VDV-1399 (Книга S.Gran A Course in Ocean Engineering. Глава Усталость), страница 4

Подставленные вместе с распределением размахов напряжений для большого интервала (4.7.7) в коэффициент использования , они дают выражение замкнутого вида:

Дополнительная пара неполных гамма функций (_;_) и (_;_) определена в уравнениях (2.6.3) – (2.6.8).

S-N кривые, которые разделены на большое число прямых линий, так же могут быть представлены выражениями замкнутого вида типа (4.7.26). Однако, формулы будут содержать столько членов, насколько это будет удобно для проведения численного суммирования.

Полулогарифмические S-N кривые. В случае полулогарифмической S-N кривой, напротив logN(S) наносят размах напряжений S. Прямая линия на этом графике указывает на то, что число циклов до разрушения N(S) может быть записано

где N(S) – число циклов до разрушения при размахе напряжений S,

N₀ – параметр S-N кривой,

S – размах напряжений,

B – параметр наклона S-N кривой.

Посмотрите примеры на рис. 4.7.6. Параметр N₀ может быть принят в качестве фиктивного числа циклов необходимого для того, чтобы вызвать разрушение, когда размах напряжений равен нулю. Естественно, усталостное разрушение при нулевой амплитуде физически невозможно. По этой причине, обязательно должен существовать предел усталости S₀.

Рис. 4.7.6 Примеры полулогарифмических S-N кривых. Левый рисунок взят из /1/ и относится к стальным образцам с и без надреза, с ясно выраженным пределом усталости. Правый рисунок взят из /7/ и показывает S-N кривые для стального троса различной конструкции и в различных условиях окружающей среды.

Напротив, если мы игнорируем предел усталости, полагая S₀=0, и введем (4.7.27) в (4.7.11), то мы получим

(t) рассматривают как характеристическую функцию распределения размахов напряжений, как это определено в (2.4.8). Далее, нахождение усталостного ресурса сводится к задаче вычисления характеристической функции распределения. Для многих распределений вероятностей существуют уже известные формулы, которые можно найти в книгах по данной теме.

Если предел усталости S₀ есть, как это действительно необходимо в (4.7.27), то введение распределения размахов напряжений для большого интервала времени (4.7.7) дает коэффициент использования:

Этот интеграл может быть решен точно лишь в ограниченном числе случаев, некоторые из них будут обобщены ниже. В элементарном гамма распределении k=1, что дает

Неполную гамма функцию находят как в (2.6.7). Экспоненциальное распределение с d=k=1 является особым случаем, который дает

В одностороннем нормальном распределении d=1/2 и k=1, что дает

Наконец, распределение Рэлея для размахов напряжений, т.е. d=1 и k=2, дает

где  (_)  нормированный нормальный интеграл, определенный с помощью (2.3A.1).

Усталость вызванная неустановившейся нагрузкой. (xxx) До сих пор мы рассматривали только стационарные (т.е. с постоянной амплитудой), случайные напряжения. До того как отойти от формул усталости замкнутого вида, будет уместно обратить внимание на конструкции, которые испытывают неустановившиеся (т.е. с переменной амплитудой) колебания после импульсной нагрузки. Прибрежный кран, нижняя запись на рис. 4.7.1b, может послужить примером этого явления. Более схематичное изображение дано на рис. 4.7.7. Когда часть груза поднимается краном, конструктивный элемент в кране испытает изменение в статическом уровне напряжений Z. Если статическое напряжение возвращается на начальный уровень, когда нагрузка снята, то элемент испытал один усталостный цикл напряжений с размахом напряжений Z. Использование основной логарифмической S-N кривой (4.7.9) показывает, что эта единичная операция подъема увеличила коэффициент использования  на

Рис. 4.7.7 Последовательность размахов напряжений неустановившейся реакции, полученная с помощью метода дождевого потока для подсчета циклов (the rain-flow cycle counting method). Жирная линия показывает квазистатический цикл напряжений с размахом Z.

Однако, это заниженная оценка, т.к. не учтены динамические явления. Напряженное состояние свидетельствует о том, что за отклонением от начального значения, описанным коэффициентом динамичности , следует последовательность неустановившихся циклов, размах напряжений которых последовательно уменьшается на величину определяемую показателем e^-T=e^-. Здесь,   коэффициент затухания, T – период колебаний и =T/2  это относительное демпфирование (доля критического демпфирования).

