Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу ВШ (1999)), страница 4

Определение 3. Бесконечное множество называется несчетным, если оно не эквивалентно И. По теореме 1 несчетным множеством, например, является множество подмножеств И, а значит, множество последовательностей, составленных из О и 1 (Ь-й член последовательности равен 1 или О, в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит число й подмножеству) . Прием, с помощью которого мы доказали теорему 1, называется кангаорое диагональный процесс.

Впервые он был применен Г. Кантором в 1874 г. при доказательстве несчетности точек на отрезке. Этот процесс называется диагональным, потому что если в теореме 1 в качестве Х взять натуральный ряд И, то получится, что множество подмножеств, т.е. совокупность последовательностей, составленных из нулей и единиц, не эквивалентно Х. Доказательству теоремы 1 в этом случае можно придать такой вид. Предположим, что И Я = П(И). Тогда имеем взаимно однозначное соответствие 1 +э Н, =(Ь„,Ь„,Ь„,...), 2 ++ Нг — — (Ьгь Ьгю Ьгз, ° ) и т.д.

(здесь символами Нп Нг,... обозначены некоторые различные последовательности из нулей и единиц). Возьмем последовательность, составленную из "диагональных' элементов: (Ьы, Ьгг, Ьзз,,), и поменяем все разряды на противоположные, т.е. единицы заменим на нули, а нули — на единицы. Получим Н = (Ьы, Ьгюьзз, . ). Этот элемент не совпадает ни с одним из Н, т.е.

он не занумерован. Имеет место противоречие. Определение 4. Мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательностей, составленных нз нулей н единиц, называется мощностью континуума, 'Утверждение 4. Множество Г точек отрезка [О, 1) имеет могдность континуума. Д о к а з а гп е л ь с т е о. В двоичной записи каждая точка единичного отрезка [0,1) может быть записана в виде О,Ь1ЬзЛз,..., Ьь = [,, А=1,2,3,... Такая запись единственна, за исключением чисел вида п/2", Ь, я Е И. А числам такого вида соответствуют в точности две записи (у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны О, а у другой— все единицы).

Для всех точек, за исключением точек вида и/2~, установим соответствие так: я= [ямкг,,..) Ф+О,кмкю А так как множество точек вида и/2" счетно, то счетным множеством является также множество 'последовательностей, им соответствуюших. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [0,1) и множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц, т.е. множество точек отрезка имеет мопгность континуума.

Лекция 3 з 3. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА В этом семестре и далее мы преимущественно будем иметь дело с числовыми функциями, областью определения и множеством значений которых являются числовая ось, отрезки, интервалы, промежутки на этой оси или какие-нибудь другие ее подмножества.

При этом потребуется более глубокое представление о вещественных числах, чем то, с которым имеет дело школьная программа по математике. Подчеркнем, однако, что мы будем целиком на нее опиратьск и уточним только то, что действительно требует большей ясности. В отношении рациональных чисел мы ничего уточнять не будем. Рациональные числа — это обыкновенные дроби. Вещественные числа, которые рациональными не являются, как известно, называются иррациональными. Следует отметить, что вещественные числа — как рациональные, так и иррациональные — в природе не существуют.

Они — абстракция и придуманы для практяческих нужд, о чем говорит здравый смысл. Можно сказать, что они породили саму математику, а в дальнейшем она предъявила к числам свои требования. И оказалось, в частности, что одни только рациональные числа этим требованиям не отвечают. Самое простое и естественное назначение чисел в математике— измерение длин отрезков. Это означает, что длина каждого отрезка должна измеряться вещественным числом. С другой стороны, заметим, например, что диагональ единичного квадрата на координатной плоскости не может измеряться рациональным числом а.

Действительно, если это число рациональное, то о = '— „", (т, и) = 1, и по теореме Пифагора имеем т ог — — 2 пг Следовательно, тг = 2пг. Рассмотрим возможные случаи: 1) т нечетно; 2) т четно. 1. Если т нечетио, то т = 21г+ 1, тз = 41гз+ 41+ 1 нечетно и потому равенство т~ = 2п невозможно. 2. Если тп четно, то т = 2/г, тг = 4йз и 2/сг = пз. Но тогда, рассуждая аналогично, получим, что и тоже четно. А это значит, что оба числа т и и делятся на 2, откуда (т,п) > 2, что противоречит условию.

Значит, а — не рациональное число, что и требовалось доказать. Задача язмерения длины отрезка (относительно заранее заданного "эталонного" единичного отрезка) решается полностью с помощью бесконечных десятичных дробей. Их-то мы и будем называть вещественными (действительными) числами.

Итак, вещественное число — зп1о бесконечная двсязпичная дробь, взяшая со знаком "плес" или "момус". Замечания. 1. Знак "плюс" в записи можно опустить. 2. Десятично-рациональные числа, т.е. числа вида 5/1О" имеют при этом два представления, которые нами отождествляются, и мы можем считать, что нет десятичных дробей, имеющих цифру 9 на всех местах, начиная с некоторого.

3. Мы отождествлнем вешественные числа и точки вешественной числовой оси, служашей изображением множества вещественных чисел. 4. Множество всех вешественных чисел обозначается буквой %. Основные свойства вещественных чисел. 1с. 'та, Ь имеем: или а = Ь, Ь = а, иля а > Ь, Ь < а, нли а < Ь, Ь > а. 2с. Если а>Ь, Ь>с, то а>с. Если а=Ь, Ь=с, то а=с. Зс. Ча, Ь б м 3! число с б )к, такое, что а + 6 = с. 4с.

