Texts on physics, maths and programming (Несколько текстов для зачёта), страница 27

2015-12-04СтудИзба

Описание файла

Файл "Texts on physics, maths and programming" внутри архива находится в папке "3". Документ из архива "Несколько текстов для зачёта", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "английский язык" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "остальное", в предмете "английский язык" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "Texts on physics, maths and programming"

Текст 27 страницы из документа "Texts on physics, maths and programming"

Consider therefore two concentric semicircles Γ1 and Γ2 in the upper half plane, centred on the origin, and of radii R1 < R2. For |r| < R1 let αμ be conformal, with αz = α (z), while for |r| > R2 take αμ = 0. In between, αμ is not conformal, but is differentiable, so that . This can be integrated by parts to give a term (which must vanish because αν is arbitrary in this region, implying that ∂μTμν = 0) and two surface terms. That on Γ2 vanishes because αμ = 0 there. We are left with

(43)

where dℓλ is the line element along Γ1.

The fact that Tμν is conserved means, in complex coordinates, that , so that the correlations functions of T (z) ≡ Tzz are holomorphic functions of z, while those of are antiholomorphic. Eq. (43) may then be written

(44)

In any field theory with a boundary, it is necessary to impose some boundary condition. It can be argued that any translationally invariant boundary condition flows under the RG to conditions satisfying Txy = 0, which in complex coordinates means that on the real axis. This means that the correlators of are those of T analytically continued into the lower half plane. The second term in (44) may then be dropped if the contour in the first term is around a complete circle.

The conclusion of all this is that the effect of an infinitesimal conformal transformation on any correlator of observables inside Γ1 is the same as inserting a contour integral ∫ T (z)α (z) dz/2πi into the correlator.

Another important element of CFT is the operator product expansion (OPE) of the stress tensor with other local operators. Since T is holomorphic, this has the form

(45)

where the (n) are (possibly new) local operators. By taking α (z  z (corresponding to a scale transformation) we see that (0) = h , where h is its scaling dimension. Similarly, by taking α = const., (−1) = ∂x . Local operators for which (n) vanishes for n   1 are called primary. T itself is not primary: its OPE with itself takes the form

T(zT(0)=c/2z4+(2/z2)T(0)+(1/z)∂zT(0)+ ,

(46)

where c is the conformal anomaly number, ubiquitous in CFT. For example, the partition function on a long cylinder of length L and circumference ℓ behaves as exp(πcL/ℓ), cf. (10).

5.2. Radial quantisation

This is the most important concept in understanding the link between SLE and CFT. We introduce it in the context of boundary CFT. As before, suppose there is some set of fundamental fields {ψ (r)}, with a Gibbs measure eS[ψ][dψ]. Let Γ be a semicircle in the upper half plane, centered on the origin. The Hilbert space of the BCFT is the function space (with a suitable norm) of field configurations {ψΓ} on Γ.

The vacuum state is given by weighting each state by the (normalised) path integral restricted to the interior of Γ and conditioned to take the specified values on the boundary

(47)

Note that because of scale invariance different choices of the radius of Γ are equivalent, up to a normalisation factor.

Similarly, inserting a local operator  (0) at the origin into the path integral defines a state | . This is called the operator-state correspondence of CFT. If we also insert (1/2πi)∫C zn+1T (z) dz, where C lies inside Γ, we get a state Ln| . The Ln act linearly on the Hilbert space. From the OPE (45) we see that Ln|    | (n) , and that, in particular, L0|  = h | . If is primary, Ln|  = 0 for n   1. From the OPE (46) of T with itself follow the commutation relations for the Ln

(48)

which are known as the Virasoro algebra. The state | together with all its descendants, formed by acting on | an arbitrary number of times with the Ln with n   −1, give a highest weight representation (where the weight is defined as the eigenvalue of −L0).

There is another way of generating such a highest weight representation. Suppose the boundary conditions on the negative and positive real axes are both conformal, that is they satisfy , but they are different. The vacuum with these boundary conditions gives a highest weight state which it is sometimes useful to think of as corresponding to the insertion of a ‘boundary condition changing’ (bcc) operator at the origin. An example is the continuum limit of an Ising model in which the spins on the negative real axis are −1, and those on the positive axis are +1.

