Все ответы к экзамену по Теории Вероятностей, страница 2

Свойство равновозможности исходов эксперимента часто встречает­ся в практических задачах. Однако недостаток классического определе­ния состоит в конечности множества исходов. Откажемся от этого огра­ничения. Будем предполагать, что эксперимент можно представить как бросание точки наудачу в область n -мерного пространства. Пространством элементарных исходов Ω является область D. Слово «наудачу» будем понимать следующим образом: вероятность случайной точке попасть в g, , не зависит от формы и расположения g, а зависит только от раз­мера g (от mes g): Р (попасть в g) =f(mes g).

Можно показать (используя аксиомы вероятности), что в этом случае вероятность попадания в g равна отношению «размеров»:

(1)

Это соотношение является аналогом .

Задача о встрече

Д ва человека договорились встретиться в определенном месте в ин­тервале от 12 до 13 ч (будем считать от 0 до 1), причем момент прихода каждый выбирает случайно на отрезке [0, 1] и ждет 20 мин (1/3 ч). Какова вероятность события А = {встреча произойдет}?

Решение. Эксперимент мы представляем как бросание 2-х точек на отрезок [0, 1]. Пусть х — момент прихода 1-го, у — момент прихода 2-го. Множество всех исходов , т.е. квадрат на плоскости. Множество А исходов, благоприятствующих наступлению А, состоит из тех исходов (х, у), для которых |х—у|≤1/3: .

Соответствующая область показана на рисунке. В силу (1):

.

3.Условная вероятность. Основные формулы ТВ.

1.Определение условной вероятности

Пример: 10 пронум. шаров

Выберем 1 шар «наудачу»

Случайное событие A={номер шара нечётный}; A={1,3,5,7,9};P(A)=0.5

Случайное событие B={номер шара делится нацело на 3};B={3,6,9};P(B)=0.3

Эксперимент проведён, но исход неизвестен. Но известно, что B наступило.

Определение: Отношение называется условной вероятностью A при наступлении B и обозначается P(A|B).

Замечание: B фиксируем; A варьируется; . Аксиомы выполняются.

3. .

Следовательно все формулы справедливы для условной вероятности. Например:

2. Формула умножения вероятностей

.

Обобщение: ;

3. Независимость случайных событий

Определение: Событие А независимо по отношению к событию В, если

Следствие:

1. Если А независимо относительно В, то В независимо относительно А

. Т.е. свойство независимости взаимно.

1. Если А и В независимы, то

2.1 независимы ( )

2.2 независимы (аналогично)

2.3 независимы (аналогично)

1. Если А и В независимы, то

;

Определение: 1б: Случайные события А и В называются независимыми, если (3*)

Замечание: Случайные события А и В физически независимы, след. (3) выполняется и тогда (3*) используется для определения вероятности двух событий, т.е. Р(АВ)

Пример: Бросание 2-х монет

Случайное событие А={появление герба на 1-ой монете} Р(А)=1/2

Случайное событие В={появление герба на 2-ой монете} Р(В)=1/2

;

Определение 2: Случайные события называются независимыми в совокупности, если

Определение 3: Случайные события называются попарно зависимыми, если

Из независимости совокупностей следует независимость попарно. Но обратное неверно.

Пример. 4 карты, на которых написаны числа 2,3,5,30.

Извлекается 1 карточка

A₁={результат делится на 2};A₂={результат делится на 3};A₃={результат делится на 5};

P(A₁A₂)=P(A₁)*P(A₂)=1/4=1/2*1/2; P(A₁A₃)=P(A₁)*P(A₃)=1/4=1/2*1/2;P(A₂A₃)=P(A₂)*P(A₃)=1/4=1/2*1/2;

Но: P(A₁A₂ A₃)=P(A₁)*P(A₂)*P(A₃)=1/4

4. Формула полной вероятности

Эксперимент, Ω.

Случайные события являются полной группой событий, если

Пусть имеется В – случайное событие и известны P(B|A_n)=>

(1)

Замечание: Для справедливости (*) должно выполняться условие

5. Формула для апостериорных вероятностей гипотез (формула Байеса).

Пусть A₁…A_n …– полная группа событий, т.е. совокупность взаимоисключающих предположений (гипотез). Р(А₁)… Р(А_n)… - доопытные вероятности.

Эксперимент проведён, но ω – неивестна. Известно, что В наступило + известны Р(В|A_n). P(A_n|B)-?

