6 (Вычислительные методы алгебры (лекции))

§6. Обратная задача теории погрешностей.

Все задачи теории погрешностей делятся на прямые и обратные.

Прямая задача: определить погрешность данной функции от приближенных значений аргументов, заданных с известной относительной погрешностью или с заданной точностью.

Обратная задача: какими должны быть относительная и абсолютная погрешности, чтобы модуль относительной или абсолютной погрешности заданной функции не превышал заданной величины.

Решение обратной задачи.

Пусть определена и непрерывно-дифференцируема в области и точка .

С какой точностью следует взять приближенные значения для аргументов , чтобы погрешность значения функции не превышала по модулю .

– известно, найти .

Существуют различные подходы к решению таких задач.

1. Принцип равных влияний

заключается в предположении, что погрешности всех аргументов вносят одинаковые доли в погрешности функции, то есть частные дифференциалы равны между собой по модулю:

1. Предполагают, что погрешности всех аргументов равны , тогда

.

Пример. С какой точностью следует взять дроби, чтобы сумма S могла быть получена с точностью до 0,001?

Решение.

Обозначим

1-й принцип

.

Сколько знаков после запятой нужно брать в дробях, чтобы получилась эта погрешность. Дроби необходимо представить в десятичном виде та, чтобы модуль не превосходил 0,00025, т.е. четырьмя десятичными знаками после запятой.