5.3. Curves and states

In this section, we describe a way of associating states in the Hilbert space of the BCFT with the growing curves of the Loewner process. This was first understood by Bauer and Bernard [10], but we shall present the arguments slightly differently.

The boundary conditions associated with a bcc operator guarantee the existence, on the lattice, of a domain wall connecting the origin to infinity. Given a particular realisation γ, we can condition the Ising spins on its existence. We would like to be able to assume that this property continues to hold in the continuum limit: that is, we can condition the fields {ψ} on the existence of a such a curve. However, this involves conditioning on an event with probability zero: it turns out that in general the probability that, with respect to the measure in the path integral, the probability that a domain wall hits the real axis somewhere in an interval of length vanishes like h. In what follows we shall regard as small but fixed, and assume that the usual properties of SLE are applicable to this more general case.

Any such curve may be generated by a Loewner process: denote as before the part of the curve up to time t by γt. The existence of this curve depends on only the field configurations ψ in the interior of Γ, as long as γt lies wholly inside this region. Then we can condition the fields contributing to the path integral on the existence of γt, thus defining a state

(49)

The path integral (over the whole of the upper half plane, not just the interior of Γ), when conditioned on γt, gives a measure dμ(γt) on these curves. The state

|h =|ht ∫dμ(γt)|γt

(50)

is in fact independent of t, since it is just given by the path integral conditioned on there being a curve connecting the origin to infinity, as guaranteed by the boundary conditions. In fact we see that |h is just the state corresponding to a boundary condition changing operator at the origin.

However, dμ (γt) is also given by the measure on at in Loewner evolution, through the iterated sequence of conformal mappings satisfying dt = 2dt/t − dat. This corresponds to an infinitesimal conformal mapping of the upper half plane minus Kt. As explained in the previous section, dt corresponds to inserting (1/2πi)∫C (2dt/z − dat)T (z) dz. In operator language, this corresponds to acting on |γt with 2L−2dt − L−1dat where Ln = (1/2πi)∫C zn+1T (z) dz. Thus, for any t1 < t

(51)

where T denotes a time-ordered exponential.

The measure on γt is the product of the measure of γt γt1, conditioned on γt1, with the unconditioned measure on γt1. The first is the same as the unconditioned measure on gt1(γt), and the second is given by the measure on at for t′   [0, t1]. Thus, we can rewrite both the measure and the state in (50) as

(52)

For SLE, at is proportional to a Brownian process. The integration over realisations of this for t′   [0, t1] may be performed by breaking up the time interval into small segments of size δt, expanding out the exponential to O (δt), using (Bδt)2 ≈ δt, and re-exponentiating. The result is

(53)

But, as we argued earlier, |ht is independent of t, and therefore

(54)

This means that the descendant states L−2|h and are linearly dependent. We say that the Virasoro representation corresponding to |h has a null state at level 2. From this follow an number of important consequences. Acting on (54) with L1 and L2, and using the Virasoro algebra (48) and the fact that L1|h  = L2|h  = 0 while L0|h  = h|h , leads to:

(55)

(56)

These are the fundamental relations between the parameter κ of SLE and the data of CFT. The conventional notation h2,1 comes from the Kac formula in CFT which we do not need here. In fact this is appropriate to the case κ < 4: for κ > 4 it corresponds to h1,2. (To further confuse the matter, some authors reverse the labels.) Note that the boundary exponent h parametrises the failure of locality in (23). From CFT we may also deduce that, with respect to the path integral measure, the probability that a curve connects small intervals of size about points r1, r2 on the real axis behaves like

(57)

Such a result, elementary in CFT, is difficult to obtain directly from SLE in which the curves are conditioned to begin and end at given points.

Note that the central charge c vanishes when either locality (κ = 6) or restriction (κ = 8/3) hold. These cases correspond to the continuum limit of percolation and self-avoiding walks, respectively, corresponding to formal limits Q → 1 in the Potts model and n → 0 in the O (n) model for which the unconditioned partition function is trivial.

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее