rom-0118 (Получение уравнения переходного процесса по передаточной функции)

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЯ 5.

ПОЛУЧЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ.

ЦЕЛЬ. Научиться определять уравнение переходного процесса по изображению регулируемого параметра по Лапласу.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

Построение переходного процесса является завершающим этапом исследования автоматической системы. По полученному графику переходного процесса при единичном воздействии можно наглядно определить основные показатели качества регулирования - время регулирования, перерегулирование, установившуюся ошибку.

Пусть нам известны:

W_y(p) - передаточная функция системы по управлению;

W_f(p) - передаточная функция системы по возмущению;

U(p) - управляющий сигнал;

f(p) - возмущающий сигнал.

Тогда изображение по Лапласу регулируемого параметра будет:

x(p)=W_y(p)*U(p) + W_f(p)*f(p).

Вначале рассмотрим случай, когда на систему действует управляющий сигнал U(p), а возмущающее воздействие f(p)=0:

x(p)=W_y(p)*U(p)= .

Таким образом для получения изображения по Лапласу регулируемой координаты необходимо передаточную функцию (ПФ) умножить на изображение по Лапласу входного воздействия.

Согласно таблице 1 задания 4 для входного воздействия в виде одиночного импульса U(t)=1’(t) изображение U(p)=1, для входного воздействия в виде единичного скачка U(t)=1(t) изображение U(p)=.

Рассмотрим несколько примеров получения уравнения переходного процесса по известной передаточной функции.

ПРИМЕР 1. Входное воздействие - единичный импульс U(t)=1’(t).

Передаточная функция:

W(p)= .

Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра x(p), учитывая, что U(p)=1.

x(p)=W(p)*U(p)= .

1. Определяем корни характеристического уравнения.

p=

1. Преобразуем выражение x(p) согласно формуле №8 табл.1 (задания 4).

x(p)= .

1. Определяем уравнение весовой функции по формуле №8.

x(t)=4*e^-2t*sin(6t).

ПРИМЕР 2. Дана следующая ПФ:

x(p)=

Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра.

x(p)=

1. Корни характеристического уравнения.

p_1,2= -2j3.

1. Преобразуем выражение x(p) согласно формулам №8 и №9.

x(p)=

1. Определяем уравнение весовой функции по формулам №8 и №9.

x(p)=3*e^-2t*sin(3t) + e^-2t*cos(3t).

ПРИМЕР 3. Определить уравнение переходной функции по сле-

дующей ПФ:

W(p)= .

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что U(p)=.

x(p)= *.

1. Корни характеристического уравнения.

p₁=0, p₂= -0.2.

1. Преобразуем изображение x(p) согласно формуле №20.

x(p)= .

1. Определяем уравнение весовой функции по формуле №20.

x(p)=30*(1- e^-0.2t).

Таким образом для построения любого переходного процесса (весовой или переходной функций) необходимо прежде всего определить корни изображенного по Лапласу регулируемого параметра. Это сделать сложно, если знаменатель является полиномом выше третьего порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ МЕТОДОМ ПРИБЛИЖЕНИЯ.

Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

ПРИМЕР 4. Определить корни в следующем характеристическом уравнении:

L(p)=p⁴+7.04p³+6.842p²+3.7104p+0.5904=0

РЕШЕНИЕ.

В первом приближении один из корней можно определить по двум последним членам этого уравнения.

3.7104p+0.5904=0 p₁= -= -0.1591.

Если бы этот корень был бы вычислен точно, то данное уравнение разделилось бы на (p+0.1591) без остатка. В действительности получаем:

­_p⁴+7.04p³+6.842p²+3.7104p+0.5904 | p+0.1591_________.

p⁴+0.1591p³ p³+6.8809p²+5.748p

_6.8809p³+6.842p²

6.8809p³+1.094p²

_5.748p²+3.7104p

5.748p²+0.9145p

2.7959p+0.5904

По полученному остатку 2.7959p+0.5904 определяем корень во втором приближении.

p₂=

Снова делим уравнение на p+0.211 и получаем остаток 2.570p+0.5904. Тогда корень в третьем приближении p₃= -0.2297. Уравнение снова делим на p+0.2297 и т.д. Наконец, корень в девятом приближении p₉= -0.24, а частное от деления

p³+6.8p²+5.21p+2.46=0.

По двум последним членам этого уравнения снова определяем корни в первом приближении

5.21p+2.46=0 p₁= -0.472.

После деления уравнения на p+0.472 остаток 2.223p+2.46 и корень во втором приближении равен p₂= -1.1066. Корень в третьем приближении p₃=+2.256. Процесс расходится. Корень не может быть положителен в устойчивой САУ.

Тогда по трем (а не по двум) последним членам этого уравнения определяем сразу два комплексных корня характеристического уравнения.

Остаток в первом приближении 6.033p²+4.848p+8.46.

