[2] Краткие Сведения Из Теории Электронного Строения Конденсированных Сред (Материалы с сайта Арсеньева)

2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОННОГО СТРОЕНИЯ КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕД

2.1. Классификация материалов

Материалы, применяемые в промышленности, можно си­стематизировать по различным признакам. Наиболее часто критериями систематизации материалов являются область их применения, реже — химический состав, происхождение, аг­регатное состояние, структура и т. п. В зависимости от об­ласти применения различают четыре основные группы мате­риалов: проводниковые, полупроводниковые, диэлектрические и магнитные.

ГОСТ 17033—71, ГОСТ 22265—76 и ГОСТ 21515—76 «Ма­териалы электротехнические. Термины и определения» уста­навливает различие между понятиями класса веществ (ди­электрики, полупроводники, проводники) и понятием «мате­риалы». В табл. 2.1 приведены определения классов веществ и групп электротехнических материалов.

В настоящее время широко применяется деление элект­ротехнических материалов на пассивные и активные. Пас­сивными или линейными называют материалы, основные макроскопические характеристики которых (, , , и т. д.) не зависят от величины приложенного электрического или магнитных полей. В противном случае материалы называют активными или нелинейными, т. е. подразумевается возмож­ность управления их свойствами с помощью внешних воз­действий. С этой точки зрения диэлектрические материалы могут быть пассивными и активными: ферромагнитные и по­лупроводниковые материалы в большинстве случаев являют­ся активными. В то же время вышеприведенная систематика не отражает специфики ряда современных, наиболее интен­сивно развивающихся областей науки и техники. К ним в первую очередь следует отнести материалы лазерной техни­ки, сверхпроводники, материалы нелинейной оптики и т. д.,

Таблица 2.1

которые в настоящее время превратились в самостоятельные области материаловедения.

2.2. Энергетический спектр электронов в изолированном атоме и конденсированных средах

Согласно законам квантовой механики, энергия электро­на изолированного атома, а следовательно, и энергия самого атома может иметь лишь определенный дискретный ряд зна­чений энергии

Е₀, Е₁,..., Е_п,

называемых уровнями энергии (энергетическими уровнями). Этот набор «разрешенных» значений энергии называется энергетическим спектром ато­ма. Самый нижний уровень энергии Е₀, при котором энергия системы наименьшая, называют основным. Остальные уров­ни— е₁, Е₂,..., Е_n,— соответствуют более высоким значениям энергии атома и называются возбужденными, так как для перехода на них с основного уровня необходимо возбудить систему, т. е. сообщить ей дополнительную энергию.

При переходе электрона с одного уровня энергии на дру­гой атом может излучать или поглощать энергию электро­магнитных волн, частоты которых определяются соотноше­нием

_mn=(Е_m—Е_n)/h, (2.1)

где h — постоянная Планка; Е_n и Е_m - энергии начального и конечного уровней соответственно.

Решение задачи о стационарных состояниях и об энерге­тическом спектре любой квантовой системы может быть принципиально получено путем решения уравнения Шредингера

Н> = Е, (2.2)

где H — оператор Гамильтона (оператор полной энергии си­стемы); — волновая функция от координат всех частиц, вид которой, так же как и разрешенные значения энергии, определяется решением уравнения (2.2) с соответствующими дополнительными условиями.

Для одной частицы, движущейся в центрально-симметрич­ном* поле ядра свободного атома или иона, уравнение Шредингера имеет вид

* Центрально-симметричное поле характеризуется тем, что потен­циальная энергия частицы в таком поле зависит только от ее расстояния r до некоторого центра.

(2.3)

где ћ = h/(2*π)*z*e²/r и ћ²/(2m)*Δ - величины, определяющие кинетическую и потенциальную энергии электрона в поле ядра: Δ = д²/дх + д²/ду + д²/дz— оператор Лапласа; т, е — масса и заряд электрона соответственно. Волновая функция Ψ, являю­щаяся решением этого уравнения, описывает стационарное со­стояние электрона с определенным значением энергии Е. Од­новременно с энергией стационарное состояние подобной си­стемы характеризуется также определенными дискретными значениями квадрата момента количества движения М_l^орб и одной из его компонент (обычно z-компоненты). Возможный дискретный ряд значений этих величин определяется через квантовые числа п, l и m_l.

