Лекции в печатном виде, страница 6

V_i(B_j)=(_i, _j)  (max, max)

	B1	B2	B3	min(i, i)
V1	(1,4)	(1,3)	(1,3)	(1,3)
V2	(2,3)	(2,3)	(2,4)	(2,3)
V3	(3,4)	(3,3)	(3,2)	(3,2)
V4	(4,3)	(4,2)	(4,3)	(4,2)
V5	(5,2)	(5,3)	(5,2)	(5,2)
V6	(6,3)	(6,2)	(6,1)	(6,1)
V7	(7,1)	(7,2)	(7,3)	(7,1)

V₂  V₁

V₅ V₃, V₄

V₇ V₆

Получили множество Парето {V₂, V₅, V₇}

а) вирус тяжелый, но не массовый - V₂

б) вирус не очень сильный, но массовый - V₇

в) средний случай - V₅

Общие выводы по теоретико-игровым моделям.

Игровая модель является математическим упрощением реального конфликта, и при этом вводятся следующие основные предположения:

1. Предполагается, что противник также разумен как и сам игрок.

2. Теория игр ориентирует ЛПР на наиболее осторожное поведение, на

исключение риска (определенный риск в играх с “природой”)

1. Предполагается, что игроку известны все стратегии противника,

неизвестно лишь то, какую он выберет в процессе игры.

Пример.

Нужно перевести груз по морю из начального пункта А в конечный пункт В

S_K

S_Н

А₃

А₁

А₂

П₁ – шторм;

П₂ – туман;

П₃ – ясно.

	П1	П2	П3	i	wi	hi
А1	0	10	20	0	20	8
А2	-100	0	200	-100	200	20
А3	10	10	10	10	10	10

	П1	П2	П3	Si
А1	10	0	180	180
А2	110	10	0	110
А3	0	0	190	190

Вальд - А₃

Сэвидж - А₂

Гурвиц - А₂

Если все события равновероятны

q₁ =q₂=q₃=1/3

a₁=10

a₂=100/3  А₂

a₃=10

r₁=190/3=63

r₂=120/3=40  А₂

r₃=63

то и Лаплас дает вторую стратегию. Но путь А₂ в 2/3 случаев опасен.

Пример 2. Случай в Ново-Гвинейском море

о.Н.Британия

юг

север

Японцы: Американцы:

Я₁ – юг А₁ – послать самолеты на юг

Я₂ - север (есть три дня на бомбежку)

А₂ – послать самолеты на север

(1день – поиск,2 – бомбежка)

	Я1	Я2	min
А1	3	1	1
А2	2	2	2
max	3	2

2 – седловая точка

Рациональное и иррациональное поведение ЛПР.

Теория рационального поведения. (Теория ожидаемой полезности).

Фон Нейман, О Моренштерн.

6 аксиом.

Функция ожидаемой полезности.

Лотерея:

А – множество исходов: x, y, z, …

Известны вероятности исходов: p, q, r, …

(x, p, y) – вектор с двумя возможными исходами:

x => p

y => 1-p

p X

1-p Y

Лотерея обозначается следующим образом:

Средняя цена лотереи (x, p, y): xp + y(1-p)

Аксиомы рационального выбора:

А1: Все возможные исходы должны принадлежать А.

x (x A)

А2: На множестве исходов должно быть задано отношение строго предпочтения P(>), нестрогого R( ), безразличия I( ), причём P R, I R и они удовлетворяют двум условиям:

1. Связности, то есть либо справедливо xRy, либо yRx.

2. Транзитивности, то есть из xRy & yRz => xRz.

А3: Две лотереи ((x, p, y), q, y) и (x, pq, y), находятся в состоянии безразличия, то есть справедливо: ((x, p, y), q, y) I (x, pq, y)

p X

q

1-p Y

1-q Y

pq X

1-pq Y

А4: Если xIy, то (x, p, z) I (y, p, z).

А5: Если xPy, то xP(x, p, y)Py.

А6: Если xPyPz, то существует вероятность p, такая, что yI(x, p, z).

Теорема:

Если выполняются аксиомы А1-А6, то существует информация полезности, определяемая на множестве исходов А, для которых выполняются следующие условия:

1. xRy  U(x) U(y).

2. U(x,p,y) = pU(x) + (1-p)U(y)

U(x) U(y), aU(x) aU(y) При a>0

Пример.

Есть два типа урн.

I тип

6 красных

4 чёрных

I I тип

3 красных

7 чёрных

700 штук 300 штук

Решение ЛПР:

d1 +350 (если угадано верно)

- 50 (если не верно)

d2 +500 (если угадано верно)

- 100 (если не верно)

Тип урны	Вероятность выбора урны	Выигрыш при выборе
		d1	d2
1	0.7	350	-100
2	0.3	-50	500

U(d1) = 0.7*350 – 0.3*50 = 230

U(d2) = -0.7*100 + 0.3*500 = 80

d1 – предпочтительнее.

Процесс выбора в ЛПР или ДР.

- личный ход. – случайных ход.

350

0.7

230

d1 0.3

-50

-100

d2 0.7

80

0.3

500

P(y1|к)

0.82 350

278

0.18 -50

P(y2|к)

230 d1

0 0.18

P(y1|к) 500

0.51 278 d2 8

-60 к 0.82

P(y2|к) -100

ч 178 350

0.49 d1 178 P(y1|ч)

P(y2|ч) -50

d2

500

P(y1|ч)

158

P(y2|ч)

-100

P к(y1) = P(к|н1) = 0.6

Вероятность вытянуть красный шар из

у рны 1

Pк(y2) = 0.3

Pч(y1) = 0.4

P ч(y2) = 0.7

P к = P(к) = Pк(y1)*P(y1) + Pк(y2)*P(y2) =

= 0.6*0.7 + 0.3*0.3 = 0.51

Pч = 0.49

P(y1|к) = 0.6*0.7/0.6*0.7 + 0.3*0.3 = 0.82

P(y2|к) = 0,18

P(y1|ч) = 0,57

P(y2|ч) = 0,43

P(y_i|к) = (Pк(y_i)* P(y_i)) /

/ (Pк(y1)*P(y1) + Pк(y2)*P(y2))

Парадоксальные поведения ЛПР.

Парадокс Алле:

Л1

d1 1 мин

5 мин

d2 0.1

0.85

1 мин

0.01

0

Л2

5

0.1

d1 0.9

0

1

d2 0.11

80

0.85

0

U(5) = 1 U > 0.1*1 + 0.85*U U > 10/11 U < 10/11

U(2) = U

U(0) = 0

Теория субъективной ожидаемой полезности

Позволяет формализовать иррациональное поведение ЛПР.

Пример. Парадокс генерала.

Генерал проиграл сражение. Чтобы спасти остатки армии, у него есть 2 пути отступления:

Ситуация Л1:

2000 спасены

d1

1/3 6000 спасены

d2 2/3 0 спасены

Большинство ЛПР выбирают d1.

Ситуация Л2:

4000 погибает

d1

1/3 никто не погибает

d2 2/3 6000(все) погибают

Большинство ЛПР выбирают d2

В зависимости от того, в терминах выигрышей или потерь сформулирована задача, выбираютс различные решения.

Для того чтобы учесть поведение человека, был исследован ряд эвристик, которые побуждают ЛПР действовать нерационально:

1. Суждение по представительности.

Принимая решение, ЛПР сравнивает ситуацию a c типовой ситуацией из

класса K и принимает такое же решение.

Пример

Пусть есть 2 группы специалистов

Г1: 70 инженеров + 30 юристов

Г2: 30 инженеров + 70 юристов

Дается типовое описание представителя класса инженеров и юристов.

Предъявляется субъект, и определяется, с какой вероятностью он является

инженером и юристом. При этом ЛПР принимает решение, не учитывая

вероятности.

2. Суждение по встречаемости.

Принимая решение, ЛПР ориентируется на частоту встречаемости данного

явления в своей повседневной жизни.

3. Суждение по точке отсчета.

Начальная информация может существенно влиять на принятие решения.

4. Сверхдоверие ЛПР к собственному опыту.

5. Стремление к исключению риска.

ЛПР, скорее всего, выберет не самое лучшее решение, чтобы избежать риска

больших потерь.

Причины нерационального поведения ЛПР

1. Недостаток информации у ЛПР в процессе принятия решения.

2. Недостаток опыта.

3. Поиск относительно множества критериев.

4. Временные ограничения.

Основные постулаты теории субъективной ожидаемой полезности

(Теории проспектов)

1). Эффект определенности

ЛПР, как правило, предпочитает детерминированный исход

недетерминированному.