Ча, 6, с б % имеем (а + 6) + с = а + (6+ с). 5о, 'та, Ь б !й имеем а + Ь = Ь+ а. бо. 3! число 0 б Я такое, что а+ 0 = О+ а = а. 7о. 'та бй 3! ( — а) б м такое, что а+ ( — а) = О. 8 . Ча, 6 б !й 3! с б !й такое, что а6 = с. 9с. Уа, Ь,сб м имеем (аЬ)с = а(Ьс). 10о. Ча,Ь б !й имеем аЬ = Ьа. 11с. 3! число 1 ф 0 такое, что а 1 = 1 а = а. 12о. Уа ф 0 3! а ' такое, что аа ' = 1.

13о, (а + Ь)с = ас+ Ьс. 14~. Если а > 6, то а+ с > 6+ с. 15о. Если а > 6, с > О, то ас > 6с. Указанные свойства вещественных чисел призваны отражать количественные характеристики простейших математических объектов, таких, например. как длины отрезков, площади прямоугольников и объемы прямоугольных параллелепипедов, а также изменения этих величин при различных преобразованиях. Запись числа в ваде бесконечной дроби, которую мы отождествили с самим числом, можно было бы рассматривать как одно нз подобных свойств.

С другой стороны, свойствам 1о — 15о обязаны отвечать рекуррентные процедуры определении последовательности десятичных го знаков для результатов арифметических операций над двумя вещественными числами, заданными бесконечными десятичными дробями. Эти процедуры могут быть заданы на основе правила сравнения величин бесконечных десятичных дробей, которое будет рассмотрено далее при доказательстве полноты множества вещественных чисел. Априорность свойств вещественных чисел, т.е. тот факт, что они рассматриваются в качестве исходных для построения дальнейшей теории, наводят на мысль считать их аксиомами, которые определяют (вместе с двумя другими свойствами) само множество вещественных чисел.

Однако подобный подход нас не вполне устраивает, поскольку понятие натурального числа неявно присутствует в законах логики, на которые мы опираемся в своих рассуждениях ([19), с. 372-378). Подчеркнем однако исключительную плодотворность аксиоматнческого метода для обоснования исходных принципов в других областях математики. Прекрасным примером этого является идущая от Евклида аксиоматике элементарной геометрии. Есть еще несколько важных свойств вещественных чисел. К иям прежде всего относится аксиома Архимеда (287 — 212 гг. до н.э.), он сформулировал ее для отрезков; 16 е. Уа с (й, а > О Э и с г( такое, что ап > 1.

Д о к а з а гп е л ь г гп в о. Если а > 1, то можно взять и = 1 и доказывать больше нечего. Если же 0 < а < 1, то а=О,О...йьйь+1..., й1 — — '— - йа 1 — — О, йь фО, Тогда имеем 10" а = ам йь+1 . > йь > 1, т.е. свойство 16 имеет место при и = 10", что и требовалось доказать. Свойство 17е сформулируем и докажем позже. Рассмотрим теперь только неотрицательные числа. Договоримся, что для десятично-рациональных чисел рассматривается только за. лись, заканчивающаяся нулями.

Число, стоящее перед запятой в десятичной записи числа я, будет целым, и оно называется целой часгвью в или аищье от я. Пишется так: [я]. Число, стоящее после запятой, называется дробной частью х. Пишется так: (я). Очевидно, [я]+(я) = я. Имеем, что [х] есть наибольшее целое, не превосходящее х. Это свойство берется в качестве определеняя значения символа [а] при отрицательных *. Прнмеры: [1,5] = 1; [0,3]= 0; [ — 0,7) = — 1; [-3,6) = — 4. Далее, при я < 0 символу (х) дробной части числа я мы приписываем значение: (х) = я — [*).

Такам образом, при всех х значение символа (х) удовлетворяет условию 0 < (х) < 1. Определим модуль, или абсолютную величину, числа х: ж х, если х>0, ]х] = -х, если х <0 ([х] выражает расстояние от нуля до точки х на вещественной оси). Имеет место следующее неравенство (неравепсшво гареугольниха): ]а + 6] < ]а] + ]6[. Докажем зто неравенство. Имеем: 1) если аЬ > О, то ]а+ Ь[= ]а]+ ]Ь]; 2) если аЬ < О, то ]а+ Ь] < ]а] + ]Ь]. Множество М точек х, удовлетворяющих неравенствам: а < х < 6, называется интервалом (пишут: М = (а, 6)); а < х < 6 или а < х < Ь вЂ” полуинтервалом (М = (а,Ь] или М = [а,6)); а < х < 6 — отрезком или сегментом (М = [а, 6]); каждое из них называется промежутком.

Множество Ь точек х, определяемое соответствующим условием, называется: х < а яли х > а — открытый луч (обозначения: Ь = (-оо, а) или Ь = (а, +ос)); х < а или х > а — замкнутый луч (обозначения: Ь = ( — оо,а] или Ь = [а,+со)); а — вершина луча. Здесь символ +ос читается плюс бесконечность, а символ — со— минус бесконечность. Лекния 4 1 4. ПОЛНОТА МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Определение 1. Непустое множество А на вещественной оси !а называется ограниченным сверху, если существует число 6 Е К такое, что для всех а Е А выполнено неравенство а < 6. Другими словами, та Е А =х а < 6. Число 6 называется верхней гранью множества А.

У ограниченного сверху множества существует бесконечно много верхних граней, например 6+ 1, 6+ 2,5 и т,д, Аналогично определяем нижнюю грань И непустого множества А: уаЕА сь 0<а. Непустое множество А называется ограниченным, если существует Ь > О, такое, что для всех а Е А имеем (а( < Ь. Множество В всех верхних граней 6 непустого ограниченного сверху множества А является ограниченным снизу.