где Nc – эффективная плотность состояний в зоне проводимости, она зависит от форма зоны - Е(p) и температуры (слабо).

, (1.14)

где m_n^* - эффективная масса электронов в зоне проводимости, m – масса о электрона, k- постоянная Больцмана, h- постоянная Планка [1].

Для того, чтобы рассчитать количество дырок в зоне проводимости учтем, что вероятность заполнения энергетического уровня дыркой равна:

(1.14)

Рассчитаем концентрацию дырок в валентной зоне:

(1.15)

где N_v – эффективная плотность состояний в валентной зоне.

(1.16)

Рассчитаем концентрацию электронов и дырок в собственном полупроводнике. Для этого мы должны определить для него положение уровня Ферми. Положение уровня Ферми в полупроводниках определяется из условия электронейтральности.

(1.17)

Откуда получим:

(1.18)

Поскольку (E_c+E_v)/2 >>(kT/2)ln(N_v/N_c), то мы получили, что в собственном полупроводнике уровень Ферми лежит примерно посередине запрещенной зоны и его положение слабо зависит от температуры.

Обозначим концентрацию носителей в собственном полупроводнике через n_i² и рассчитаем чему равно произведение концентрации электронов и дырок, а так же значение n_i²:

(1.19)

Т.е. концентрация электронов и дырок растет с температурой по экспоненциальному закону с показателем равным половине ширины запрещенной зоны. Эту зависимость удобно представлять на графиках откладывая по вертикальной оси концентрацию в логарифмическом масштабе, а по горизонтальной обратную температуру 1/T (обычно откладывают 1000/T). Действительно прологарифмировав первое выражение (1.17) получим:

(1.20)

Соответствующие зависимости для Ge, Si и GaAs показаны на рис. 1.13.

Рис. 1.14. Зависимость концентрации носителей от температуры

Поскольку n_i является некоторой характеристической величиной для полупроводникового материла из соотношения np = n_i² следует, что увеличение концентрации электронов за счет легирования материла будет приводить к уменьшению концентрации дырок и наоборот увеличение концентрации дырок при введении акцепторной примеси будет приводить к уменьшению концентрации электронов. Таким образом это соотношение позволяет по известной концентрации основных носителей заряда рассчитать значения концентрации неосновных.

Рассмотрим как влияет легирование на концентрацию носителей заряда и их температурную зависимость. Соотношения (1.13) и (1.15) показывают, что между концентрацией носителей заряда и положением уровня Ферми в образце существует однозначное соответствие:

Зная концентрацию носителей мы можем определить положение уровня Ферми (из 1.15 и 1.16 ):

(1.21)

Рассмотрим как изменяется концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в легированном полупроводнике. Вначале рассмотрим электронный полупроводник (n - тип), который получен легированием донорной примесью, c соответствующим энергетическим уровнем Ed. На рис. 1.15 показано ожидаемое изменение с температурой положения уровня Ферми (изменением с температурой ширины запрещенной зоны и положения донорного уровня в виду малости этих величин можно пренебречь).

Поскольку при температурах близки к 0К все донорные уровни заполнены электронами (f = 1), а зона проводимости свободна от электронов (f = 0), то уровень Ферми (f = 1/2) должен находиться между этими двумя уровнями (функция Ферми-Дирака непрерывна), т.е. в запрещенной зоне. При повышении температуры электроны начинают переходить с донорного уровня зоны в зону проводимости, переходами из валентной зоны для температурной области 1 можно пренебречь. Энергетическая конфигурация для этого случай такая же как для собственного полупроводника с шириной запрещенной зоны E_c-E_d, в котором вместо эффективная плотность состояний в валентной зоне равна Ed, поэтому для расчета концентрации электронов и уровня Ферми в этой области мы можем воспользоваться формулой (1.13), сделав соответствующие замены:

(1.22)

Из (1.22) видно, что при температурах близких к 0K уровень Ферми находится посередине между E_си E_d и затем по мере ухода электронов с примесного уровня (переходы 1 на рис. 1.15) приближается к уровню E_d. При некоторой температуре T_s уровень Ферми достигнет уровня Ed концентрация электронов в зоне проводимости будет равна N_d/2 (f=1/2). При дальнейшем увеличении температуры почти все электроны с донорного уровня оказываются в зоне проводимости и донорный уровень больше не может поставлять электроны в зону проводимости, поэтому эту температурную область (2 на рис. 1.15) называют областью истощения примеси. В области 2 концентрация электронов с ростом температуры увеличивается только за счет электронных переходов из валентной зоны (как в собственном полупроводнике):

n (T) = N_d + n_i(T) (1.23)

Соответственно для уровня Ферми в этой области мы можем записать см. (1.21):

(1.24)

Начиная с некоторой температуры T_i начинает выполняться условие n_i>N_d, с этого момента имеет место переход от примесной проводимости к собственной. При дальнейшем увеличении температуры будет выполняться условие n_i>>Nd (область 3) и членом N_d в (1.24) можно пренебречь. Тогда (1.24) преобразуется к виду:

Эту формулу мы уже получали для собственного полупроводника см. (1.18). Таким образом в области высоких температур концентрация носителей заряда для легированных материалов стремится к концентрации носителей в собственном материале, т.е. легирование перестает оказывать влияние на концентрацию носителей, поскольку число электронов и дырок, генерируемых в результате переходов из зоны проводимости становится значительно больше концентрации введенной примеси (и соответственно концентрации носителей заряда полученных при ее ионизации).

Рис. 1.15. Диаграмма, поясняющая изменение положения уровня Ферми с температурой, и возникновения трех различных областей изменения с температурой концентрации носителей в донорном полупроводнике.

Из рис. 1.15 видно, что по характеру поведения уровня Ферми температурой можно выделить три основные области: область собственной проводимости (1), область истощения примеси (2) и область вымораживания примеси.

Рис. 1.16. Температурные зависимости концентрации электронов в кремнии при различной степени легирования донорной примесью. Концентрация доноров в см-3 проставлена около соответствующих кривых.

Областям с различным поведением уровня Ферми должно соответствовать и различное поведение концентрации носителей заряда см. (1.13) и (1.15) –основные формулы для расчета концентрации носителей заряда. На рис. 1.16 схематически показано как будет изменяться с температурой концентрация носителей заряда в легированных полупроводниках (зависимости будут аналогичны для материала легированного электронами и дырками). Представленные на рисунке графики отличаются степенью легирования, при увеличении степени легирования изменяются не только значения концентрации в примесной области, но и значение температуры перехода к области истощения T_s и к собственной проводимости T_i. Следует отметить, что поскольку в большинстве полупроводниковых приборов используются легированные полупроводники, то как правило их температурный диапазон определяется областью истощения примеси T_s < T < T_i , в которой концентрация основных носителей заряда слабо зависит от температуры (к сожалению это не справедливо для неосновных носителей).

Рис. 1.17. Диаграмма, поясняющая способ определения положения уровня Ферми по температурной зависимости концентрации примеси в образце кремния.

Контрольные вопросы.

1. Каковы основные положения положены в основу статистики Ферми-Дирака (Больцмана), используемой для расчета зависимости концентрации электронов и дырок от температуры?

2. Почему в полупроводниках чрезвычайно важно учитывать температурную зависимость концентрации носителей заряда (в металлах ее часто не учитывают, полагая постоянной )?

3. Какова вероятность заполнения электронами энергетического уровня с энергией соответствующей энергии Ферми (уровня Ферми)?

4. В какой зоне расположен уровень Ферми в металлах?

5. Где распложен уровень Ферми в чистых бездефектных (собственных полупроводниках)?

6. Перечислите основные отличия температурной зависимости концентрации носителей заряда в легированных и нелегированных полупроводниках.

7. В какой области температур концентрации свободных носителей заряда для легированных и нелегированных полупроводников будут мало различаться?

8. Как можно, имея экспериментальную зависимость концентрации электронов от температуры определить степень легирования материала донорной примесью?

9. Как можно, имея экспериментальную зависимость концентрации электронов от температуры определить положение уровня Ферми для любой температурной точки?

10. Постройте зависимость концентрации носителей заряда от положения уровня Ферми в германии, легированным донорной примесью (например P) до концентрации 10¹⁵ см^-3.

11. Постройте зависимость концентрации носителей заряда от положения уровня Ферми в германии, легированным акцепторной примесью (например In) до концентрации 10¹⁵ см^-3.

Лекция 4

1.2.5. Зависимость скорости электрона от напряженности электрического поля. Понятия эффективной массы и подвижности.

электрический ток в образце зависит не только от концентрации носителей заряда, но и от скорости с которой они переносятся под действием электрического поля. После того как мы научились рассчитывать концентрацию свободных носителей в твердом теле рассмотрим как ведут себя носители заряда в кристалле при наложении на него электрического поля.