Московский Авиационный Институт

(Государственный Технический Университет)

Курсовая работа по теории вероятностей и математической статистике по теме: «Закон распределения случайной величины и метод наименьших квадратов»

Вариант №8.

Выполнила студентка гр. 04-215

Малкова Екатерина

Проверил: Молчанов И.И.

Москва 2008

Теоретическая справка.

Математическое ожидание

Рассмотрим случайную величину с числовыми значениями. Часто оказывается полезным связать с этой функцией число — её «среднее значение» или, как говорят, «среднюю величину», «показатель центральной тенденции». По ряду причин, некоторые из которых будут ясны из дальнейшего, в качестве «среднего значения» обычно используют математическое ожидание.

Математическим ожиданием случайной величины X называется число

,

то есть математическое ожидание случайной величины — это взвешенная сумма значений случайной величины с весами, равными вероятностям соответствующих элементарных событий. Если случайная величина X принимает значения . Тогда справедливо равенство

,

Пусть X — случайная величина, M(X) — её математическое ожидание, a — некоторое число. Тогда

1. M(a) = a;

2. ;

3. .

Дисперсия случайной величины

Математическое ожидание показывает, вокруг какой точки группируются значения случайной величины. Необходимо также уметь измерить изменчивость случайной величины относительно математического ожидания. Выше показано, что достигает минимума по a при a = M(X). Поэтому за показатель изменчивости случайной величины естественно взять именно .

Дисперсией случайной величины X называется число

.

Установим ряд свойств дисперсии случайной величины, постоянно используемых в вероятностно-статистических методах принятия решений.

Пусть X — случайная величина, a и b — некоторые числа, Y = aX + b. Тогда

D(Y) = a²D(X).

.

Пусть — попарно независимые случайные величины (то есть X_i и X_j независимы, если ). Пусть Y_k — их сумма, , тогда дисперсия суммы равна сумме дисперсий слагаемых,

.

Для любых случайкых величин математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых,

.

Хи-квадрат Пирсона.

С помощью нормального распределения определяются три распределения, которые в настоящее время часто используются при статистической обработке данных. В дальнейших разделах книги много раз встречаются эти распределения.

Распределение Пирсона χ² (хи-квадрат) — распределение случайной величины

,

где случайные величины независимы и имеют одно и тоже распределение N(0,1). При этом число слагаемых, то есть n, называется «числом степеней свободы» распределения хи-квадрат.

Распределение хи-квадрат используют при оценивании дисперсии (с помощью доверительного интервала), при проверке гипотез согласия, однородности, независимости, прежде всего для качественных (категоризованных) переменных, принимающих конечное число значений, и во многих других задачах статистического анализа данных.

Смоделирована выборка, объемом n=100, состоящая из элементов:

Вариационный ряд выборки:

Общие характеристики набора реализаций:

число реализаций n=100

минимальное значение xmin=-0.3703

максимальное значение хmах =8.1375

Найти закон распределения исследуемой случайной величины, если известно, что он может быть

-нормальным (гауссовским);

-равномерным на некотором интервале;

-экспоненциальным.

Оценка математического ожидания: 0.773

Оценка дисперсии: 1.308

Оценка среднего квадратического отклонения: 1.144