240-1630 (Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития (Бакалавр)), страница 2

Примеры. 1) Пусть f(х) = cos х.

Решение: Тогда F(х) = sin х, так как F’(х) = cos х = f(х) или dF(х) = cos х dх = f(х)dх

2) Пусть f(х) = х².

Решение: Тогда F(х) = , так как F’(х) = х² = f(х) или dF(х) = х²dх = f(х)dх.

Известно, что если две функции f(х) и (х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если f(х) = (х) + С, то f’(х) = ’(х) или f’(х)dх = ’(х)dх.

Известно также, что и наоборот, если две функции f(х) и (х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если

f’(х) = ’(х) или dхf(х) = d(х), то

f(х) = (х) + С.

Замечание. Действительно, если производная f’(х) обращается в нуль для любых значений х в (а,в), то в этом интервале f(х) = С.

В самом деле, если х₁ (а,в) и х₂  (а,в), то в силу теоремы Лагранжа, имеем f(х₂) – f(х₁) = (х₂–х₁) f’(х₀), где х₁ х₀ х₂ . Но, так как f’(х₀) = 0, то f(х₂) – f(х₁) = 0.

Отсюда непосредственно следует что, если в формуле у = F(х) + С мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f(х).

О пределение. Множество F(х) +С всех первообразных функций для функции f(х), где С принимают все возможные числовые значения, называется неопределённым интегралом от функции f(х) и обозначается символом

f(х)dх

Т аким образом, по определению,

f(х)dх = F(х) + С, (А)

г де F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх и С – произвольная постоянная. В формуле (А) f(х) называется подынтегральной функцией, f(х)dх – подынтегральным выражением, а символ – знаком неопределённого интеграла.

Неопределённым интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.

Определение. Нахождение первообразной по данной функции f(х) называется интегрированием

2.2.Геометрический смысл неопределённого интеграла.

Пусть задан неопределённый интеграл F(х) + С для функции f(х) в некотором интервале. При фиксированном значении С = С₁ получим конкретную функцию у₁ = F(х) + С₁, для которой можно построить график; его называют интегральной кривой. Изменив значение С и положив С = С₂, получим другую первообразную функцию С соответствующей новой интегральной кривой.

А
налогично можно построить график любой первообразной функции. Следовательно, выражение у = F(х) + С можно рассматривать как уравнение семейства интегральных кривых неопределённого интеграла F(х) + С. Величина С является параметром этого семейства – каждому конкретному значению С соответствует единственная интегральная кривая в семействе. Интегральную кривую, соответствующую значению параметра С₂, можно получить из интегральной кривой, соответствующей значению параметра С₁, параллельным сдвигом в направлении оси Оу на величину /С₂ – С₁/. На рис. 3 изображён неопределённый интеграл х² + С от функции f(х) = 2х, то есть, семейства парабол.

2.3.Основные свойства неопределённого интеграла.

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, то есть,

[ f(х)dх ]’ = f(х) .

Д оказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

f(х)dх = F(х) + С, (V)

где F’(х) = f(х)

Д ифференцируя обучение части равенства (V), имеем

[ f(х)dх ]’ = [F(х) + С ]’,

о ткуда

[ f(х)dх ]’ = F’(х) + С¹ = F’(х) = f(х) .

1. Д ифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

d f(х)dх = f(х)dх

Д оказательство. Согласно определению неопределённого интеграла,

f(х)dх = F(х) + С

d f(х)dх = d(F(х) + С) = dF(х) = dС = F’(х)dх = f(х)dх

1. Н еопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции F(х) равен самой функции с точностью до произвольной постоянной С, то есть

dF(х) = F(х) + С, (v)

Д оказательство. Продифференцировав оба равенства (v), будем иметь

d dF(х) = dF(х) (по свойству 2)

d(F(х) + С) = dF(х)

с ледовательно, функции dF(х) и dF(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть

dF(х) = F(х) + С

1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла, то есть

а f(х)dх = а f(х)dх (а 0)

Д оказательство. Продифференцируем обучение части равенства. Тогда получим

d а f(х)dх = а f(х)dх (по свойству 2)

и d [ a f(х)dx ] = ad f(х)dх =а f(х)dх

(в силу свойства дифференциала)

Т аким образом, дифференциалы функций

а f(х)dх и а f(х)dх равны, а потому эти функции отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, а f(х)dх = = а f(х)dх * dх + С. Но постоянную С можно считать включённой в состав неопределённого интеграла, следовательно,

а f(х)dх = а f(х)dх.

1. И нтеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, например:

[f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = f₁(х)dх + f₃(х)dх – f₃(х)dх (v)

Доказательство: Продифференцируем обе части равенства.

Д ифференцирование любой части равенства даёт:

d [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх = [f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх

В результате дифференцирования правой части равенства (v), получается дифференциал алгебраической суммы нескольких функций, который как известно равен алгебраической сумме дифференциалов слагаемых функций. Следовательно,

d[ f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх] =

= d f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх

Применяя свойство 1, в правой части последнего равенства получаем

f₁(х)dх + f₂(х)dх – f₃(х)dх = [ f₁(х) + f₂(х) – f₃(х)]dх

Итак, после дифференцирования обеих частей равенства (v) получены тождественные результаты, следовательно, справедлива формула (v) (см. доказательство свойства 3).

2.4. Метод непосредственного интегрирования.

Определение. Непосредственным интегрированием называется интегрирование заключающееся в прямом применении формул таблицы основных интегралов. Чтобы найти неопределённый интеграл от какой–нибудь функции f(х), нужно прежде всего отыскать в таблице интегралов формулу в левой части которой стоит интеграл такого же вида, как данный, и записать ответ в соответствии с правой частью этой формулы.

П римеры.

1. х ⁷dх

Р ешение. х⁷dх = + С

1. 2 ³ х² dх

Р ешение. Имеем 2 ³ х² dх = 2х^2/3dх

П рименяя формулы, получаем 2х^2/3dх = 2 х^2/3dх = 2 + С.

Т аким образом, 2х^2/3dх = х ³ х² + С.

3)

Р ешение. Согласно известному свойству дифференциала, 3dх = d(3х), а потому

=

Применяя формулу, получаем tg3х + С

В тех случаях, когда под знаком интеграла стоит алгебраическая сумма обычно разлагают данный интеграл на сумму нескольких интегралов, из которых каждый можно найти по соответствующей формуле.

1. ( 2х³ + 9х² – 5 х + 4/ х )dх

Р ешение. (2х³ + 9х² – 5 х + 4/ х )dх =

= 2 х³dх + 9 х²dх – 5 х^1/2 + 4 dх/ х =

= 2 + 9 – 5 + 4 * 2 х + С =

= х⁴ / 2 + 3х³ – 10/3 х х + 8 х + С.

2.5. Метод замены переменной (способ подстановки).

Н аиболее общим приёмом интегрирования функций является способ подстановки, который применяется тогда, когда искомый интеграл f(х)dх не является табличным, но путём но путём ряда элементарных преобразований он может быть сведён к табличному.

М етод подстановки основан на применении следующей формулы:

f(х)dх = f[(t)]’(t)dt, (1)

где х = (t) – дифференцируемая функция от t, производная которой ’(t) сохраняет знак для рассматриваемых значений переменных.

Сущность применения этой формулы состоит в том, что в данном интеграле f(х)dх переменная х заменяется переменной t по формуле х = (t) и, следовательно, dх произведением ’(t)dt.

С праведливость формулы (1) будет доказана если после дифференцирования обеих её частей получатся одинаковые выражения. Продифференцировав левую часть формулы, имеем

d [ f(х)dх ] = f(х)dх = f [(t)] ’(t)dt

Продифференцировав правую часть формулы, имеем

d f [(t)] ’(t)dt = f [ (t) ] ’(t)dt

Таким образом, формула (1) справедлива. Часто употребляется обратная замена переменной, то есть, подстановка t = (t), dt = ’(t)dх.

П римеры.

1. (2х + 3)⁴dх.

Данный интеграл можно свести к табличному интегралу (V). Подстановка выбирается из простого соображения: в подынтегральном выражении табличного интеграла (V) в основании степени и под знаком дифференциала стоит одно и тоже выражение и.

С ледовательно, в данном случае нужно применить подстановку и = 2х + 3, отсюда имеем dи = 2dх и dх = dи/2, а потому

(2х + 3)⁴dх = и⁴(dи/2) = 1/2 и⁴dи =

= 1/2 * и⁵/5 + С = + С.

2.6 Интегрирование по частям.

Допустим, что u, v – функции переменной х, непрерывные и имеющие производные в интервале (а,в). имеем тогда