Book4 (Конструирование РЭС - ред. А.С. Назаров), страница 2

Модель системы с силовым возбуждением приведена на рис. 4.2.
Возбуждающая гармоническая сила Р = Р_Qsinωt приложена к массе и

вызывает ее перемещение. Кроме возбуждающей, в системе действуют
сила инерции Р_и = т ż, сила упругости пружины Р_у =kz , диссипативная сила (сила демпфирования) Р _д = β ż. Согласно принципу Даламбера, в любой момент времени все силы, действующие на систему, находятся в равновесии. Поэтому движение массы относительно положения
статического равновесия можно представить дифференциальным
уравнением

mż + βż + kz = P₀sinωt. (4.3)

В результате деления правой и левой частей (4.3) на m уравнение
приводится к виду

/

ż+ 2δz + ω₀z = ω²₀ z_CTsinωt. (4.4)

где δ=β/2m — коэффициент демпфирования; — круговая
частота свободных колебаний; z_CT = P₀/k — статический прогиб упру-
гого элемента системы под действием силы Р ₀.

Уравнение (4.4) имеет два решения: для свободных и для вынужден-
ных колебаний.

122

I

Поскольку параметры свободных колебаний определяются только
состоянием самой системы, правую часть уравнения (4.4) полагают рав-
ной нулю. Уравнение становится однородным.

Решение уравнения при начальных условиях Ż(0)=z(0)=0,z(0)=V
и отсутствии демпфирования (δ = 0) имеет вид

z = (v/ω₀) sin ω_о t = Z sin ω₀t, (4.5)

где Z = v/ω ₀ — амплитуда свободных колебаний.

Из уравнения (4.5) следует, что свободные колебания протекают на
частоте со ₀, амплитуда колебаний зависит от начальных условий (мгно-
венной скорости к, сообщенной массе в начальный момент времени).
Частота свободных колебаний определяется жесткостью упругого эле-
мента k и массой т конструкции.

Если учесть, что реальным систе-
мам присуще затухание δ≠0, то решение однородного дифференциального уравнения свободных колебаний дает следующее соотношение для перемещения:

z = (v/ω₀) e^-δtsinω₁t, (4.6)

где -частота колебаний. Так как ω₀ >> 5, то принимают ω₁ ≈ ω ₀.

Выражение (4.6) представляет собой затухающее колебание с пери-
одом Т₁ = 2 π≠ω₁ (рис. 4.4). Затухание свободных колебаний количественно можно характеризовать логарифмическим декрементом колебаний

λ = ln(Z_i/Z_i+l) = ln(e^-δt / e^{-δ(t+T1 )}) =δ T₁,

где Z_i, Z_i+l — значения предыдущей и последующей амплитуд колебаний соответственно.

Таким образом, свободные колебания в системах существуют непос-
редственно после внешнего воздействия на отрезке времени, в конце

которого множитель е^-δt и, следовательно, амплитуда перемещения
становятся равными нулю.

123

Вынужденные колебания в системе протекают под действием внеш-
ней гармонической силы Р = Р ₀ sin ω t.

Общее решение уравнения (4.3) может быть представлено в виде
суммы решения (4.5) однородного уравнения и частного решения, соот-
ветствующего гармонической силе Р :

z = Z e^-δt sin(ω₀t-φ₀) + μZ_CTsin(ωt-φ). (4.7)

Перемещение при вынужденных колебаниях

z_B = μz_CTsin(ωt-φ). (4.8)

Здесь —коэффициент динамичности системы,

где δ₀=δ/ω₀ — коэффициент затухания ; v=ω/ω₀ — коэффициент частотной расстройки или частотное отношение;

φ = arctg [ β ω/(k - т ω² )] — начальная фаза вынужденных колебаний.
Амплитуда вынужденных колебаний Z _в = μ z _ст, откуда μ = z_b/z _ст.

Таким образом, коэффициент динамичности ц показывает, во
сколько раз амплитуда вынужденных колебаний при действии силы
Р_Qsinωt больше (или меньше) статического прогиба упругого эле-
мента системы под действием силы P₀.

Характерной особенностью вынужденных колебаний является зави-
симость их амплитуды не только от параметров системы и внешнего
воздействия, но и от частоты возмущающей силы со. Максимальное зна-
чение коэффициента динамичности

соответствует коэффициенту частотной расстройки

Зависимость коэффициента динамичности от частотной расстрой-
ки v приведена на рис. 4.5. Если частота возмущающей силы со совпада-
ет с частотой свободных колебаний (v = 1), то возникает явление меха-
нического резонанса, при котором амплитуда вынужденных колебаний
достигает максимальной величины, а при отсутствии затухания стано-
вится бесконечно большой. Поэтому исключение механических резо-
нансов выбором частот свободных колебаний механических систем за
пределами диапазона частот внешних вибрационных воздействий —
одно из необходимых условий обеспечения вибропрочности.

Модель механической системы с кинематическим возбуждением
приведена на рис. 4.6.

