Министерство общего и профессионального образования

Астраханский Государственный Педагогический Университет

Бакалаврская работа

Студентки IV курса физико–математического факультета

Ночевной Светланы Павловны

Кафедра:

Математического анализа

Тема:

Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития

Научный руководитель

ст. преподаватель

Пономарёва Н.Г.

Астрахань

1998 г.

План.

1. Основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной.

   1. Определение производной и её геометрический смысл.

   2. Дифференциальные функции. Определение дифференциала.

   3. Инвариантность формы первого дифференциала.

   4. Дифференциал суммы, произведения и частного.

   5. Геометрическая интерпретация дифференциала.

2. Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной.

   1. Первообразная функция и неопределённый интеграл.

   2. Геометрический смысл неопределённого интеграла.

   3. Основные свойства неопределённого интеграла.

   4. Метод непосредственного интегрирования.

   5. Метод замены переменной (способ подстановки).

   6. Интегрирование по частям.

   7. Определённый интеграл как предел интегральной суммы.

   8. Основные свойства определённого интеграла.

   9. Геометрический смысл определённого интеграла.

   10. Теорема Ньютона–Лейбница.

   11. Формула Ньютона–Лейбница.

   12. Замены переменных в определённых интегралах.

   13. Интегрирование по частям.

3. Исторические сведения о возникновении и развитии основных понятий.

   1. Происхождение понятия определённого интеграла и инфинитезимальные методы Архимеда.

   2. От Архимеда к Кеплеру и Кавальери.

   3. Теорема Паскаля.

   4. «О глубокой геометрии» Лейбница.

   5. «Метод флюксий» Ньютона.

   6. Дифференциальные методы.

Цель работы: «Изучить основные понятия дифференциального и интегрального исчислений и ознакомиться с историей их развития».

1.Основные понятия дифференциального исчисления функций одной переменной.

1.1.Определение производной и её геометрический смысл.

Пусть функция y = f(х) определена в окрестности точки х_о. возьмём точку х₁ этой окрестности, отличную от х_о.

Определение. Разность х₁ – х₀, которую обозначают символом х, будем называть приращением независимой переменной.

Определение. Подобным образом соответствующая разность

у₁ – у₀ = f(х₁) – f(х₀), обозначается символом у и называется приращением зависимой переменной, или приращением функции.

Получаются следующие соотношения:

х₁ = х₀ + х,

у₁ = у₀ + у,

у₀ + у = f(х₀ + х)

Так как у₀ = f(х₀),

то у = f(х₀ + х) – f(х₀).

у f(х₀+х)– f(х₀)

х х

О пределение. Частное будем называть разностным отношением.

Выражение f(х₀+х)– f(х₀)

х

(принимая что х₀ имеет определённое постоянное значение) можно считать функцией приращения х.

Определение. Если предел этого выражения при х, стремящемся к нулю, существует, то его мы будем называть производной функции у = f(х) по х в точке х₀

И так, = = f’(х₀) = у’_х = у’=

Пример. у=х² . Вычислите производную для х=2.

Имеем: f(х+х) = (х+х)² ,

Поэтому у = (х+х)² – х² = 2хх+(х)²

Отсюда = 2х+х

Переходя к пределу получим: = 2х + = 2х.

Д ля того, чтобы отношение имело предел, необходимо, чтобы , то есть, чтобы функция рис.1

была непрерывной в точке х⁰.

Рассмотрим график функции у = f(х) (рис.1)

Легко заметить, что отношение равно тангенсу угла , образованного положительным направлением секущей, проходящей через точки А и В (соответствующие точкам х и х+х), с положительным направлением оси Ох, то есть, от А к В если теперь приращение х будет стремиться к нулю, точка В будет стремиться к А, то угол  будет стремиться к , образованному положительным направлением касательной с положительным направлением оси Ох, а tg  будет стремиться к tg .

П оэтому = tg  (положительным направлением касательной считаем то направление, в котором х возрастает).

Таким образом, можно утверждать следующее:

Производная в данной точке х равна тангенсу угла, образованного положительным направлением касательной в соответствующей точке (х,f(х)) нашей кривой с положительным направлением оси Ох.

1.2 Дифференциальные функции. Определение дифференциала.

Определение. Функция у = f(х) называется дифференцированной в точке х, если её приращение у в этой точке можно представить в виде

у = f’(х)х+(х)х,

где  (х) = 0

К ак видно из из определения, необходимым условием дифференцируемости является существование производной. Оказывается что это условие также и достаточно. В самом деле пусть существуют у’ = f’(х)

П оложим – f’(х), х  0

1. , х = 0

При таком определении  имеет для всех х

у = f’(х)х +(х)х .

О стаётся, следовательно, установить непрерывность (х) при х = 0, то есть, равенство  (х) = (0) = 0, но, очевидно,

 (х) = – f’(х) = f’(х) – f’(х) = 0,

что и требовалось.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной — понятия равносильные.

О пределение. Если функция у = f’(х) дифференцируема, то есть, если у = f’(х)х +  ^. х,  = 0,

то главную линейную часть f’(х)х, её приращения будем обозначать d_ху, d_хf(х) и называть дифференциалом переменной у по переменной х в точке х.

Написав для симметрии d_хх вместо х, получим следующую формулу:

d _ху = f’(х)d_хх,

откуда = f’(х).

Заметим ещё, что дифференциалы d_ху и d_хх являются функциями переменной х, причём функция d_хх принимает постоянное значение х.

1.3 Инвариантность формы первого дифференциала.

В случае, когда переменная у = f(х) была функцией независимой переменной х, мы имеем, по определению,

у = f’(х)х или d_хх = f’(х)d_хх (1)

Рассмотрим теперь случай, когда х является в свою очередь функцией другой переменной,

х = х(t).

Теорема. Если функции х = (t) и у = (t) дифференцируемы в соответствующих точках t = t­₁ и х = х₁ = (t₁), то дифференциал сложной функции у = f((t)) = (t) может быть представлен в виде

d_tу = f’(х₁) d_tх.

Доказательство: Согласно определению дифференциала имеем

d_tх = ’(t₁) d_tt (1¹)

d_tу = ’(t₁) d_tt (2)

Но на основании теоремы о производной сложной функции мы видим, что

’(t₁) = f’(х₁) ’(t₁)

Подставив это выражение в формулу (2), получим:

d_tу = f’(х₁) ’(t₁) d_tt,

отсюда в силу формулы (1¹)

d_tу = f’(х₁) d_tх (3)

Сравнив формулу (1) с формулой (3), мы заметим что их можно записать символически в виде

dу = f’(х) dх (4)

Формулу (1) или (3) мы получаем из формулы (4), написав вместо d, соответственно d_х или d_t.

Символы dх и dу не являются совершенными, однако во многих случаях, когда возможность ошибиться будет исключена, мы будем ими пользоваться вместо символов d_хх и d_ху или, соответственно, d_tх и d_tу.

Значение формулы (4) становится ясным, если обратить внимание на то, что при отыскании производной приходится пользоваться двумя формулами для определения производной у по х. А именно, когда переменная у зависит непосредственно от х, то

у’_х = f’(х);

когда же зависимость переменной у от х даётся при помощи некоторой (промежуточной) функции и, то

у’_х = f’(и)и’_х.

При отыскании же дифференциалов получим в обоих случаях одинаковые формулы:

d_ху = f’(х) d_хх, d_ху = f’(и) d_хи

или

dу = f’(х) dх, dу = f’(и) dи.

1.4 Дифференциал суммы, произведения и частного.

Из теорем о производных суммы, произведения и частного можно получить аналогичные формулы для дифференциалов суммы, произведения и частного. Пусть и и  — функции от х:

и = f(х),  = (х),

имеющие непрерывные частные производные.

Если положить у = и + ,

то у’_х = и’_х + ’_х,

откуда у’_х dх = и’_х dх + ’_хdх,

следовательно dу = dи + d,

то есть d(и + ) = dи + d.

Аналогично dси = сdи,

где с – постоянное число;

d(и) = иd + dи,

d ( ) = .

Замечание. На практике часто бывает выгоднее оперировать дифференциалами, а потом делением на дифференциал независимой переменной переходить к производной.

1.5 Геометрическая интерпретация дифференциала.

Д ифференциал можно геометрически представить следующим образом:

Из рис. 2 видно, что dу = f’(х)dх = tg  ^. dх = СД.

Таким образом, если у – приращение ординаты кривой, то dу – приращение ординаты касательной.

Д ифференциал dу, вообще говоря, отличается от у, но их разность очень мала по сравнению dх для очень малых dх, так как

=  (х) = 0

На практике, когда речь идёт только о приближённых значениях, можно для малых приращений dх считать

у = dу = f’(х)dх.

2.Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной.

2.1.Первообразная функция и неопределённый интеграл.

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f’(х) или дифференциала f’(х)dх данной функции f(х).

В интегральном исчислении решается обратная задача:

Дана функция f(х); требуется найти такую функцию F(х), производная которой f(х)dх в области определения функции f(х), то есть, в этой области функции f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.

Определение. Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции f(х), если для любого х из области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх.