Все ответы к экзамену по Теории Вероятностей, страница 3

Пусть ξ – дискретная случайная величина, определяемая значениями x₁, x_2, … , x_k, … и соответствующими вероятностями p₁, p_2, … , p_k, … . Математическое ожидание Mξ определяется как сумма (1.1) (если ряд сходится абсолютно).
Пусть ξ – непрерывная случайная величина, определяемая плотностью p_ξ(x). Математическое ожидание Mξ определяется как интеграл (1.2) (если интеграл сходится абсолютно).
Замечание. Механическим аналогом математического ожидания является центр тяжести системы материальных точек. Пусть в точках x₁, x_2, … , x_k, … находятся материальные точки с массами m_k=p_k, равными вероятностями. Тогда центр тяжести x_ц этой системы есть , т.е. математической ожидание. Это позволяет иногда определять без вычислений.

Дисперсией случайной величины называется сумма (2), если дискретна и интеграл , если непрерывна. Справедлива формула , если дискретна ( ); .
Поскольку дисперсия получается усреднением квадрата единицы измерения случайной величины. Для того чтобы измерять разброс в исходных единицах, вводят понятие среднеквадратичного отклонения: .

Примеры: 1) Случайная величина, распределенная по биномиальному закону. . Поскольку ξ – это количество успехов в n испытаниях, ξ можно представить суммой результатов , где , т.е. ξ есть сумма независимых бинарных величин. Mξ и Dξ равны n-кратным значениям Mε_k и Dξ, т.е. Mξ=np; Dξ=npq.
2) Случайная величина, распределенная по закону Пуассона. ; k=0,1,2, … Согласно (1.1) . Согласно (2) . Затем . Итак, параметр a закона Пуассона имеет двойной вероятностный смысл: это математическое ожидание и одновременно дисперсия, причем стандартное отклонение
3) Случайная величина , распределенная по нормальному закону. Плотность распределения . Согласно (1.2) используя замену переменной , имеем , где первый интеграл равен 1, поскольку интегрируется плотность, а второй равен 0, поскольку под интегралом нечетная функция. С помощью той же замены нетрудно показать, что .
4) Случайная величина, распределенная по равномерному закону.

/*На основе формул математического ожидания и дисперсии получим*/ ;

12. Интеграл Стильтьеса. Общее определение математического ожидания.

13. Математическое ожидание функции от случайной величины. Моменты случайной величины (моменты распределения).

14. Многомерные случайные величины, дискретные и непрерывные; функции распределения и их свойства.

Основные определения

Мы всегда предполагаем, что имеется некоторый эксперимент, результат которого заранее неизвестен и непредсказуем. Известно множе­ство всех возможных результатов эксперимента, на котором задана вероятность . В этой схеме — элемент произвольной природы. Если же исходом эксперимента являются чисел (случайная точка в , то случайный исход называется n-мерной случайной величиной. Таким образом, и на задана вероятность , т.е. для дос­таточно произвольного , , задана — вероятность попадания случайной точки в .

Определение 1a. n чисел — случайный исход эксперимента, называется n-мерной случайной величиной.

n-мерная случайная величина может определяться и задаваться более общим способом. Пусть — множество исходов произвольной природы и на задана вероятность Р. Пусть на определены n функций с вещественными значениями:

Определение 1б. n вещественнозначных функций, определенных на вероятностном пространстве , называется n-мерной случайной величиной. При таком определении нас интересует вопрос, как опреде­ляются вероятности случайных событий (по­падание случайной n-мерной точки в А). Выделим в множество В:

состоящее из тех , для которых значения функций . Поскольку , для B задана вероятность . События и экви­валентны, и потому

Дискретные и непрерывные случайные величины

Будем рассматривать двумерные случайные величины основные положения оказываются справедливыми и для случайных величин произвольной размерности.

Определение 2. Случайная величина называется дискретной, если множество ее возможных значений конечно или cчетно. Такая случайная величина может быть задана перечислением точек на плоскости и соответствующими вероятностями .