124

Рис. 4.5. Зависимость коэффициента дина- Рис. 4.6. Модель механической

мичности от частотной расстройки системы с кинематическим

возбуждением

Внешнее вибрационное воздействие P=Р_Qsinωt приложено к ос-
нованию (платформе), которое перемещается по гармоническому закону z_а=Z_asinωt, где Z _а - амплитуда виброперемещения основания.

Движение системы подчиняется уравнению

mž + β(ż-ż_a) + k(z-z_a) = 0, (4.9)

где разность перемещения массы и основания (z-z_a) характеризует
упругую деформацию системы.

После подстановки в (4.9) частного решения для вынужденных ко-
лебаний (4.8) и выражения для перемещения основания уравнение движения системы приводится к виду

(-mω²+jωβ + k)z = (jωβ +k)z_a
откуда находят передаточную функцию

F(j ω) = z/z _a = (k+ jωβ) /(k-m ω²+ jωβ )
и амплитуду колебаний системы

Отношение амплитуд перемещения массы и основания

125

Рис. 4.7. Зависимость

коэффициента передачи вибраций

от частотной расстройки

носит название коэффициента пере-
дачи вибраций. Зависимость ц от ко-
эффициента частотной расстройки
v приведена на рис. 4.7. Как видно из
рисунка, коэффициент передачи г|
становится меньше единицы, если
значение v превышает . Эта осо-
бенность в поведении коэффициента передачи вибраций используется
для организации виброзащиты кон-
струкций (виброизоляции) с по-
мощью амортизаторов.

4.2.2. Воздействие удара на систему с одной степенью свободы

Анализ ударных воздействий имеет целью определение деформа-
ций и механических напряжений, возникающих в элементах конструк-
ции в зависимости от величины и характера ударных нагрузок. Как от-
мечалось в разд. 4.1, для упрощения анализа ударные импульсы раз-
личной формы приводят к эквивалентному прямоугольному импульсу,
используя зависимость

где a₀, τ_o — ускорение и длительность прямоугольного эквивалент-
ного ударного импульса соответственно; а, τ — ускорение и длитель-
ность ударного импульса произвольной формы соответственно. Расче-
ты показывают [25], что для синусоидального импульса (см. рис. 4.1, б)
можно принять a₀= 0,63а , τ ₀ = τ , для косинусоидального импульса —

а₀ = 0,5а, τ₀= 1,27τ. Аналогичные соотношения нетрудно получить

для трапецеидального и треугольного импульсов.

Наиболее просто удар моделируется падением конструкции с опре-
деленной высоты на жесткую платформу. Конструкцию представляют
моделью механической системы с одной степенью свободы.

В результате удара возникает колебательное движение массы отно-
сительно положения равновесия, соответствующего статическому про-
гибу упругого элемента под действием силы тяжести (рис. 4.8). Движе-

126

ние имеет характер свободных ко-
лебаний и без учета сил неупругого
сопротивления протекает в соответ-
ствии с дифференциальным урав-
нением

mž + kz = 0. (4.10)

Начальными условиями при этом
являются:

при t = 0 z = -z_CT , ż (0) = V₀, где

z_CT = mg/K— статический прогиб

упругого элемента;

начальная скорость перемещения; Н₀ — высота падения конструкции.
Решение уравнения (4.10) для перемещения массы получают в виде

z(t) = (v₀/(ω₀)sinω₀t-z_CTcosω₀t, (4.11)

где — частота свободных колебаний. Из (4.11) можно найти
максимальное перемещение массы

и полную (динамическую) деформацию упругого элемента

.

где µ— коэффициент динамичности конструкции.

Жесткость k и полная деформация упругого элемента определяют
эквивалентную силу удара Р_УД =kz_Д =mgμ. При известной силе уда-

ра Р_УД можно найти напряжения, возникающие в упругом элементе
конструкции.

Чтобы оценить перегрузки элементов при ударе, из соотношения
(4.11) находят ускорение

ž(t) = - v₀ ω₀ sin ω ₀t + z_CT ω²₀ cos ω₀t.
Максимальное значение ускорения

определяет перегрузку при ударе:

127

Защита конструкций РЭС от ударов осуществляется с помощью
амортизаторов. Движение амортизированной системы, вызываемое уда-
ром, зависит как от характеристик самой системы, так и от параметров
удара. Поведение амортизированных систем при воздействии удара
подробно рассмотрено в разд. 4.6.

4.3. Расчет показателей вибропрочности конструкций РЭС

Исходя из определения вибропрочности и анализа динамических
процессов, протекающих в элементах конструкций РЭС при вибрациях,
можно определить следующие условия обеспечения вибропрочности:

отсутствие в конструкции механических резонансов;

ограничение амплитуды виброперемещения и виброскорости значе-
ниями, исключающими опасные напряжения и усталостные явления в
элементах конструкции;

допустимые значения виброперегрузок в диапазоне частот внешних
воздействий должны превышать величины, определенные техническим
заданием на разработку конструкции РЭС.

Первое условие выполняется, если частота свободных колебаний
элементов конструкции лежит за пределами диапазона частот внешних
воздействий. Ввиду того, что частота свободных колебаний , где k — жесткость элемента конструкции; т — масса,для снижения массы конструкции приемлемым является решение: ω₀>ω_в

где ω_в верхняя граница диапазона частот внешних воздействий.