Cursach (Курсовая)

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИГНОГО ПОЛЯ РЕЗОНАТОРОВ И ВОЛНОВОДОВ В ВИДЕ СУПЕРПОЗИЦИИ СОБСТВЕННЫХ ВОЛН ВОЛНОВОДА

ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМ СОБСТВЕННЫХ ВОЛН ВОЛНОВОДА

Будем рассматривать резонатор как закороченный отрезок про­дольно-однородного прямоугольного волновода, что позволяет использовать волноводное представление поля для резонаторов. Известно, что задача о распространении волн в продольно-однородной структуре сводится к решению двух краевых задач:

где E_Z и H_Z, - продольные компоненты векторов напряженности электрического и магнитного полей; L - контур поперечного сечения волновода; g^г=k² -k_Z ²- поперечное, a k_Z - продольное волновые числа.

Каждая краевая задача содержит двумерное однородное уравне­ние Гельмгольца и соответствующее граничное условие.

Можно показать, что однородные уравнения Гельм­гольца могут быть получены из уравнений Максвелла для однородной, линейной и изотропной среды, не содержащей сторонних источников.

Решения уравнений Гельмгольца, представленных в краевых зада­чах (2.1) и (2.2), ищут в классе решений

где верхний знак соответствует волне, распространяющейся в положи­тельном направлении оси Z; нижний знак соответствует волне, рас­пространяющейся в противоположную сторону; А_Z - одна из компо­нент Е_Z или H_Z.

Можно решить однородное уравнение Гельмгольца для продольной компоненты поля прямоугольного волновода, используя метод разделения переменных. Получить общее решение указанного уравнения в тригонометрической форме

где A,B,C,D , k_X, k_Y произвольные константы.

Используя граничные условия, представленные в (2.1), (2.2), можно определить неизвестные константы в (2.4). Получить частные решения уравнений Гельмгольца в виде собственных функций краевых задач:

и соответствующих им собственных значений

где

Здесь a, b - поперечные размеры волновода, а k-волновое число.

Выбор знака в выражении (2.8) для продольного волнового чис­ла k_Zmn, оcущеcтвляется таким образом, чтобы экспоненциальный мно­житель в (2.5) и (2.6) соответствовал затухающей волне, если среда обладает потерями или волна является закритической. Поэтому

где отрицательный знак перед мнимой единицей соответствует волне,
распространяющейся в положительном направлении оси Z, а положи­тельный знак - волне, распространяющейся в противоположную сторону. Выражения (2.5) и (2.6) описывают продольные компоненты собст­венных волн волновода. Определим теперь связь между продольными и поперечными компонентами поля. Для этого используем первые два
уравнения Максвелла, спроецированные на оси X, Y прямоугольной системы координат, связанной с волноводом:

Каждая пара уравнений (2.9а) и (2.9г), а также (2.9б) и (2.9в) есть система линейных алгебраических уравнений относительно попе­речных компонент векторов E и Н.

Можно решить указанные системы уравнений и по­казать, что формулы, определяющие поперечные компоненты поля че­рез известные продольные, имеют следующий вид:

В соответствии с общепринятой классификацией волноводных волн поле в волноводе можно рассматривать как суперпозицию Е-волн ( Е_Z0, Н_Z=0) и H-волн (H_Z0, Е_Z= 0).

Используя формулы (2.10), (2.5), (2.6), можно получить выражения для поперечных компонент собственных волн E- и Н-типа (e_Pmn, h_Pmn) р = 1, р = 2 обозначают Е- и Н -волны соответственно. Амплитудные коэффициенты в (2.5), (2.6) можно принять равными единице.

Также можно показать, что направление продольной ком­поненты вектора Пойнтинга собственных волн, распространяющихся как в положительном, так и в отрицательном направлении оси Z ,

совпадает c направлением распространения волны.

Используя результаты выполнения зада­ния 2.5, можно показать, что знаки в формулах (2.5) и (2.6) для продоль­ных составляющих поля определяют следующие свойства симметрии по­перечных составляющих векторов e_Pmn, h_Pmn:

Из физических соображений следует, что такой же симметрией обладает поле ленточного зонда в бесконечном волноводе. Указанный выбор знаков упрощает определение амплитудных коэффици­ентов собственных волн волновода.

Можно показать, что собственные волны волново­да обладает свойством ортогональности:

Кроме рассмотренных выше свойств симметрии и ортогональности, система собственных волн обладает свойством полноты. Это значит, что любую функцию, описывающую электромагнитное поле в волноводе, можно представить в виде сходящегося ряда:

где С_Pmn - амплитудные коэффициенты собственных волн, численное значение которых зависит от местоположения, ориентации и интенсив­ности источников поля в волноводе.

Выражение (2.15) можно трактовать как разложение векторных функций Е, Н по системе ортогональных функций e_Pmn, h_Pmn c коэффициентами разложения С_Pmn.

Можно показать, что коэффициенты разложения С_Pmn одинаковы в представлениях (2.15) как электрического, так и магнит­ного полей. Нужно рассмотреть почленно ряды (2.15) и убедиться в возможности представления электрического поля через магнитное и наоборот с помощью соотношений:

где Z_1mn и Z_2mn - волновые сопротивления собственных Е- и Н -волн соответственно.

Таким образом, задача по определению поля (2.15) сводится к отысканию амплитудных коэффициентов С_Pmn при известных собственных волнах волновода. Установим зависимость указанных коэффициен­тов от источников поля в волноводе. Для этого решим следующую вспомогательную задачу.

ВОЗБУЖДЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОГО ВОЛНОВОДА ЛЕНТОЧНЫМ ЗОНДОМ

В постановке исходной задачи резонатор представлен б виде от­резка волновода, закороченного двумя поперечными идеально проводя­щими плоскостями (ом. рис. 1.3). Представим теперь, что указанные проводящие плоскости отсутствуют, и решим задачу о возбуждении по­ля в полученном бесконечном волноводе. При этом будем считать, что устройство возбуждения поля в волноводе аналогично соответст­вующему устройству в резонаторе (ленточный зонд).

С целью упрощения последующих выкладок здесь и далее будем отсчитывать фазу волн от плоскости расположения ленточного зон­да Z =Z_л. В связи с этим рассмотрим экспоненциальный множитель, определяющий зависимость компонент поля собственных волн (зада­ние 2.5) от переменной Z . Для распространяющейся волны указанный множитель является фазовым множителем и определяет изменение фазы при распространении волны вдоль координаты Z. Перемещение плос­кости отсчета фазы волны из начала координат в сечение волново-

да Z = Z_л эквивалентно замене перемен­ной Z на новую переменную Z' = Z-Z_л, которая и будет присутствовать в после­дующих выражениях.

Для определенности будем называть областью 1 полубесконечную область ZZ_л (рис. 2.1). Представим поле в указанных областях при помощи выражений (2.15).

Можно показать, что в области 1 поле волно­вода описывается лишь волнами, распространяющимися в отрицатель­ном направлении оси Z, а в области 2 - волнами, распространяю­щимися в положительном направлении оси Z :

В силу симметрии волновода и векторов электромагнитного поля собственных воля относительно плоскости поперечного сечения, в ко­тором расположена лента, амплитудные коэффициен­ты волн, распространяющихся от ленты в противоположных направлени­ях, равны друг другу:

Определим коэффициенты С_Pmn и их зависимость от тока ленточ­ного зонда. Для этого воспользуемся граничными условиями для попе­речных составляющих полного магнитного поля (2.18) в плоскости расположения ленты (Z=Z_л):

и учтем антисимметрию поперечных компонент магнитного поля в (2.21), тогда

в (2.2I), тогда

где L - поверхностная плотность суммарного электрического тока, текущего по обеим сторонам бесконечно тонкой ленты. Вне ленты плот­ность тока равна нулю, при этом из (2.20) следует, что касательные составляющие магнитного поля непрерывны. Подставим (2.18) в (2.20):

Решив уравнение (2.22) относительно коэффициентов С_Pmn и получим результат в форме

Где звездочка обозначает операцию комплексного сопряжения. В рассматриваемой задаче источники поля считаются заданными.

Определим функцию, описывающую распределение плотности тока на поверхности ленточного зонда, следующим образом: плотность то­ка вдоль зонда постоянна, а в поперечном направлении указанная функция совпадает со строгим решением задачи о распределении по­стоянного тока на бесконечно тонкой ленте:

где X¹, Y¹ - оcи местной системы координат, связанной c зондом (см. рис 1.1); j₀ - модуль плотности тока на оcи ленточного зонда (при X¹ = 0); a - нормирующий коэффициент.

Выражение (2.24) для плотности тока можно заменить более простым равномерным распределением

так как при малой по сравнению с длиной волны ширине ленточного зонда изменение поперечного распределения тока на ленте практичес­ки не влияет на возбуждаемое в волноводе поле. Это связано о тем, что амплитудные коэффициенты (2.23) в представлении поля инте­грально связаны с плотностью тока. При интегрировании плотности тока, описываемой выражением (2.24), особенности функции не вно­сят в результат интегрирования существенных отличий по сравнению со случаем использования распределения вида (2.25). Подставив (2.25) в (2.23), получим

Теперь представления (2.18) полей в волноводе с учетом (2.26) можем записать в следующей форме:

где E^1,2, H^1,2 электрическое и магнитное поля, возбуждаемые в волноводе протекающим по ленточному зонду током силой 1 А, назы­ваемые в дальнейшем полями единичного тока зонда и определяемые выражениями:

При известном значении силы тока I выражения (2.28) полностью определяют электромагнитное поле е волноводе.