=-50 вольт и остается неизменным при неизменном входном сигнале. Таким образом, на выходе будь-то физической модели МФ конструкции "НЕ+СЯ" [2, с.84], или изоморфной ей логической модели МЛ конструкции "НЕ+СЯ" [2, с.85], или, что то же самое, блока логического доказательства ΣЛ, никак не может иметь места переменная последовательность любого из видов то ли в форме "потенциально-бесконечного рассуждения (3)", то ли в форме "парадоксальной потенциально-бесконечной осцилляции (5)".

Кроме этого, к сказанному надо добавить несколько слов о двусмысленности и фактическом отсутствии изоморфизма между физической МФ и логической МЛ моделями парадокса "Лжец", или логической конструкции "НЕ+СЯ", как называет его автор. Так, на с.86 он говорит, что физическая МФ и логическая МЛ модели изоморфны. Затем он говорит, что в логической модели МЛ входной и выходной сигналы X и Y принимают значения И и Л. Но что сопоставляется им в физической модели МФ, являющейся изоморфной логической модели МЛ, четко и ясно ничего не сказано. Наверное, неспроста. Действительно, в соответствии с общепринятыми канонами построения логических схем, верхнему уровню напряжения сопоставляется истина И, а нижнему уровню – ложь Л. поскольку в авторском изложении, надо думать, верхним уровнем является напряжение +100 вольт, а нижним уровнем – -100 вольт, постольку согласно изоморфизму должны быть соответствия -100Л, +100И. Однако, легко выяснить, что, подав на вход X модели МФ сигнал +100 вольт, на выходе Y в полном соответствии с законом суммирования напряжений Y=-(+100+Y) установится напряжение Y=-50 вольт, которое не соответствует ни истине, ни лжи. При подаче X=-100 вольт согласно Y=-(-100+Y) на выходе установится напряжение Y=+50 вольт. Спрашивается: какие напряжения в физической модели соответствуют логическим значениям И и Л? даже допуская, что, с учетом последовательностей (3) и (3а) на с.84, истине И в логической модели соответствует напряжение ±100 вольт в физической модели, а лжи Л – 0 вольт, то и тогда в отношении изоморфизма концы с концами не сходятся, поскольку на выходе Y физической модели 0 вольт может быть получено только и если только на ее входе X будет тоже 0 вольт. Из этого мы и заключаем, что изоморфизм между моделями МФ и МЛ фактически отсутствует и поэтому переносить закон функционирования физической модели вида (3), к тому же ошибочный, на логическую модель и придавать ему вид потенциально-бесконечной осцилляции безосновательно. Как мы уже сказали выше, автор мог бы получить свою "потенциально-бесконечную осцилляцию (5)" путем продолжения своей вербальной интерпретации парадокса "Лжец", не привлекая для этого ошибочным образом машинное моделирование.

Мы приносим свои извинения за возможно утомительный разбор неадекватных аргументов автора статьи [2]. Но бесконечность заслуживает этого и требует от нас аккуратного обращения с ней. Поэтому мы сделаем еще одно, последнее, замечание. На с.87 автор говорит о дискретном "автомате", запущенном Эпименидом и генерирующем ничем не остановимую бесконечную последовательность (5а) "...=>лжец=>не лжец=>...", альтернативы для которой нет. Причем, альтернативы в том смысле, что "тот факт, что из потенциальной бесконечности, предначертанной процессу (5а) ..., первые 2600 лет уже пройдены, является довольно слабым утешением для тех, кто вслед за Георгом Кантором намеревается достичь его (этого процесса) трансфинитного Конца." Это, конечно, не так – ведь еще Евбулид дал тождественно-истинную интерпретацию парадокса "Лжец", которая не порождает регресса в бесконечность, и мы это подтвердим и формально, и вербально, и кибернетическими моделями.

Таким образом, "новый подход к анализу проблемы парадоксов" не дает нам никаких оснований и доводов для дискредитации как актуальной бесконечности, так и канторовской теории множеств, а сама работа А.А. Зенкина не выдерживает никакой критики.

Перейдем теперь к рассмотрению истинного положения вещей, связанного с парадоксом "Лжец" и с возможностью его технического, а точнее – кибернетического моделирования. Это рассмотрение является дополнением и конкретизацией весьма обстоятельного изучения парадокса "Лжец" в монографии [7]. Начнем с истинного положения вещей, связанного с парадоксом "Лжец". Но предварительно скажем несколько вводных слов о самом парадоксе.

Высказывание "Лжец" кратко и формально мы будем писать так: (Я=Л). это будет означать как "Я – лжец", так и "Я лгу". Записи Я=Л и Я=И не являются высказываниями – они лишь показывают только то, что субъект Я, или, что то же самое, высказывание Я, является либо лжецом (ложью), либо не лжецом (истиной). Другими словами, формальная запись в скобках будет означать высказывание, имеющее значение истины или лжи, а без скобок – высказывательную форму или равенство, о которых не говорят – ложны они или истинны. Вербальная интерпретация парадокса "Лжец" имеет две ипостаси. Первая ипостась – это ипостась субъекта-лжеца и звучит она так, как сказал Евбулид: когда ты утверждаешь "Я лгу" или "Я – лжец" и тем самым говоришь правду, то ты в самом деле лжец. Вторая ипостась – это ипостась субъекта-не лжеца и звучит она так: когда ты утверждаешь "Я лгу" или "Я – лжец" и тем самым лжешь, то ты и в самом деле не лжец.