Без ограничения общности можно считать, что множество значений — это узлы , i,j = 1, 2,... прямоугольной решетки, поскольку лю­бое конечное или счетное множество точек на плоскости можно допол­нить до прямоугольной решетки узлами с нулевыми вероятностями (рис. 5.1); — вероятности соответствующих точек. Можем опре­делить вероятность попадания в некоторую область A на плоскости (рис. 5.2):

Очевидно, сумма вероятностей всех точек равна 1:

По совокупности вероятностей можно найти закон распре­деления одной компоненты, например первой:

т.е. при фиксированном значении , суммируются вероятности всех точек из , у которых первая компонента равна . Аналогично для второй компоненты

Определение 3. Двумерная случайная величина называется не­прерывной, если в любой точке плоскости существует плотность вероятности , понимаемая как предел отношения вероятности попадания в прямоугольник с малыми сторонами к пло­щади прямоугольника:

Функция называется плотностью совместного распределения для Из (5.4) следует, что вероятность попадания в некоторую область А равна интегралу от по А:

Очевидно,

Плотность распределения одной компоненты определяется аналогично (5.3):

Пример 1. Случайная величина называется равномерно распределенной в области G, если

Значение константы c равно , где — площадь области G, определяемая из (5.6).

Пример 2. Случайная величина распределена нормально, если

Эта плотность имеет 5 параметров: . Линии уровня для плотности

являются эллипсами с центром в точке ; в этой точке имеет максимум. Если по (5.7) определить и , то увидим, что и подчиняются нормальному распределению, причем Параметр r — это коэффициент корреляции между и (см. пп. 7.3).

Функции распределения

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция , определенная на и равная в точке (х, у) вероятности события :

Обычно в индексе указывают случайную величину:

Свойства функций распределения.

1. .

2. монотонно не убывает по каждому из аргументов.

3.

4. непрерывна слева по ка­ждому из аргументов.

5. Вероятность попадания в прямоугольник (рис. 5.3):

Эта формула позволяет определить вероятность попадания в об­ласть, которую можно представить непересекающимися прямоугольни­ками.

6. Связь плотности с функцией распределения:

Действительно, в силу (5.5)

Дифференцирование по x и y дает (5.9).

Для случайной величины произвольной размерности:

7. По можно определить функции распределения и плотности для отдельных компонент:

15. Независимость случайных величин. Условные распределения.

Независимость случайных величин

Напомним, что события А и В называются независимыми, если

Определение 1. Дискретные случайные величины и называются независимыми, если при любых и

или

Определение 2. Непрерывные случайные величины называются неза­висимыми, если для любых х и у для плотностей справедливо равенство:

Определение 3. Понятие независимости для случайных величин об­щего типа формулируется в терминах функций распределения. Величины и независимы, если

Определение 4. n случайных величин называются неза­висимыми в совокупности, если

Условные распределения

а) Рассмотрим сначала дискретные случайные величины и , опре­деляемые совокупностью точек на плоскости и соответствую­щими вероятностями . Предположим, что эксперимент прове­ден. Стало известно значение одной компоненты = у, но значение дру­гой компоненты остается неизвестным. Возникает вопрос: како­вы вероятности того, что имеет различные значения ? Выпишем эти вероятности по формуле условной вероятности:

В этом выражении изменяется, а у зафиксирован.

Определение. Совокупность по вероятностей (5.14) называется условным распределением случайной величины при условии известного значения = у.

Просуммировав (5.14) по , с учетом (5.3б) убеждаемся, что

б) Рассмотрим непрерывные случайные величины и , определяе­мые плотностью совместного распределения . Предположим, что эксперимент проведен. Стало известно значение одной компоненты = у но значение другой ( ) остается неизвестным. Каково теперь рас­пределение значений для

Определение. Плотностью условного распределения случайной вели­чины при условии известного значения = у называется функция от х: