[2] Краткие Сведения Из Теории Электронного Строения Конденсированных Сред (Материалы с сайта Арсеньева), страница 3

Анализ движения электрона в периодическом поле крис­талла под действием электрической силы F приводит к сле­дующему соотношению между ускорением электрона и си­лой F:

(2.11)

где К — волновой вектор электрона.

Волновой вектор К. связан с .импульсом электрона р соот­ношением р=ћК, т. е. значения р отличаются от соответ­ствующих значений К лишь множителем ћ, поэтому любая из этих величин может служить «квантовым числом», опи­сывающим состояние электрона в кристалле.

В силу формальной аналогии между выражением (2.11) и вторым законом Ньютона величину

(2.12)

называют эффективной массой электрона в кристалле. Для свободного электрона т* = т.

Смысл введения понятия эффективной массы состоит в том, что оно позволяет описать движение электронов, нахо­дящихся в периодическом поле кристалла, как движение сво­бодных носителей заряда. В отличие от массы в ее обычном понимании эффективная масса имеет ряд существенных осо­бенностей. Во-первых, она представляет собой тензорную величину, которая переходит в скаляр, если энергия Е за­висит только от модуля волнового вектора K. Во-вторых, как это следует из (2.12), эффективная масса может быть как положительна, так и отрицательна, а ее абсолютная ве­личина может быть и больше, и меньше массы свободного электрона.

Д
вижение электрона в кристаллической решетке в той области значений К, где d²Е/dК²<0, описывается как дви­жение положительного заряда (дырки) с положительной эф­фективной массой, равной

Электроны и дырки называют подвижными носителями заряда в отличие от ионов, располагающихся в узлах ре­шетки, — неподвижных носителей заряда. Под действием внешнего электрического поля напряженности Е носители заряда приобретают направленную составляющую скорости v_др. Направленное перемещение носителей в электрическом поле называют дрейфом носителей. Дрейфовую составляю­щую скорости можно выразить через ускорение, приобретае­мое носителями под действием поля а=qЕ/т* и время сво­бодного пробега τ_св:

v_др = qЕ *τ_св /т* (2.13)

Как видно из (1-13), v_др пропорциональна напряженности электрического поля:

v_др =μЕ (2.14).

Коэффициент пропор­циональности называется подвижностью носителей, м²/(В*с), и представляет собой скорость, получаемую зарядом под дей­ствием электрического поля единичной напряженности:

μ_l= q* τ_св /т_p* (2.15)

Выражение, аналогичное (2.13) и (2.14), можно записать и для подвижности дырок, заменив т,* и μ_l, на эффективную массу и время свободного пробега дырки—т_p* и μ_p:

μ_p = q* τ_св /т_p* (2.16)

Воспользовавшись соотношениями (2.14) и (2.13), плот­ность тока j в кристаллах с концентрацией свободных элек­тронов п можно записать в виде

J=q*n*μ*E (2.17)

Равенство (2.17) представляет собой закон Ома j=σЕ, от­куда удельная проводимость электронов равна

σ = q*n* μ_l (2.18)

В общем случае, когда в веществе присутствуют носите­ли заряда различных видов, удельная проводимость равна

(2.19)

Следовательно, удельная проводимость материалов зависит от тех факторов, которые оказывают влияние на значения концентрации и подвижности носителей заряда. На подвиж­ности большое влияние оказывают процессы рассеяния но­сителей заряда.

Наиболее важными механизмами рассеяния носителей за­ряда является рассеяние на ангармонических колебаниях ато­мов решетки {.решеточное рассеяние), на примесях (ионизи­рованных и неионизированных), на структурных дефектах решетки.

Квантомеханическое рассмотрение задачи о колебаниях атомов решетки показывает, что каждый кристалл характе­ризуется определенным набором частот колебаний, который в свою очередь определяется конкретной структурой мате­риала. Подобно существованию зоны запрещенных энергий существует зона запрещенных частот, разделяющая разре­шенные значения на две ветви колебаний — акустическую и оптическую. В связи с дискретностью спектра частот колебаний ато­мов в кристалле обмен энергий при взаимодействии носите­лей заряда с решеткой может происходить только квантами энергии h ν_i , где ν_i – i - частота колебаний атомов решетки. Кванты энергии колебаний атомов кристаллической решетки называют фононом. При этом акустическим колебаниям ре­шетки соответствуют акустические фононы, оптическим — оп­тические. Максимальная частота, с которой атомы могут ко­лебаться относительно положения равновесия, называется ха­рактеристической или дебаевской частотой и обозначается ν_d,. Она определяет характеристическую температуру или тем­пературу Дебая:

Θ_d=ћ ν_d /k (2.20)

При температуре Дебая в твердом теле возбуждаются все нормальные колебания, в том числе и колебания с мак­симальной частотой ν_d. Температура Дебая используется как критерий оценки степени нагрева тела: температуры Т> Θ_d считаются высокими для данного кристалла, температуры T < Θ_d — низкими. Например, для алюминия Θ_d составляет 418 К. Дальнейшее увеличение температуры приводит лишь к увеличению средней энергии частиц, т. е. увеличению ам­плитуды колебаний.

