⠭3 (Математический анализ)

§ 3. Производная и ее применение

Производная характеризует скорость изменения функции при изменении ее аргумента. Она является основным инструментом исследования функций в математическом анализе, в частности, используется для отыскания точек экстремума: в этих точках производная либо равна нулю, либо не существует. Через производную определяется понятие эластичности функции, применяемое в экономических приложениях.

1. Определение производной и правила дифференцирования

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Пусть – приращение аргумента в точке , а – соответствующее приращение функции. Составим отношение этих приращений и рассмотрим его предел при . Если указанный предел существует, то он называется производной функции в точке и обозначается , или , то есть

.

Операция вычисления производной называется дифференцированием, а функция, имеющая производную в точке, – дифференцируемой в этой точке. Если функция имеет производную в каждой точке интервала , то она называется дифференцируемой на этом интервале.

Примеры. Найдем производные функций в произвольной точке :

а) ,

;

б) ,

Заметим, что на практике при вычислении производных редко прибегают к определению. Вместо этого используют таблицу, содержащую выражения для производных всех основных элементарных функций, а также правила дифференцирования, позволяющие находить производную суммы, разности, произведения, частного и композиции функций.

Приведем таблицу производных некоторых основных элементарных функций и правила дифференцирования.

Таблица производных

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ,

где , и - произвольные постоянные, , .

Примеры. Получим некоторые следствия формулы 2:

а) ,

б) ;

в) .

Правила дифференцирования

1. ;

2. , где - постоянная;

3. ;

4. ;

1. если , а , то производная сложной функции находится по формуле

,

где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.

Примеры. Найдем производные функций, используя правила 1-4:

а) ;

б) ;

в) ;

Примеры. Найдем производные сложных функций по правилу 5:

а) ; положим , тогда , и, следовательно,

;

б) ; положим , тогда , и

.

Заметим, что производная , называемая также первой производной функции , сама является функцией аргумента . Производная этой функции называется второй производной функции и обозначается , то есть . Аналогично можно ввести третью и более высокие производные.

Примеры. Найдем вторые производные:

а) ;

б) .

2. Геометрический и физический смысл производной

а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции , дифференцируемой в точке (рис. 13). Проведем через точки и графика прямую , и пусть - угол ее наклона к оси . Тогда

. (1)

Рис. 13.

Если стремится к нулю, то также стремится к нулю, и точка приближается к точке , а прямая - к касательной , образующей с осью угол . При этом равенство (1) принимает вид:

, (2)

откуда следует, что производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Пример. Найдем угол наклона касательной к графику функции в точке . Поскольку , то в силу формулы (2) получаем . Следовательно угол , то есть касательная параллельна оси .

б) Физический смысл производной. Если - время движения, а - путь, пройденный за это время, то отношение есть средняя скорость движения на отрезке , а - мгновенная скорость в момент времени .

3. Исследование функций с помощью производной

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если для любых из следует ( ).

Интервалы возрастания или убывания могут быть найдены на основании следующего утверждения.

Теорема 1. Если для всех , то функция возрастает на интервале ; если для всех , то функция убывает на интервале .

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если для всех из некоторой окрестности точки , , выполнено неравенство ( ). Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Для отыскания точек экстремума используются следующие теоремы.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция имеет экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, то .

Из этой теоремы вытекает, что в точках экстремума функции производная либо равна нулю, либо не существует. Такие точки называются критическими. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Теорема 3 (достаточное условие экстремума). Пусть - критическая точка функции . Если при переходе через точку производная меняет знак с "+" на "–", то в точке функция имеет максимум, а если с "–" на "+", то – минимум. Если производная не меняет знак при переходе через точку , то в этой точке экстремума нет.

Проводимый на основе сформулированных теорем анализ поведения функций используют при построении их графиков.

Примеры. а) Найдем интервалы возрастания и убывания функции

,

и ее экстремумы.

Производная рассматриваемой функции существует при любом и равна . Приравняв производную нулю и решив полученное квадратное уравнение, найдем две критические точки: и . Ось разбивается этими точками на три интервала: , и , причем на каждом из них сохраняет знак. Определим эти знаки, например, вычислив в произвольных точках указанных интервалов, получим:

на и , и на .

Отсюда в силу теорем 1-3 заключаем, что функция возрастает на интервалах и , убывает на интервале , в точке достигает максимального значения , а в точке - минимального значения .

б) Пусть . Тогда , и единственной критической точкой является . Так как знак производной не меняется при переходе через эту точку, то она не является точкой экстремума. График этой функции приведен в § 1 на рис. 7.

в) Пусть , . Тогда при всех . Это означает, что данная функция возрастает на интервалах ( ) и ( ).

г) Точка является критической точкой функции - производная функции в этой точке не существует. Функция достигает в этой точке минимума, что иллюстрирует ее график (рис. 5).

4. Эластичность функции

Пусть аргумент функции получает приращение . Тогда значение функции изменяется на величину . Отношение характеризует среднее изменение функции, приходящееся на единицу изменения ее аргумента, а предел этого отношения при равен производной .

Рассмотрим относительные изменения переменных и , выраженные, например, в процентах: и . Их отношение

показывает, на сколько процентов в среднем меняется при изменении на . Предел этого отношения при называется эластичностью функции и обозначается , то есть

.

Так как

,

то справедлива формула

.

Примеры. а) Пусть , тогда и, следовательно, . При получаем , то есть при увеличении от 2 до 2,02 (на 1%) значение изменяется примерно на .

б) Пусть , тогда и, следовательно, . При получим . Следовательно, увеличение от 3 до 3,03 ведет к уменьшению примерно на .

в) Пусть , тогда и, следовательно, . В этом случае эластичность постоянна и равна , то есть при любом значении аргумента его увеличение на 1% ведет к уменьшению значения функции также на .

Функция называется эластичной в точке , если , нейтральной, если , и неэластичной, если .

Пример. Дана зависимость спроса от цены :

.

Найдем эластичность спроса , и рассмотрим ее значения при некоторых . Так как , то . При имеем , откуда , то есть спрос неэластичен. Если , то , , – спрос нейтрален. При получим , то есть и, значит, спрос эластичен.

Эластичность спроса означает, что его относительное изменение по абсолютной величине превосходит относительное изменение цены; неэластичность означает меньшее относительное изменение спроса по сравнению с ценой; нейтральность – равенство этих изменений по абсолютной величине.

Пример. Пусть зависимость спроса от цены представлена функцией . Величина

равна выручке, получаемой от продажи товара в объеме, равном спросу на товар. Выясним, как изменяется спрос с увеличением цены. Для этого найдем производную :

,

откуда

.

Будем предполагать, что , поскольку, как правило, спрос уменьшается с ростом цены. В этом случае и, следовательно, имеем

.

Отсюда видно, что если спрос эластичен ( ), то , и с повышением цены выручка от продажи товара снижается; если спрос нейтрален ( ), то , и выручка мало зависит от изменения цены; если спрос неэластичен ( ), то , и выручка увеличивается с ростом цены.

Упражнения