Дать истинное положение вещей в парадоксе "Лжец" затруднительно в основном из-за самоприменимости. Поэтому, чтобы адекватно выявить сущность самоприменимого высказывания, мы будем смотреть, как поступают в подобных случаях в математике, а затем использовать ее приемы для разрешения затруднений в самоприменимом высказывании "Лжец".

Математика изучает функции y=f(x), где аргумент x– это область определения, или существования, функции y=f(x), а y– это область значений функции, или, что то же самое, x– независимая переменная, y– зависимая переменная. Никаких противоречий с классической логикой здесь нет. Если же мы вместо x подставим y, то получим другой математический объект – алгебраическое уравнение y=f(y), суть которого состоит в том, что надо найти те значения yi, при которых выполняется равенство y=f(y). При этом говорят, что высказывание z=(y=f(x)) истинно при y=yi и ложно в остальных случаях. Все это тоже согласуется с классической логикой.

Возьмем теперь математическую логику и в ней некоторое предложение y=P(x), определенное на некотором множестве объектов x. Здесь тоже все в порядке с классической логикой. Но как только вместо x подставляют y, так начинаются проблемы с классической логикой. Действительно, о предложении y=P(y) начинают говорить, что оно само задает себя, или что оно задано посредством самоприменимости. В результате часто получают парадоксы. Так, при y=Я и P(Я)=(Я=Л) получают Я=(Я=Л) и говорят, что высказывание (Я=Л) одновременно и истинно, и ложно. Как это понимать? А так, что на самом деле парадокс "Лжец" есть, с одной стороны, высказывание (Я=Л), а с другой стороны, это и сам субъект Я. Поэтому при Я=Л высказывание (Я=Л)=(Л=Л)=И и соответственно получается, что в силу Я=(Я=Л) высказывание (Я=Л) оказывается одновременно и ложным Я=Л, и истинным (Я=Л)=(Л=Л)=И. Точно так же при Я=И высказывание (Я=Л)=(И=Л)=Л, что означает, что в силу Я=(Я=Л) высказывание (Я=Л) оказывается одновременно и истинным Я=И, и ложным (Я=Л)=(И=Л)=Л. В результате оказывается, что (Я=Л)=неЯ и соответственно в силу Я=(Я=Л) получаем Я=неЯ. при этом игнорируют то обстоятельство, что субъект Я высказывания (Я=Л) по законам классической логики не тождествен самому высказыванию, несмотря ни на какую самоприменимость (об изменчивости субъекта и нарушении закона тождества см. у И.Н. Буровой [8, глава 1]).

Если мы поступим так же, как поступают в математике, то есть посмотрим на высказывательную форму Я=(Я=Л) как на уравнение или как на высказывание z=(Я=(Я=Л)), относительно которого надо выяснить – истинно оно или ложно, то мы ответим и на интересующий нас вопрос, а именно – противоречит ли классической логике форма Я=(Я=Л)? уравнение Я=(Я=Л) решается просто путем подстановки в него вместо переменной Я ее возможных значений И и Л. поскольку (Я=Л)=неЯ, то решение уравнения Я=(Я=Л) сводится к решению уравнения Я=неЯ. Последнее же не имеет решения, так как ни при Я=И, ни при Я=Л равенство Я=неЯ не выполняется. Следовательно, высказывание z=(Я=(Я=Л)) является ложным и ложным потому, что высказывательная форма Я=(Я=Л) получена с нарушением законов классической логики – конкретно – закона тождества, согласно которому субъект Я высказывания (Я=Л) не есть само это высказывание. Более обще: субъект y любого высказывания P(y) не тождествен самому этому высказыванию. Совпадение значений субъекта y со значениями высказывания P(y), в общем, является случайным и строить на нем какую-либо парадигму нелогично и ненаучно.

Адекватную высказывательную форму, полностью описывающую парадокс "Лжец", можно получить двумя путями – либо чисто логически, либо чисто формально, со строгим соблюдением законов классической логики. В обоих случаях исходной посылкой является само высказывание (Я=Л).

Логический путь. Поскольку мы уже знаем, что (Я=Л)=неЯ, то мы берем за основу и эту высказывательную форму. трактовка самоприменимости в форме Я=(Я=Л) является неадекватной не только по причине нарушения закона тождества, но и чисто по существу. Существо же парадокса "Лжец" состоит в том, что, в силу самоприменимости, высказывание (Я=Л) также утверждает о себе, что оно есть ложь и поэтому для него справедливо высказывание ((Я=Л)=Л). Далее мы замечаем, что ((Я=Л)=Л)=не(Я=Л). А так как (Я=Л)=неЯ, то ((Я=Л)=Л)=ненеЯ=Я. Это и есть адекватная высказывательная форма: Я=((Я=Л)=Л). Соответственно высказывание, полностью и без регресса в бесконечность описывающее парадокс "Лжец", имеет вид (Я=((Я=Л)=Л)).

Формально и без нарушения закона тождества мы должны рассматривать высказывание (Я1=(Я=Л)), а не (Я=(Я=Л)). Самоприменимость же высказывания (Я=Л) означает, что и (Я1=Л). Опять же формально, дальше должно рассматриваться высказывание (Я2=(Я1=Л)). Поскольку Я1=(Я=Л)=неЯ, то Я2=(Я1=Л)=неЯ1=ненеЯ=Я. Следовательно, парадокс "Лжец" описывается либо двумя высказываниями

(Я1=(Я=Л)),   (Я=(Я1=Л)),

либо одним, эквивалентным этим двум, высказыванием вида