4 вариант (домашняя задача)

Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э.Баумана

Типовой расчет №1 по теории вероятностей

4 вариант

Выполнила: студентка группы РК6-51

Буторова А.О.

Преподаватель: Смольяков Э. Р.

Москва, 2003г.

Задача №1

Одновременно подбрасывают 2 кости, найти вероятность того, что сумма выпавших очков:

1. =k

2. >k+1

3. <k-1

4. заключена в [α;β]

Дано:

k=6; α=2 ; β=6.

Решение:

1)

2)

3)

4)

Задача №2

На некоторое обслуживающее устройство поступает 2 заявки. Каждая может поступить в любой момент времени в течение Т минут. Время обслуживания 1-ой заявки - , 2-ой - .

Найти вероятность того, что:

1. обе заявки будут обслужены.

2. будет обслужена хотя бы одна заявка.

Дано:

Решение:

- условие обслуживания 1-ой заявки

-условие обслуживания 2-ой заявки

- вероятность того, что будут обслужены обе заявки

- вероятность того, что будет обслужена хотя бы одна заявка

Задача №3

Задана электрическая схема . Вероятность безотказной работы элементов

1. Выразить событие А (безотказная работа системы) через или

2. Найти -вероятность безотказной работы системы.

Решение:

1)

2)

Задача №4

Из партии n изделий, где k- высшего сорта, последовательно выбирают m изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется l изделий высшего сорта.

1) выборка с возвращением

2) выборка без возвращения

Дано:

n=12

k=6

m=6

l=2

Решение:

Пусть - извлечение детали высшего сорта (i=1,…6) в i-ой попытке, тогда - извлечение обычной детали.

Выразим интересующее нас событие:

подобных слагаемых 15.

1. т.к. выборка производится с возвращением, то ,

аналогично

т.к. события и независимы, то

можно заключить, что все 15 слагаемых, составляющие событие В, так же равны.

2) т.к. выборка производится без возвращения, то вероятность события зависит от того, какие детали были извлечены в предыдущих попытках.

Задача №5

На склад поступили детали, изготовленные на 3-х станках. На 1-ом – а % деталей, на 2-ом- b % деталей, на 3-ем – c % деталей. Вероятность выпуска бракованных деталей на i- Ом станке - .

Найти:

1) вероятность того, что изделие на удачу выбранные со склада оказалось бракованное.

2) оказалось не бракованным.

Найти вероятность того, что оно изготовлено на j-ом станке.

Дано:

Решение:

1) событие Hi заключается в том, что изделие изготовлено на i-том станке:

- вероятно того, что изделие взятое наугад , оказалось бракованным.

2) Найдем вероятность того, что изделие оказалось не бракованным:

3) Найдем вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на 1-ом станке:

) Найдем вероятность того, что бракованное изделие изготовлено на 1-ом станке:

величины 000000000000000000000000000000000000000

Задача №6

Произведено n выстрелов с постоянной вероятностью попадания P. Для случайной величины m найти:

1) распределение вероятностей

2) ф-ию распределения и построить её график

3) вероятность попадания случайной величины в

4) математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Дано:

Решение:

Поставим в соответствие событию: 0 – промах, 1 – одно попадание, 2- два попадания и т.д.

, где

m
0
1
2
3
4

2) значения F(x) – вероятность того, что случайная величина ζ примет значения < x:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

3)

4)

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

Задача №7

Непрерывная случайная величина имеет плотность вероятности

Найти:

1. функцию распределения F(x)

2. построить графики функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x).

3. Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал

4. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины .

Дано:

Решение:

1) Найдем функцию распределения F(x):

2) построим графики f(x) и F(x)

3) Найдем вероятность попадания в интервал :

4) Математическое ожидание:

Дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

Задача №8

Дана плотность вероятности случайной величины .

Найти:

1) математическое ожидание и дисперсию , используя для .

2) плотность вероятности и построить её график.

3) математическое ожидание и дисперсию , используя найденную плотность вероятности .

Дано:

Решение:

1)

Математическое ожидание:

по формуле

Дисперсия:

предварительно вычислим

2)

Для нахождения плотности случайной величины , необходимо определить интервалы монотонности ф-ии :

В данной ситуации нам интересен только интервал , на котором обратной к функции является ф-ия

3)

Используя плотность по формулам и

Вывод: и тем и другим способом ответы получаются одинаковые.

Задача №9

Дана система двух случайных величин , закон распределения которой задан таблицей, где

Найти:

1. законы распределения случайных величин и ;

2. математическое ожидание и дисперсию случайных величин и ;

3. коэффициенты корреляции ;

4. условные распределения и ;

5. условные математические ожидания и .

Дано:

	0	0,18	0,04
	0,06	0,15	0,12
	0,05	0,08	0,12
	0,10	0,10	0

Решение:

1. Найдем распределения законы распределения случайных величин и :

2) Найдем математическое ожидание и дисперсию случайных величин и :

3) Найдем коэффициенты корреляции :

1. Вычислим условные распределения и ;

Условный закон распределения случайной величины при условии, что :

Условный закон распределения случайной величины при условии, что :

5) Найдем условные математические ожидания и .

Задача №10

Система непрерывных случайных величин распределена равномерно в области D, ограниченной линиями

Найти:

1. совместную плотность распределения , предварительно построив область D.

2. Плотности вероятностей случайных величин и ;

3. математические ожидания и дисперсии случайных величин и ;

4. коэффициент корреляции ;

5. условные плотности распределения и

6. условные математические ожидания и , линии регрессии и построить их график.

Дано:

Решение:

1) Т.к. в области D система распределен равномерно, то

Построим область D:

1. Найдем плотности вероятностей случайных величин и :

при

при

1. Найдем математические ожидания и дисперсии случайных величин и :

1. Найдем коэффициент корреляции :

1. Найдем условные плотности распределения и :

Условная плотность распределения величины при условии , что

если

аналогично находим условную плотность распределения случайной величины при условии, что

1. Найдем условные математические ожидания и , линии регрессии и построим их график:

при

при

Задача №11

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины , где система случайных величин из задачи 10.

Дано:

Решение:

Находим математическое ожидание:

Находим дисперсию: