8

http//:www.svkspb.nm.ru

Статика

Равнодействующая двух пересекающихся сил– ; диагональ параллелограмма . Равнодействующая сходящихся сил . Проекции силы на оси координат (для плоской сист.): F_x=Fcos; F_y=Fcos. Модуль силы: ; направляющие косинусы: разложение на составляющие: , Для пространст. сист.: ,

F_x=Fcos; F_y=Fcos; F_z=Fcos; ; .

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси: R_x=F_ix; R_y=F_iy; R_z=F_iz; . Условия равновесия сист. сходящихся сил: геометрическое: , аналитические: F_ix=0; F_iy=0; F_iz=0. Условие равновесия пар сил: . Момент силы относительно точки: – векторное произведение. Модуль векторного произведения: RFsin= Fh. Плоская сист. сил: Fh, >0 – против час.стр.; <0 – по час.стр. =(yF_z – zF_y) +(zF_x – xF_z) +(xF_y – yF_x) , проекции момента силы на оси координат: М_0x( )=yF_z – zF_y; М_0y( )=zF_x – xF_z; М_0z( )=xF_y – yF_x.

Условия равновесия пл. сист. сил: аналитич.: , или , А,В,С – точки не на одной прямой, или , ось "х" не перпендикулярна отрезку АВ.

Закон Кулона (закон Амонта – Кулона): . Сила трения скольжения: . tg_сц=f_сц; tg_тр=f. М_тр= f_kN – момент трения качения. Момент силы относительно оси: . Моменты силы относительно осей координат: М_x( )=yF_z – zF_y; М_y( )=zF_x – xF_z; М_z( )=xF_y – yF_x. Статические инварианты: 1-ый – квадрат модуля главного вектора: I₁= F_o²= F_x²+F_y²+F_z²; 2-ой – скалярное произв. главного вектора на гл. момент: I₂= =F_xM_x+F_yM_y+F_zM_z.

Проекция гл. момента на направление гл. вектора . М_min=M^*

Главный вектор и гл.-ый момент ,

уравнения центр.-ой оси: .

Условия равновес. простр. сист.сил: F_kx=0; F_ky=0; F_kz=0; M_x(F_k)=0; M_y(F_k)=0; M_z(F_k)=0. Условия равновесия для сист. параллельных сил (||z): F_kz=0; M_x(F_k)=0; M_y(F_k)=0. Координаты центра ||-ых сил: . Координаты центра тяжести: ; ; где Р=р_k. Центр тяжести плоской фигуры: , . Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом 2: ; кругового сектора: .

Статический момент площади плоской фигуры – S_x=y_iF_i= Fy_c; S_y=x_iF_i= Fx_c.

Объем тела вращения V=2x_cF; площадь поверхности вращения F=2x_cL.

Центр тяжести плоской фигуры с вырезанной частью: .

Кинематика

s=f(t) –естественный способ задания движения, прямолинейное движение: х=f(t).

Координатный сп.: x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t). Уравнение траектории: f(x,y,z)=0.

Векторный сп.: радиус-вектор = , модуль , направляющие косинусы: и т.д. Переход от координатного способа к естественному: . Скорость точки. Вектор ск-сти: ; . Проекции скорости: , , . Модуль скорости: , направляющие косинусы: и т.д. Естественный сп.: , , – орт касательной. Движение в полярной системе координат: r=r(t) – полярный радиус, =(t) – угол. Проекции скорости на радиальное направление , поперечное направление , модуль скорости .; x=rcos, y=rsin. Ускорение точки. . Проекции уск.-я: и т.д. Модуль уск.-я: , направляющ. косинусы: , и т.д. Проекции уск. на радиальное напр-ние , поперечное напр-ние , модуль уск-я . . Модуль нормального ускорения: ,  – радиус кривизны траектории, модуль касательного ускорения ,  ,  . Прямолинейное движение: = , а_n=0, a=a_. Равномерное криволинейное движ-ие: v=const, a_=0, a=a_n. s=s₀+vt, при s₀=0 v=s/t. Равномерное прямолинейное движ-ие: а=a_=a_n=0.

4) Равнопеременное криволинейное движ-ие: a_=const, v=v₀+a_t, . Угловая ск-сть: , . Угловое ускорение тела: . Равномерное вращение: =const, =t, =/t, равнопеременное вращение: =₀+t; . Скорости и ускорения точек вращающегося тела: . v=rsin()= (CM), (СМ) – расстояние от точки М до оси вращения. Формулы Эйлера: ,

v_x=_yz – _zy; v_y=_zx – _xz; v_z=_xy – _yx. Если ось вращения совпадает с осью z, то v_x= – y; v_y=x. Ускорение: . Вращательное уск. , а^вр=rsin, центростремительное уск. , а^ц=²R. Полное ускорение: . Угол, между полным и центростремит-ным ускорениями: . Плоское движение твердого тела.

Ур-ния плоского движения: x_A= f₁(t), y_A= f₂(t),  = f₃(t), Скорость ; , v_BA= BA, v_Acos = v_Bcos. Мгновенный центр ск-ей – Р: . , . Ускорения: ,

. , , , . Мгновенный центр уск-ий – Q; , , . Сферическое движение твердого тела. Уравнения сферического движения: =f₁(t); =f₂(t); =f₃(t)  – угол прецессии,  – угол нутации,  – угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловое ускорение: . Скорости точек при сферич. движ.: , модуль v=rsin=h, h– расст. от точки до мгновенной оси вращения.

Формулы Эйлера: .

Ускорения: , вращательное ускорение модуль вращат. уск. а^вр=rsin=h₁, h₁– расст. от точки до вектора , осестремительное ускорение , а^ос=²h. Движение свободного тв.тела. Ур-ия движ.св.тв.тела: x_A=f₁(t); y_A=f₂(t); z_A=f₃(t); =f₄(t); =f₅(t); =f₆(t) (углы Эйлера). Скорость точки св.тв.тела: . Уск-ие точки св.тв.тела: .

Сложное движение точки. Теорема о сложении скоростей:

, ; , ; ; ; , , . Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса):

и т.д.

1. ;

2)

3) ;

4) ,

; ; . . , ; а_с= 2|_ev_r|sin(_e^{^}v_r).

Сложное движение тверд. тела. Правило параллелограмма угл.ск-ей: . . Угл. ск-сть. прецессии , угл. ск-сть нутации , угл. ск. собств-го вращ-ия . , – кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.

Вращения направлены в одну сторону. =₂+₁, , . 2) Вращ-ия напр. в разные стороны. , =₂—₁, . 3) Пара вращений ; v_A=v_B, v=₁AB – момент пары угловых скоростей. Винтовое движение: шагом винта – h. Если v и =const, то h= =const, . Динамика

Основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): . Дифференциальные уравнения движения материальной точки: , ; . – дифференциальное ур-ие прямолинейного движения точки, общее решение x=f(t,C₁,C₂), начальные условия: t=0, x=x₀, =V_x=V₀.

Свободные колебания ; c/m=k², ; x= C₁coskt + C₂sinkt,

= – kC₁sinkt + kC₂coskt, С₁= х₀, С₂= /k, т.е. x= х₀coskt + ( /k)sinkt.

С₁=Аsin, C₂=Acos, x=Asin(kt+) – гармонические колебания, А= –амплитуда, tg=kx₀/ ,  – начальная фаза свободных колеб.; – собственная частота колеб.; период Т=2/k. Статическое отклонение _ст=Р/с. Т=2 .

Затухающие колебания R_x= – b сила сопротивления, , b/m=2n, , характеристическое уравнение: z² + 2nz + k²= 0, его корни:

z_1,2= . а) n ,

x=Ae^-ntsin(kt+). , ; частота затухающих колебаний: k^*= ; период: . – декремент колебаний; –nT^*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.

Б) Апериодическое движение n  k . При n > k , обозначая С₁=(В₁+В₂)/2, С₂=(В₁-В₂)/2, . При n = k , , Вынужденные колебания возмущающая сила: Q = Hsin(pt+), р – частота возмущающей силы,  – начальная фаза. , h=Н/m, . х = х^*+х^**. х^*= C₁coskt + C₂sinkt, х^**= Asin(рt+).

– количество движения матер.точки, – элементарный импульс силы. – теорема об изменении количества движ. матер. точки в дифф. форме или . – импульс силы за [0,t]. В проекциях на оси координат: и т.д. - момент количества движения матер. точки относительно центра О. Теорема об изменении момента количества движения матер. точки. . Если М_О= 0,  =const. =const, где – секторная скорость. Элементарная работа dA = F_ds, F_ – проекция силы на касательную к траектории, или dA = Fdscos. dA= – скалярное произведение; dA= F_xdx+F_ydy+F_zdz. Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁: . Если F=const, то = Fscos. , .

Работа силы тяжести: . A>0, если М₀ выше М₁.

Работа силы упругости: .

Работа силы трения: , F_тр=fN. Сила притяжения (тяготения): , k=gR². Работа силы тяготения: .

Мощность . Если N=const, то N=A/t.

Теорема об изменении кинетической энергии точки. В диффер-ной форме: . – кинетическая энергия матер.точки. В конечном виде: . , U=U(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,…x_n,y_n,z_n) – силовой функцией. Элементарная работа сил поля: А=А_i= dU. Работа сил на конечном перемещении . Потенциальная энергия – П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. А_1,2= П₁– П₂. Потенц. энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенц.энерг.поля центральных сил. Центральная сила – , . Гравитационная сила , , f = 6,6710^-11м³/(кгс²) – постоянная тяготения. Первая космическая скорость v₁=  7,9 км/с, R = 6,3710⁶м – радиус Земли; вторая космическая скорость: v₁₁=  11,2 км/с. Потенц. энергия восстанавливающей силы пружин: ,  – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: .

Динамика материальной системы и твердого тела

Центр масс (центр инерции) – геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется равенством: , где – радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: и т.д. Дифф-ные ур-ния движения системы матер.точек: или в проекциях на оси координат: и т.д. для каждой точки (тела) системы. Момент инерции матер.точки: mh². Момент инерции тела: J_z= m_kh_k². При непрерывном распределении масс: J_x= (y²+z²)dm; J_y= (z²+x²)dm; J_z= (x²+y²)dm. J_z= M²,  – радиус инерции тела. Полярный момент инерции J_o= ( x²+y²+z²)dm; J_x+J_y+J_z= 2J_o. Центробежный момент инерции: J_xy=xy dm; J_yz=yz dm; J_zx=zx dm. J_xy=J_yx

Тензор инерции в данной точке:

Моменты инерции стержня: ; . Сплошной диск: .

Полый цилиндр: , цилиндр с массой распределенной по ободу (обруч): . Теорема Гюйгенса-Штейнера: . Момент инерции относительно произвольной оси: J = J_xcos² + J_ycos² + J_zcos² – 2J_xycoscos – 2J_yzcoscos – 2J_zxcoscos, если координатные оси – главные, то:

J = J_xcos² + J_ycos² + J_zcos². Теорема о движении центра масс системы:

. дифференциальное уравнение движения центра масс: .

Закон сохранения движения центра масс. Если  , если при этом в начальный момент v_Cx0= 0, то   x_C= const. Количество движения системы . Теорема об изменении количества движения системы: , проекциях: . Теорема об изменении кол-ва движения системы в интегральной форме: . – импульсы внешних сил. В проекциях: Q_1x – Q_0x = S^e_kx. Закон сохранения количества движения:  = const, в проекциях:  Q_x= const. Дифф-ное уравнение движения точки переменной массы: – уравнение Мещерского,

– реактивная сила, секундный расход топлива, . Формула Циолковского: . – число Циолковского, m₀ – стартовая масса ракеты. Главный момент количеств движения матер. системы (кинетический момент) . Теорема теорема об изменении кинетического момента: ; . Закон сохранения кинетического момента: если , то . Кинетический момент вращающегося тела

K_z = J_z. Если M_z= 0, то J_z = const. Кинетическая энергия системы .

Т = Т_к. Поступательное движение: Т_пост= . Вращательное: Т_вр= . Плоскопараллельное (плоское): Т_пл= + , v_C – скорость центра масс. Теорема Кенига: Т= + . Работа момента: . Мощность: N=M_z.

Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме: dT = , в конечной форме: Т₂ – Т₁= . Для неизменяемой системы и Т₂ – Т₁= . Коэфф-нт полезного действия: , = N_маш/N_дв. Закон сохранения полной механической энергии: Т + П = const.

Дифференциальные ур-ния поступательного движения тела: и т.д. Дифф-ные ур-ния вращения тела вокруг неподвижной оси: , _. 1) если = 0, то  = const; 2) = const, то  = const.

Ур-ние вращательного движения физического маятника: , , дифф-ное уравнение колебаний маятника: , sin  , тогда – дифф-ное уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения:  = С₁coskt + C₂ sinkt или  = sin(kt + ). Период малых колебаний физического маятника Т= 2/k = 2 . Для математического маятника: .

L= – приведенная длина физического маятника. полюса.

Дифф. ур.-я плоского движения тела: ; ; .

— принцип Даламбера для материальной точки.

Сила инерции: .

Для системы добавляется: .

– главный вектор сил инерции, – главный момент сил инерции. , — уравнения кинетостатики.

Главный вектор сил инерции . Главный момент сил инерции при плоском , при вращении вокруг оси z .

Определение реакций при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси.

Центробежная сила инерции , вращательная .

и , , .

,

,

,

, – центробежные моменты инерции,

Уравнения равновесия кинетостатики:

,

,

,

,

,

.

Условия отсутствия динамических составляющих:

, , , , откуда x_C= 0, y_C= 0, J_yz= 0, J_zx= 0.

Принцип возможных перемещений: ;

.

Общее уравнение динамики .

Уравнения Лагранжа 2-го рода: , (i=1,2…s), s – число степеней свободы; q_i – обобщенная координата; – обобщенная скорость,

Т = Т(q₁,q₂,…,q_S, , … ,t) – кинетическая энергия; Q_i – обобщенная сила.

. , П = П(q₁,q₂,…,q_S,t) – потенциальная энергия.

Функция Лагранжа: L = T – П, – уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.

При стационарных связях – квадратичная форма обобщенных скоростей, a_ij= a_ji – коэффициенты инерции.