Остаток во втором приближении 5.996p²+4.802p+2.46.

Остаток в третьем приближении 6.00p²+4.80p+3.46, который незначительно отличается от остатка во втором приближении и по нему определяем значение комплексных корней.

p_2,3= -0.4j0.5.

Частное от деления на остаток в третьем приближении

0.210p+2.46=0, тогда p₄= -6.0.

Примечание. Корни кубического уравнения p³+6.8p²+5.21p+2.46 можно определить методом Карно. Для этого представим его в виде

p³+ap²+bp+c=0

и путем подстановки p= приводим к неполному виду.

y³+n*y+m=0,

где n=

m=

Корни y₁,y₂,y₃ неполного кубического уравнения равны:

y₁=A+B y_2,3=

A= B= Q= .

Определим численные значения корней неполного кубического уравнения.

Q=

A=

B=

y₁=A+B=-1.579+(-2.155)=-3.734

=1.867j0.49968.

Определяем корни данного характеристического уравнения третьего порядка.

p₁=y₁- = -3.734- = -6.0 p_3,4=1.867j0.4996- = -0.4j0.5.

Результаты вычисления корней уравнения третьей степени методом приближения и методом Карно - совпали.

Проведем проверку правильности определения корней уравнения по теореме Виета.

-b= -6.8=p₁+p₂+p₃= -6.0-0.4+j0.5-0.4-j0.5= -6.8

-c= -2.46= -6.0*(0.4²+0.5²)= -2.46

РАЗЛОЖЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ РЕГУЛИРУЕМОГО

ПАРАМЕТРАНА СУММУ ПРОСТЫХ ДРОБЕЙ.

Определение уравнения переходного процесса x(t) по изображению регулируемого параметра в случае, когда знаменатель имеет n корней можно выполнить путем разложения изображения на простые дроби, по которым затем получить прямое преобразование Лапласа, согласно табл.1 задания 4.

x(p)=

где c_i - коэффициент разложения;

p_i - корень уравнения.

Коэффициент разложения c_i в зависимости от вида корней уравнения определяется следующим образом.

1 СЛУЧАЙ. Все корни действительные и разные.

c _i=

где A(p)= p=p_i.

Тогда уравнение переходного процесса

x(t)= .

2 СЛУЧАЙ. Среди n действительных корней есть корень p=0.

c_i=

Тогда уравнение переходного процесса

x(t)= +  .

3 СЛУЧАЙ. Среди n действительных корней есть m пар комплексно-сопряженных.

Для каждой пары комплексно-сопряженных корней p_1,2= -j определяется два значения коэффициентов c:

с₁= с₂= ,

которые являются тоже комплексно-сопряженными выражениями c_1,2=j.

В этом случае определяется модуль |c| и угол .

|c|= =arctg

По табл.1 (задание 4) каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует переходный процесс

x(p)=2*|c|*e^-t*cos(t+).

В общем случае при наличии в характеристическом уравнении одного нулевого корня, k - действительных корней и m - комплексно-сопряженных переходный процесс описывается уравнением:

x(t)=

Примечание. 4-й случай, когда в уравнении есть кратные вещественные корни в данном задании не рассматриваются.

Рассмотрим несколько примеров такого способа получения уравнений переходного процесса.

ПРИМЕР 5. Единичный импульс подан на систему с передаточной функцией

W(p)=

Определить уравнение весовой функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра, учитывая, что U(t)=1’(t), тогда U(p)=1.

x(p)=

1. Определяем корни характеристического уравнения.

p₁= -1 p₂= -2 p₃= -4.

1. Разложим полученное изображение x(p) на простые дроби.

x(p)=

1. Коэффициенты заложения c_i будем определять согласно 1-му случаю (все корни вещественные и разные).

c₁(-1)=

c₂(-2)=

c₃(-4)=

Примечание. При нулевых начальных условиях алгебраическая сумма полученных коэффициентов разложения должна быть равна нулю.

c₁+c₂+c₃= -0.1666 + 1- 0.8334=0

1. Изображение регулируемого параметра.

x(p)=

1. Уравнение весовой функции согласно формуле 5 табл.1 (задание 4).

x(t)= -0.1666*e^-t+1*e^-2t -0.8334*e^-4t.

ПРИМЕР 6. На систему с передаточной функцией примера 5 подано единичное ступенчатое воздействие. Определить уравнение переходной функции.

РЕШЕНИЕ.

1. Определяем изображение по Лапласу регулируемого параметра.

x(p)=

1. Определяем корни характеристического уравнения.

p₁=0 p₂= -1 p₃= -2 p₄= -4

1. Разложим полученное выражение x(p) на простые дроби.

x(p)=

1. Коэффициенты разложения c_i будем определять согласно 2-му случаю (среди вещественных корней есть один нулевой корень).

c₁(-1)=