Все ответы к экзамену по Теории Вероятностей, страница 4

Убедимся в том, что предел равен отношению плотностей. Действи­тельно

при . В выражении для условной плотности переменной является х, а значение у фиксировано. Интегрирование (5.16) по х с учетом (5.3а) дает 1:

Замечания.

1.Поскольку значение у зафиксировано,

Эта запись означает, что условная плотность, как функция х, совпада­ет с точностью до константы с сечением функции двух переменных при фиксированном значении другой переменной. Нормирующая константа определяется из условия

2.Если и независимы, т.е. , то

т.е. условное распределение совпадает с безусловным.

3.Аналогично (5.16) вводится условное распределение случайной ве­личины при условии известного значения :

Замечания 1, 2, 3, сделанные для непрерывных случайных величин, справедливы и для дискретных, надо лишь плотности заменить вероятно­стями и интеграл — суммой.

Условные математические ожидания и условные дисперсии

Для условных распределений мы можем определить математическое ожидание, дисперсию и другие числовые характеристики. Они нужны для многих целей, в частности, для прогноза. Если стало известно значе­ние одной компоненты = у, и мы хотим предсказать ненаблюдаемую компоненту , то лучшим прогнозом является условное матема­тическое ожидание:

Например, известна на сегодня температура в Москве, а мы хотим предсказать температуру в Ярославле. Лучшим прогнозом является ус­ловное математическое ожидание. Здесь лучшим прогнозом мы понимаем такой, для которого средний квадрат ошибки минимален.

Для того чтобы рассматривать одновременно дискретные и непре­рывные случайные величины, будем использовать единое обозначение , понимая его как плотность, если и непрерывны, и как веро­ятность при дискретных аргументах, если и дискретны. Аналогично: условные распределения и распределения компо­нент .

Определение. Условным математическим ожиданием случайной ве­личины при условии известного значения = у называется

Определение. Условной дисперсией случайной ве­личины при условии известного значения = у называется

Поскольку значение у случайно, мы можем рассматривать значения функций и как случайные величины:

Справедливы следующие замечательные формулы:

Покажем справедливость (5.21) для дискретных случайных величин. Запишем формулу полной вероятности в наших обозначениях

Умножим это соотношение на х и просуммируем:

что означает

Покажем справедливость (5.22). По формуле (4.14), справедливой для любых распределений, в том числе условных

Здесь слева и справа — функции от у, которые мы можем рассматри­вать как функции от случайной величины :

Если определить математическое ожидание слева и справа (используя свойство из раздела 6: математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий), то получим

Определим второе слагаемое в (5.22):

Складывая (5.23) и (5.24) и дважды применяя (5.21), получим (5.22):

16. Преобразование многомерных случайных величин.  Распределение суммы двух случайных величин.

17.Свойства математического ожидания. Примеры.

1. Математическое ожидание константы есть константа:

(1)

1. Константа выносится за знак математического ожидания:

(2)

1. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий:

(3)

1. Если случайные величины независимы, то математическое ожида­ние их произведения равно произведению математических ожиданий:

(4)

Покажем справедливость этих свойств.

1. Константу с можно рассматривать как вырожденную случайную величину, которая принимает единственное значение с с вероятностью 1.

1. Формула (2) доказывается применением формулы: (5) ,если положить

и с вынести за знак интеграла.

1. Формула (3) также доказывается с помощью формулы, аналогичной (5). Для дискретных случайных величин

(6)

Если в качестве взять сумму , то по (6)

4 . Аналогично показывается справедливость (4); для дискретных случайных величин, если они независимы, т.е. , имеем

П ример 1 использования свойств. Проведем п независимых испыта­ний случайного события А, вероятность появления которого в одном ис­пытании Р(А) = р. Определим математическое ожидание и дисперсию количества успехов. Эту случайную величину можно представить сум­мой результатов п испытаний:

где

С огласно 4a и свойству суммы мат. ожиданий:

Пример 2. В устройстве n блоков. При испытании блок с номером i выходит из строя с вероятностью р_i. Определить среднее количество вы­ходящих из строя блоков, а также дисперсию.

Количество выходящих из строя блоков можно представить в виде суммы по блокам:

г де

18.Свойства дисперсии. Примеры.

1. Дисперсия константы c равна 0.

1. Прибавление константы не изменяет дисперсию.

1. Константа из-под знака дисперсии выносится с квадратом.

1. Для дисперсии суммы случайных величин используются формулы:

а)Для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий.

б)Для произвольных случайных величин

, где и

1. Неравенство Чебышева:

Это неравенство понимается так: вероятность большого отклонения слу­чайной величины от своего математического ожидания мала, и она тем меньше, чем меньше дисперсия.

Справедливость свойств (1-4) вытекает из определения дисперсии (1) и свойств математического ожидания. Действительно:

1)

2)

3)

4б)

4а)

Е сли события независимы то по :

5)доказательство д.б. в другом билете.

П ример 1 использования свойств. Проведем п независимых испыта­ний случайного события А, вероятность появления которого в одном ис­пытании Р(А) = р. Определим математическое ожидание и дисперсию количества успехов. Эту случайную величину можно представить сум­мой результатов п испытаний:

где

С огласно 4a и свойству суммы мат. ожиданий:

Пример 2. В устройстве n блоков. При испытании блок с номером i выходит из строя с вероятностью р_i. Определить среднее количество вы­ходящих из строя блоков, а также дисперсию.

К оличество выходящих из строя блоков можно представить в виде суммы по блокам:

г де

19.Числовые характеристики многомерных случайных величин.

Пусть - многомерная случайная величина (вектор столбец).

Математическое ожидание — характеристика среднего значения случайной величины.

Определение. Математическим ожиданием , называется век­тор математических ожиданий:

( 1)

Каждая компонента этого вектора может быть выражена через инте­грал:

Где функция распределения случайной величины ;F(x1,…,xn)- функция распределения случайной величины

Дисперсионная матрица — характеристика рассеяния

Определение. Дисперсионной (ковариационной) матрицей на­зывается матрица вторых центральных моментов:

где называется ковариацией случайных величин и . Если - непре­рывна и р(x1,.., х_n) — плотность вероятности, b_jk выражается очевид­ным образом через интеграл:

Дисперсионная матрица является симметричной:

В^Т = В

и неотрицательно определенной, т.е. для любых значений переменных t1,…,t_n

⁽¹⁾

Это свойство доказывается рассмотрением случайной величины - линейной комбинации :

Вычислим дисперсию . Поскольку = О

ч то совпадает с суммой в (1); но > 0, что и дает (1). Дисперсионную матрицу можно представить так:

20. Коэффициент корреляции и его свойства.

21. Свойства математического ожидания и дисперсионной матрицы.

2

2. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел в форме Чебышева.

24. Центральная предельная теорема. Доказательство для случая независимых одинаково распределенных слагаемых.

25. Примеры применения центральной предельной теоремы: оценка ошибок округления, расчет устройств со случайными параметрами.