Рис. 1.11. Энергетическая диаграмма , поясняющая возникновение электрона и дырки в совершенном кристалле.

Таким образом в качестве носителей заряда в любой среде могут выступать способные перемещаться под действием электрического поля электроны - n, дырки - p, положительно и отрицательно заряженные ионы- ip и in . Для концентрации заряда в единице объема можно записать:

N = n + p + in + ip, (1.6)

Если (in + ip ) >> (n + p), то это материалы с ионной проводимостью, что типично для диэлектриков.

Если (n + p ) >> (in + ip), то это материалы с электронной проводимостью, это типично для полупроводников и металлов.

1.2.3. Легирование кристаллов донорной или акцепторной примесью, полупроводники "n" и "p" типа .

Наличие в кристалле примесей и дефектов приводит к появлению в запрещенной зоне энергетических уровней, положение которых зависит от типа примеси или дефекта. Для управления электрическими свойствами полупроводников в них специально вводят примеси (легируют). Так введение в элементарный полупроводник IV группы периодической системы элементов, например Si, примеси элементов V группы (доноров) приводит к появлению дополнительных электронов и соответственно преобладанию электронной проводимости (n - тип), введение элементов III группы приводит к появлению дополнительных дырок (p-тип).

Рис. 1.12. Схема образования свободного электрона и заряженного донорного атома при легировании Si элементами V группы периодической системы

На рис. 1.12 показана схема кристалла Si, в который введен фосфор (V группа). Элемент V группы (донор) имеет 5 валентных электронов, четыре из них образуют связи с соседними атомами Si, пятый электрон связан только с атомом примеси и эта связь слабее остальных, поэтому при нагреве кристалла этот электрон отрывается первым, при этом атом фосфора приобретает положительный заряд, становясь ионом.

(1.7)

где E_d - энергия ионизации (активации) донорного атома.

Энергия ионизации доноров, как правило не велика (0.005 - 0.01 эВ) и при комнатной температуре они практически все отдают свои электроны. При этом концентрация электронов, появившихся за счет ионизации доноров примерно равна концентрации введенных атомов примеси и значительно превосходит собственную концентрацию электронов и дырок n>>n_i, поэтому такие материалы и называют электронными материалами (n-тип).

Введение донорной примеси приводит к увеличению концентрации электронов, поскольку энергия связи электронов с примесным атомом меньше, чем с основным атомом решетки, то ему легче оторваться.

При некоторой температуре (ее называют температурой истощения примеси) почти все примесные атомы будут термически ионизованы, тогда концентрация электронов в зоне проводимости будет примерно равна концентрации донорных атомов:

n ~ Nd⁺ ~ Nd (1.8)

При этом концентрация электронов становится значительно больше концентрации дырок, которые могут возникнуть только за счет тепловой активации валентных электронов. Такие материалы будут обладать электронной проводимостью. Из называют материалами n – типа. Будем называть электроны в них основными носителями и обозначать n_n, соответственно дырки будем называть неосновными носителями заряда и обозначать p_n.

Используя (1.5) и (1.7) получим для области истощения примеси:

(1.7)

Согласно (1.7) чем больше концентрация основных носителей, тем меньше концентрация неосновных, это хорошо подтверждается в экспериментах.

Рассмотрим, что происходит при введении в тот же Si элемента III группы, например B. Элемент III группы имеет 3 валентных электрона, которые образуют связи с соседними атомами Si, четвертая связь может образовываться, если к атому B перейдет еще один электрон от одного из его ближайших соседей, см. рис. 10. Энергия такого перехода не велика, поэтому соответствующий принимающий (акцепторный) электрон энергетический уровень расположен вблизи валентной зоны. При этом атом бора ионизуется заряжаясь отрицательно, а в том месте откуда ушел электрон образуется положительно заряженная дырка, которая может участвовать в переносе заряда.

где e_v - электрон из валентной зоны, E_a - энергия акцепторного уровня относительно потолка валентной зоны.

Рис. 1.13. Схема образования свободной дырки и заряженного акцепторного атома при легировании Si элементами III группы периодической системы

Количество дополнительно появившихся дырок примерно соответствует количеству введенных акцепторных атомов и, как правило, значительно превосходит количество электронов, возникающих за счет переходов из валентной зоны, поэтому материал легированный акцепторной примесью является дырочным (p тип).

Введение акцепторной примеси приводит к увеличению концентрации дырок и соответственно смещению уровня Ферми к валентной зоне (чем он ближе к ней, тем больше концентрация дырок). При этом в соответствии с (18) концентрация дырок уменьшается. Действительно используя (17) и (20) получим для области истощения примеси:

(1.9)

Согласно (1.90 чем больше концентрация акцепторных примесей Na, тем выше концентрация основных носителей дырок заряда и ниже концентрация неосновных носителей электронов.

Контрольные вопросы.

1. Каковы отличия электронного спектра атомов от электронного спектра кристаллов?

2. Каковы будут отличия электронного системы состоящей из невзаимодействующих атомов (разреженный газ) от системы состоящей из взаимодействующих атомов (кристалл)?

3. Почему электроны в полупроводниковом кристалле могут переносить заряд, если он находятся в зоне проводимости и не могут переносить заряд, если они находятся в заполненной валентной зоне?

4. Объясните, почему кристаллы состоящие из элементов первой группы являются хорошими проводниками?