До сих пор не было сказано о том, как подсчитать циклы напряжений. Предполагалось, что цикл может иметь симметричный период, полученный либо из спектральной функции (2.5.78), либо по методу порогового пересечения (threshold crossing procedure), как в главе 2.3.3(i). В случае неустановившихся колебаний это не работает. Однако мы можем использовать более общий метод, известный как метод дождевого потока для подсчета циклов (rain-flow counting method). Более подробное описание посмотрите, например, в работе /2/. Этот метод дает размахи напряжений обозначенные на рис. 4.7.7 как No 1, 2, 3 и т.д.

Подставляя эти циклы напряжений в формулу Палмгрена-Майнера (4.7.10) и проводя суммирование (без предела усталости), мы получим уточненное усталостное значение

Сравнивая с (4.7.34), очевидно, что выражение в фигурных скобках это коэффициент усиления для процесса усталости, вызванного неустановившимися колебаниями. В качестве типичных значений, мы можем подставить m=1 и =0,025, что дает

Скажем, коэффициент динамичности =1, из-за неустановившихся процессов, дает коэффициент усиления усталости равный 7. Это соответствует снижению ресурса, полученного только из изменений статической нагрузки, до 1/7. Подробности даны в работе /9/.

Глава 4.7.4 Естественная дисперсия.

В части 4.3, мы придерживались того, что экстремальное значение в последовательности случайных амплитуд имеет некоторую дисперсию или погрешность, а именно (4.3.19), даже если параметры распределения амплитуд известны точно. Мы назвали это явление естественной дисперсией экстремального значения.

Мы имеем подобный эффект и в усталости. Поскольку коэффициент использования  это сумма вкладов в усталость отдельных циклов напряжений, то эта сумма также обязательно будет случайной, и будет иметь некоторую дисперсию. Если все переменные данного материала и параметры распределения напряжений рассматриваются как заданные, то коэффициент использования , а также прогнозируемый ресурс, все равно будут иметь погрешность вызванную естественной дисперсией.

Распределение отдельных скачков. Мы можем рассмотреть коэффициент использования как точку движущуюся скачкообразно вдоль координатной оси . Первоначально, когда конструкция новая, эта точка расположена на =0. Предполагается, что конструкция изношена или требует ремонта, когда точка проходит через =1. Коэффициент использования , на этом отрезке, перемещается скачками

движимый вперед отдельными циклами напряжений. Вообще, _j – это возрастание, вызванное j-м циклом напряжений.

Средний период напряжений можно обозначить через T. По истечении времени t=nT конструкция испытывает n циклов напряжений и значение коэффициента использования можно записать как

Длины отдельных скачков  принадлежат одному и тому же статистическому ансамблю и можно предположить, что они имеют одно и то же распределение вероятностей. Поэтому, для удобства, мы опишем длину скачка  с помощью случайной величины =x_i. Эта переменная связана с размахом напряжений S действительных циклов напряжений по всей S-N кривой. Учитывая, для удобства, основную кривую (4.7.9) это дает

Теперь, S – размах напряжений вызванный действием волн на конструкцию, который подчиняется гамма распределению с плотностью вероятности для больших интервалов времени (4.7.7), т.е. g(d, k, D; S).

Т.к. соотношение (4.7.39) согласовывается с преобразованием энергии (2.6.31), то длина скачка x_i также подчиняется гамма распределению с функцией плотности вероятности f(x_i)

как было получено в (2.6.33). Математическое ожидание длины скачка x_i получено из (2.6.17) как момент первого порядка

Соответствующие статистические моменты порядка 2 и 3 около нуля

и

соответственно. Для последующего использования, мы подставили обобщенные скорости U, V и W, определенные из выражений

В частности, U может интерпретироваться как средний рост коэффициента использования  за один цикл.

Дисперсия длины скачка x_i может быть получена как центральный момент второго порядка (2.4.3), что дает

Параметр   это среднеквадратическое отклонение относительно математического ожидания длины скачка , этот параметр можно найти и в (2.4.3). Есть сходство с (2.8.34) по ширине диапазона.

Аналогично, центральный момент ₃(x_i) длины скачка x_i может быть получен из (2.4.4) и его можно записать

  это коэффициент асимметрии длины отдельного скачка. Например, для экспоненциального распределения он равен 2, а для нормального распределения 0.