tm19_21 (Теоретическая механика лекции из МАИ (ворд))

21

http//:www.svkspb.nm.ru

Общие теоремы динамики точки

Теорема об изменении количества движения матер. точки. – количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. – элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке (теорема в дифференц-ной форме) или – производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Проинтегрируем: – изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке, за тот же промежуток времени. – импульс силы за промежуток времени [0,t]. В проекциях на оси координат: и т.д.

Теорема об изменении момента количества движения матер. точки. - момент количества движения матер. точки относительно центра О. – производная по времени от момента количества движения матер. точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке, относительно того же центра. Проектируя векторное равенство на оси координат. получаем три скалярных уравнения: и т.д. - производная от момента кол-ва движения матер. точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, приложенной к точке, относительно той же оси. При действии центральной силы, проходящей через О, М_О= 0,  =const. =const, где – секторная скорость. Под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью, т.е. радиус-вектор точки описывает ("ометает") равные площади в любые равные промежутки времени (закон площадей) Этот закон имеет место при движении планет и спутников – один из законов Кеплера.

Работа силы. Мощность. Элементарная работа dA = F_ds, F_ – проекция силы на касательную к траектории, направленная в сторону перемещения, или dA = Fdscos.

Если  – острый, то dA>0, тупой – <0, =90^o: dA=0. dA= – скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения; dA= F_xdx+F_ydy+F_zdz – аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁: . Если сила постоянна, то = Fscos. Единицы работы:[1 Дж (джоуль) = 1 Нм].

, т.к. dx= dt и т.д., то .

Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении А=А₁+А₂+…+А_n.

Работа силы тяжести: , >0, если начальная точка выше конечной.

Работа силы упругости: –работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.

Работа силы трения: если сила трения const, то - всегда отрицательна, F_тр=fN, f – коэфф.трения, N – нормальная реакция поверхности.

Работа силы тяготения. Сила притяжения (тяготения): , из mg= , находим коэфф. k=gR². – не зависит от траектории.

Мощность – величина, определяющая работу в единицу времени, . Если изменение работы происходит равномерно, то мощность постоянна: N=A/t. [1 Вт (ватт) =1 Дж/с, 1 кВт (киловатт) =

= 1000 Вт, 1л.с.(лошадиная сила) = 75 кгсм/с = 736 Вт].

Теорема об изменении кинетической энергии точки. В диффер-ной форме: – полный дифференциал кинетической энергии мат.точки = элементарной работе всех действующих на точку сил. – кинетическая энергия матер.точки. В конечном виде: – изменение кинетической энергии мат.точки, при переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.

Силовое поле – область, в каждой точке которой на помещенную в ней матер.точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени, т.е. должно быть известна . Нестационарное силовое поле, если явно зависит от t, стационарное силовое поле, если сила не зависит от времени. Рассматриваются стационарные силовые поля, когда сила зависит только от положения точки: и F_x=F_x(x,y,z) и т.д. Свойства стационар. силовых полей:

1. Работа сил стац. поля зависит в общем случае от начального М₁ и конечного М₂ положений и траектории, но не зависит от закона движения матер. точки.

2. Имеет место равенство А_2,1= – А_1,2. Для нестационарных полей эти свойства на выполняются.

Примеры: поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости.

Стационарные силовые поля, работа сил которых не зависит от траектории (пути) движения матер. точки и определяется только ее начальным и конечным положениями назыв. потенциальными (консервативными). , где I и II – любые пути, А_1,2 – общее значение работы. В потенциальных силовых полях существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так:

. Функция U=U(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,…x_n,y_n,z_n) назыв. силовой функцией. Элементарная работа сил поля: А=А_i= dU. Если силовое поле является потенц-ным, элементарная работа сил в этом поле равна полному дифференциалу силовой функции. Работа сил на конечном перемещении , т.е. работа сил в потенц-ном поле равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях и не зависит о формы траектории. На замкнутом перемещении работа равна 0. Потенциальная энергия П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. В нулевом положении П₀= 0. П=П(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,…x_n,y_n,z_n). Работа сил поля на перемещении системы из 1-го положения во 2-ое равна разности потенциальных энергий А_1,2= П₁– П₂. Эквипотенциальные поверхности – поверхности равного потенциала. Сила направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности. Потенциальная энергия системы отличается от силовой функции, взятой со знаком минус, на постоянную величину U₀: А_1,0= П =U₀ – U. Потенциальная энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенц.энерг.поля центральных сил. Центральная сила – сила, которая в любой точке пространства направлена по прямой, проходящей через некоторую точку (центр), и модуль ее зависит только от расстояния r точки массой m до центра: , . Центральной является гравитационная сила ,

, f = 6,6710^-11м³/(кгс²) – постоянная тяготения. Первая космическая скорость v₁=  7,9 км/с, R = 6,3710⁶м – радиус Земли; тело выходит на круговую орбиту. Вторая космическая скорость: v₁₁=  11,2 км/с, траектория тела парабола, при v >v₁₁– гипербола. Потенц. энергия восстанавливающей силы пружин:

,  – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: , ₁ и ₂ – деформации, соответствующие начальной и конечной точкам пути.