Концентрация свободных носителей заряда, входящих в выражение для электропроводности (2.18), определяется плотностью энергетических состояний в зоне и их фактиче­ским заполнением (функцией распределения f(Е,Т)):

(2.21)

Интегрирование ведется по всем значениям энергии соот­ветствующей зоны. Как показывает теория, плотность состоя­ний или число разрешенных энергетических состояний элект­ронов dS, лежащих в интервале энергий dЕ и приходящихся на единичный объем кристалла, равен

N(Е) =dS/dЕ = 2π(2m_n*h²)^3/2E^1/2 (2.22)

Вероятность того, что частица будет обладать той ,или иной энергией, т. е. вероятность распределения частиц по состояниям, определяет статистические функции распределе­ния. Они показывают вероятность f(Е, Т) того, что частица будет обладать средней энергией Е при температуре Т. Для невырожденных систем, т. е. в том случае, когда чис­ло состояний намного превышает число частиц, вероятность того, что несколько частиц окажутся в одном и том же со­стоянии с энергией Е, крайне мала. Эти системы подчиняют­ся законам классической статистики Максвелла — Больцмана. Для вырожденных систем число частиц сравнимо с чис­лом состояний, и оказывается весьма вероятной «встреча» микрочастиц в одном состоянии. В вырожденных системах возможное заполнение состояний определяется природой час­тиц. С этой точки зрения все микрочастицы подразделяются на две группы. К первой из них — фермионам — относятся микрочастицы (электроны, протоны и др.), подчиняющиеся принципу запрета Паули. Согласно принципу Паули, в кван­товой системе не может быть двух микрочастиц в одинако­вых состояниях. Фермионы описываются статистикой Фер­ми — Дирака.

К другой группе — бозонам — относятся частицы, которые могут в неограниченном количестве заселять данное состоя­ние. К ним принадлежат, например, фотоны. Бозоны описы­ваются статистикой Бозе — Эйнштейна. Невырожденные си­стемы описываются функцией распределения Максвелла — Больцмана

F(E,T)=exp[(E_F – E)kT] (2.23)

где k — постоянная Больцмана; величина Е_F называется энергией или уровнем Ферми. С термодинамической точки зрения, уровень Ферми соответствует химическому потенциа­лу системы.

Для ферминов функция распределения частиц по состоя­ниям имеет вид

(2.24)

и называется функцией распределения Ферми—Дирака. При T=0 К величина f(Е, Т) имеет два значения:

Э
то означает, что при T=0 К все состояния с энергией меньше Е_F, заняты, а все состояния с энергией больше Е_F свободны. При Е = Е_F f(Е, Т) =0,5, т. е. вероятность того, что частица обладает энергией Е = Е_F, равна 0,5.

Для бозонов функция распределения имеет вид

(2.25)

где μ — химический потенциал бозонов. Выражение (2.25) называется функцией распределения Бозе—Эйнштейна. Ана­лизируя выражения (2.24) и (2.25), нетрудно заметить, что при

ехр [ (Е—Е_F}/kТ] >>1 (2.26)

они переходят в распределение Максвелла—Больцмана (2.23). При этом f(Е, Т) << 1, и следовательно, число состоя­ний во много раз больше числа частиц в системе, т. е. систе­ма является невырожденной, Поэтому условие (2.26) назы­вают условием (критерием) вырождения.

Нетрудно понять, почему теория энергетических зон, ко­торая позволила успешно объяснить свойства полупровод­ников с высокой подвижностью, оказывается неприменимой, если величина подвижности становится менее 1 см²*B^-1*c^-1. Если применить соотношение μ=еτ/m_e которое не связано с представлениями о кристаллической структуре или с зон­ной теорией, то при m_e = m₀ и μ= 1см²*B^-1*c^-1 мы получим τ=1,6*10^-16. Поскольку состояние электрона будет неопре­деленно в течение времени τ, то в соответствии с принципом Гейзенберга неопределенность его энергии можно выразить в виде δE= ћ/τ. Для нашего значения τ получаем, что δE ≈1 эВ. Неопределенность в энергии такой величины делает само понятие зонной структуры бессмысленным. Более того, теряет смысл и величина средней длины свободного пробега.