Замечание:

Пример: 5 ящиков с шарами

2 ящика состава : 2 белых и 1 черный шар.

1 ящика состава : 10 черных шаров.

2 ящика состава : 3 белых и 1 черный шар.

Эксперимент: 1 шаг: выбор случайного ящика; 2 шаг: выбор из ящика случайного шара.

1)P {выбранный шар - белый} = P(B) = (**) =

P{выбран ящик состава }=P(A₁)=2/5; P{из ящика состава выбран белый шар}= P(B|A₁)=2/3

P{ выбран ящик состава }= P(A₂)=1/5; P{ из ящика состава выбран белый шар }= P(B|A₂)=0

P{ выбран ящик состава }= P(A₃)=2/5; P{ из ящика состава выбран белый шар }=P(B|A₃)=3/4

2)Эксперимент проведён, ящик неизвестен. P(A_k|B) - ?

5. Одномерные случайные величины. Независимые испытания Бернулли.

Пусть имеется некоторый эксперимент, множество исходов Ω = {ω}, и на Ω задана вероятность Р(А), . Исход ω - это элемент любой природы. Теперь будем полагать, что исход эксперимента - число.

Определение 1а. Случайной величиной называется числовой исход эксперимента.

Поскольку Ω — числовое множество, случайное событие определяет­ся множеством А точек на вещественной оси. Предполагается, что заданы вероятности Р{А) = Р{ }.

Случайные величины будем обозначать ξ, η, ζ, α, β и т.д. в отличие от ω - элемента произвольной природы.

Обобщим понятие случайной величины. Пусть {Ω, S, Р_Ω} — вероят­ностное пространство, Ω = {ω} — множество элементов произвольной природы.

Определение 16. Вещественнозначная функция ξ=f(ω), заданная на вероятностном пространстве, называется случайной величиной.

При таком введении случайной величины вероятность события Р{ }, где , определяется следующим образом: Ω содержит множество С_А тех исходов ω, для которых :

С_А={ω: }. Тогда

О пределение 2. Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетно. Такую случайную вели­чину можно задать множеством значений x₁, x₂. …, x_k, … и соответствующими вероятностями:

Дискретную случайную величину можно представить графически (рис. 3.1). Вероятность любого события Р{ }, , определяется очевидным образом:

т.е. суммируются вероятности тех х_k, которые находятся в А.

Последовательность независимых испытаний Бернулли (биномиальный закон распределения)

Пусть имеется некоторый элементарный опыт. В результате опыта может произойти или не про­изойти некоторое событие А с вероятностью P(A)=p, P( )=q=1-p.

Появление А будем считать "успехом", а непоявление А — «неуспе­хом». Повторим этот элементарный опыт n раз, в этом n - кратном по­вторении состоит основной эксперимент, который назовем независимы­ми испытаниями Бернулли. Введем случайную величину ξ — количество «успехов» в n испытаниях случайного события А. Ясно, что ξ может при­нимать значения 0, 1, ..., n. Оказывается, вероятность получить k "успе­хов" равна

(1)

Покажем справедливость этой формулы для n = 3 и k = 2. Для экспе­римента, состоящего из n = 3 испытаний, имеем 8 исходов: ω₁=(0,0,0); ω₂=(0,0,1); …; ω₈=(1,1,1);

Событию {ξ = 2} благоприятствует исхода (1,1,0), (1,0,1) и (0,1,1), причем в силу независимости трех испытаний P(1,1,0)=P(1,0,1)=P(0,1,1)=p²q, и потому .

Рассуждая аналогично, для произвольных n и k получим требуемую формулу.

Нетрудно видеть, что

Действительно, это выражение совпадает с биномиальным разложением: .

Совокупность {k, р_k}, определенных формулой (1), называется би­номиальным распределением вероятностей. Случайная величина ξ, для которой верно (1), обозначается: ξ ~ Bi(n,p) и читается так: случайная величина подчиняется биномиальному закону с парамет­рами n и p (n — число испытаний, р — вероятность "успеха" в одном испытании).

Типичная зависимость вероятности Р(k) от k показана на рис. 3.3.

6. Теоремы Муавра-Лапласа.

7. Теорема Пуассона.

8. Однородный пуассоновский поток случайных точек.

9. Функции распределения и их свойства. Дискретные и непрерывные случайные величины.

10. Преобразование случайных величин. Примеры: линейное преобразование, логарифмически нормальное распределение.

11. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия. Примеры: распределение Бернулли, Пуассона, нормальное, равномерное.