5. Как вы считаете, если бы удалось получить кристаллический водород, то он был бы проводником или полупроводником?

6. Почему в элементарных полупроводниках (четвертая группа периодической системы элементов Д.И. Менделеева) при увеличении атомарного веса ширина запрещенной зоны уменьшается?

7. Почему введение в кремний (германий) примесных атомов, принадлежащих к пятой группе периодической системы элементов приводит к появлению свободных электронов в зоне проводимости?

8. Почему введение в кремний (германий) примесных атомов, принадлежащих к третьей группе периодической системы элементов приводит к появлению свободных дырок в зоне проводимости?

9. Почему дырки в полупроводнике часто называют квазичастицами?

Лекция 3

1.2.4. Расчет концентрации носителей заряда в кристалле.

Приводимость любых твердых тел определяется прежде всего концентрацией в них электронов и дырок способных переносить заряд. Концентрация носителей заряда (этим термином будем обозначать только свободные электроны и дырки) должна зависеть от температуры, поскольку с увеличением температуры возрастает тепловая энергия решетки и следовательно вероятность того, что какая то часть валентных связей будет нарушена и соответственно возникнут электроны и дырки.

Перечислим основные положения модели, которая используется для расчета концентрации носителей заряда в кристаллах:

• кристалл является квантовой системой, поэтому поведение всех находящихся в нем электронов (и дырок) подчиняется закономерностям квантовой механики, т.е. как локализованные (привязанные к атомам), так и “свободные” (способные перемещаться по кристаллу) электроны находятся в определенных квантовых состояниях, характеризуемых соответствующими энергетическими уровнями;

• в кристалле имеются состоящие из большого количества (10²² эВ^-1см^-3) близко расположенных уровней зоны (расстояние между уровнями порядка 10^-22 эВ);

• на одном энергетическом уровне в соответствии с принципом запрета Паули не может находиться более двух электронов с разным значением спина, т.е. электроны не могут перемещаться по состояниям занятым другими электронами;

• в термодинамическом равновесии электроны распределяются по энергетическим состояниям в соответствии с функцией распределения Ферми - Дирака:

(1.10)

где f(E,T) – вероятность нахождения электрона в состоянии с энергией E, T –температура системы (в градусах К), k – постоянная Больцмана, F – энергия уровня Ферми (это характеристическая энергия системы ниже которой при T = 0K все состояния заполнены выше пустые );

• поскольку энергетические уровни в разрешенных зонах очень близко расположены друг друга можно дискретное распределение состояний по энергиям заменить непрерывным N(E).

На рис. 1.13 показан вид функции Ферми-Дирака при различных значениях температуры.

Рис. 1.13. Вид функции вероятности распределения по состояниям для различных температур

Как видно из (1.10) и рис. 1.13 вероятность нахождения частицы на уровне с элегией F всегда равна ½ при всех температурах. В то же время по мере роста температуры вероятность появления частиц выше уровня Ферми возрастает. При температурах отличных от нуля, если E - F > kT, то функция Ферми-Дирака хорошо представляется экспоненциальной зависимостью (область в квадрате на рис. 1.13). Соответствующее распределение называется распределением Больцмана:

(1.11)

Используя сделанные допущения возможно рассчитать количество электронов находящихся в заданном энергетическом интервале ΔE = E₂ -E₁:

(1.12)

где N(E) – распределение плотности энергетических состояний по энергиям, f(E) – вероятность нахождения электрона на уровне с энергией E.

В качестве примера на рис. 1.12 показано как используя функцию распределения f(E) и функцию плотности состояния (N(E)~E^1/2) определить распределение электронов по энергиям в металле.

Рис. 1.12. Схема расчета распределения электронов по энергиям в металле (или вырожденном полупроводнике) при использовании зависимостей N(E), f(E)? n(E)=N(E)f(E)

На рис. 1.12 (нижний график) показано распределение электронов характерное для металлов или вырожденных полупроводников, т.е полупроводников имеющих настолько высокую концентрацию примесей, что в них уровень Ферми попадает в разрешенную зону и их проводимость становится близкой к металлической. Из распределения рис. 1.12 можно сделать один важный вывод, то в проводимости металлов могут участвовать не все электроны, а только те энергия которых лежат вблизи уровня Ферми (в объемном случае вблизи поверхности Ферми). Действительно в электрическом поле электрон приобретает энергию, следовательно он должен перемещаться на уровень расположенный выше его начального состояния, а сделать это возможно только в том случае, если лежащий над ним уровень не занят (запрет Паули), такая ситуация имеет место только для электронов расположенных в энергетической области непосредственно примыкающей к уровню Ферми.

В собственных полупроводниках и не вырожденных легированных полупроводниках вероятность нахождения электронов в зоне проводимости мала (много меньше 0,5), вероятность нахождения электрона в валентной зоне велика (много больше 0,5), следовательно уровень вероятность нахождения электрона на котором равна 0,5 (уровень Ферми) должен находиться между зоной проводимости и валентной зоной, т.е. лежать в запрещенной зоне. Действительно для невырожденных полупроводников уровень Ферми всегда находится в запрещенной зоне и для расчета концентрации электронов находящихся в зоне проводимости и дырок находящихся в валентной зоне можно вместо уровня Ферми воспользоваться распределением Больцмана.

Рассчитаем концентрацию электронов проводимости:

(1.13)