Главное квантовое число п принимает целые значения (n = 1, 2, 3...) и определяет энергию стационарного состоя­ния по формуле

(2.4)

Орбитальное (азимутальное) квантовое число l опреде­ляет значение квадрата орбитального механического момен­та по формуле {М₁^орб)² = ћ² l (l+1) и принимает при заданном п целые значения

l=0, 1, 2, ... , п— 1,

т. е. п значений. Состояния с последовательными значения­ми l принято обозначать буквами:

l=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14

s p d f g h i k l m n o p r t

и соответственно называть s -состояниями, р-состояниями и т. д.

Орбитальное магнитное квантовое число m_l определяет значение проекции орбитального момента М₁^орб по формуле М_1z^орб= ћm_l, и принимает при заданном l целые значения: m_l =l, l-1, ...,-l, т. е. всего 2l+1 значений.

Для полного описания состояния электрона в атоме на­ряду с перечисленными выше квантовыми числами вводится

еще одно квантовое число m_s называемое спиновым магнит­ным квантовым числом. Спиновое магнитное квантовое чис­ло m_s определяет значение проекции спинового момента M_Р^СПИН по формуле М_рz^СПИН= ћ m_s и принимает лишь два зна­чения:

m_s = 1/2; —1/2.

Таким образом, характеристика стационарного состояния атома водорода или водородоподобного поля дается набором четырех квантовых чисел

п,l, т_l, т_s

C наглядной точки зрения, l и m_l определяют величину и ориентацию (по отношению к произвольно выделенному на­правлению) орбитального момента М₁^орб, а m_s определяет ориентацию (по отношению к тому же направлению) спино­вого момента, равного по величине 1/2.

Как следует из формулы (2.4), энергия одноэлектронного атома зависит только от главного квантового числа п и не зависит от l, m_l и m_s т. е. энергия подобной системы не за­висит от ориентации его механических моментов. Если одно­му уровню энергии соответствует два (или более) различных устойчивых состояния атома, то уровень называют вырож­денным, а соответствующие ему устойчивые состояния c оди­наковой энергией называют вырожденными состояниями. Число g различных состояний с одинаковой энергией назы­вают степенью (или кратностью) вырождения или статисти­ческим весом. Вырожденные состояния отличаются значения­ми других квантовых чисел. Для водородоподобного атома при заданном значении l мы имеем 2l+l различных состоя­ний, отличающихся значением т_l. При заданных l и т_l воз­можны два состояния, отличающихся значением т_s. Таким образом, всего при заданном l мы получаем 2 (2l+1) неза­висимых состояния, т. е. кратность вырождения уровня энер­гии по т_s и т_l с заданным значением l равна g_l = 2 (2l+1). Степень вырождения уровня с заданным значением главного квантового числа п, если учесть, что l при этом принимает значения от 0 до п—1, равна

Ниже приведено число возможных состояний системы для последовательного ряда значений n от 1 до 5:

n = 1, 2=2*1²;

n = 2, 2+6 = 8=2*2²;

n = 3, 2+6+10 = 18=2*3²; (2.5)

n=4, 2+6+10+14=32=2*4²;

n = 5, 2+6+10+14+8=50=2*5².

Для состояния с заданным значением п и l принято использовать обозначение, при котором цифра указывает значение n , а следующая за ней буква - значение l:

n=1, l=0 обозначают 1 s;

n= 2, l =0, 1 —2s, 2 р;

n=3, l=0,1,2 — 3s, 3р, 3d; (2.6)

n=4, l = 0,1,2,3 — 4s, 4р, 4d , 4f

и т. д.

Наличие спина у электрона и связанного с ним магнит­ного момента приводит к дополнительному взаимодействию, не рассмотренному в приближении центрально-симметрично­го поля. Это взаимодействие называют спин-орбитальным взаимодействием.

При учете спин-орбитального взаимодействия уже ни ор­битальный момент М₁^орб, ни спиновый М_p^СПИН не имеют оп­ределенного значения в состоянии с данной энергией. Тако­вым является полный момент количества движения J, опре­деляемый как векторная сумма М₁^орб + М_p^СПИН.

Известно, что в квантовой механике полный момент кван­туется по тем же правилам, что и орбитальный момент ко­личества движения электрона, и равен