Архипов, Садовничий - Лекции по математическому анализу (Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков - Лекции по математическому анализу ВШ (1999)), страница 3

(( ) А„1 О в = ( )(А. п в). а а 7~АСВ =г АОВ=В, Ай 2~АСВ, ВСА ~ А=В. 4~.п С А ЧА. 6~.(ПА„) О В = Д(А,„ОВ). а С В = А 8о А О А' = Е, А11А' = О 16'.(ОА.) = ЙА'., а а С1 С Сг мы доказали. Второй случай разбирается точно так же, только А и В меняются местами. Поэтому всегда имеем С1 С Сг. Следующим после множества и тоже важнейшим понятием математики является понятие отображения, а также эквивалентное ему понятие функции.

Но сначала мы дадим определение декартова произведения множеств. Определение 9. Декартовым произведением С = А х В множеств А н В называют множество всех возможных пар (х, у), где первый элемент х квасной пары принадлежит А, а второй ее элемент у принадлежит В, Определение 10. Подмножество г декартова произведения двух множеств А х В называется отображением множества А в множество В, если выполнено следующее условие: Чх Е А з! пара (х, у) Е г". Пример. Пусть А = (1, 2, 3), В = (2, 3, 4, 5).

Тогда подмножество Р = ((1, 3), (2, 2), (3,3)) множества А х В является отображением, а подмножество Ф = ((2,2), (23), (ЗЗ), (34)) яе является отображением. Понятии "отображение" и "функция" — синонимы. Они несколько отличаются только буквенной символикой и сферами употребления. Мы будем гораздо чаще употреблять термин 'функция".

Тот факт, что Р' является отображением А в В, записывают так; Р: А -+ В или А -+ В. Определение 11. Пусть отображепяе Г: А -э В определяется следующим образом: чх Е А 3) у Е В, такое, что (х,у) Е Р'. Тогда элемент у Е В называется образом х при отображении Г и это записывается так: у = г"(х). Элемент х называется прообразом (одним из возможных) элемента у. Множество г (А) всех элементов г (х) чх Е А называется образом мноисества А при отображении г", т. е. Е(А) = (у Е В~у = Р(х), х Е А). Для множества С = Р(А) само множество А при отображении В называется (полным) прообразом множества С. гг Как уже говорилось, термины "отображение" и "функция" синонимы, но при употреблении слова 'функция" вся терминология обычно меняется.

Множество А называется областью определения, а множество В(А) С В вЂ” множеством (или областью) значений. Каждый элемент х б А называется значением аргумента (или просто аргументом), а элемент у = Р'(х) — значением функции в точке х. Для того чтобы конкретно задать какое-либо отображение, т. е.

функцию, надо, вообще говоря, определить способ (правило), как из всего декартова произведения А х В выбрать множество г с нужными свойствами. Указание этого способа, по супгеству, и задает функцию. Поэтому для функции очень часто дается следующее определение: Определение 12. Функпией Г называется правило, по которому каждому элементу х Е А ставится в гоответствяе строга один элемент у множества В. Пря этом пишут у = Р(х). Недостатком этого определения является то обстоятельство, что функцией оказывается правило, а не множество, как в предыдущем случае, что неестественно, так как из шкальнага курса математики известно, что функции можно складывать, умножать и выполнять с ними другие арифметические операции. Считается, чта употребление термина "отображение" больше свойственно геометрическому стилю изложения, а термина "функция"— анэлитическому стилю.

Некоторые типы отображений. Обратная функция. Взаимно однозначное соответствие 1. Отображение Е называется сюръективным, или отображением "на" (т.е. отображением А на В), накрытием, если г (А) = В. 2. Отображение г называется инъективным, или вложением, если у каждой точки у = Р(х) существует строго один прообраз, т.е. нз условия у = г (х~) = Р'(х~) следует, что х~ = хш 3. Отображение В называется биективным, или взаимно однозначным, если ано является накрытием и вложением одновременно. В этом случае отображению Р: А э В можно поставить в соответствие обратное отображение г ': В -+ А по правилу: вместо пар (х, у) в декартовом произведении А х В надо рассмотреть соответствую~дне пары (у,х) из В х А, поменяв х и у местами.

Очевидно, что Р' ' — это также отображение. Кроме того, В '(Р'(х)) = х 'тх б А и В(Р г(у)) = у ту Е В. Биективное отображение называется еше взаимно однозначным соответствием или бнективным соответствием. Лекция 2 1 2. ЗКВИВАЛЕНТНЫЕ МНОЖЕСТВА. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА. МОЩНОСТЬ КОНТИНУУМА Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую роль при перенесении представления о "количестве" элементов множества с конечных множеств на бесконечные. Зто необходимо, поскольку мы постоянно имеем дело с бесконечными множествами. Вот некоторые из них. И вЂ” множество всех чисел натурального ряда; Х вЂ” множество всех целых чисел (положительные, отрицательные целые числа и нуль); Й вЂ” множество вещественных чисел на примой; Й х Й вЂ” множество точек на координатной плоскости. О количестве точек множества можно говорить только для конечных множеств, а для бесконечных — нельзя, В этом случае говорят о мощности множества.

Таким образом, мощность множества это понятие, которое обобщает понятие "количество элементов" на случай бесконечных множеств. Если же множество конечно, то термины "мощность множества" и "количество элементов множества"— синонимы. Определение 1, Множества А я В называются эквивалентными яли равиомощиыми, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Зто обозначается так: А В. С в о й с т в а: 1) А А; 2) А В =~ В А; 3) А В, В С =~ А С. Другими словами, можно биективно отобразить одно множество на другое. Если А и В эквивалентны, то говорят еще, что они имеют одинаковую мощность. Приведем важный пример эквивалентности бесконечных множеств. Утверждение 1. Множество И (натуральных чисел) н множество О (рациональных чисел, т.е. всех дробей — „, гп б Е, и б И, (гп, и) = 1) эквивалентны.

Здесь символом (га,п) обозначен наибольший общий делитель чисел гп и п. Д о к а з а ш е л ь с га в о. Достаточно показать, как присвоить собственный номер каждому рациональному числу. Для этого представим каждое рациональное число в виде несократимой дроби: РбЕ, ЧбИ, (Р и)=1. и Такое представление единственно. Высотой рационального числа г = р/и назовем величину ~р)+ й = 6. Эта высота сама является натуральным числом, т.е. принимает значения 1,2,3, ... и т.д. При фиксированном 6 ) 1 существует не более 26 различных несократимых дробей, так как тогда знаменатель й может принимать значения 1,2,...,6 — 1 (число которых равно 6 — 1), а для данного д числитель р числа г может принимать не более двух значений: ж(6 — д) (точнее, либо два, если дробь р/д получается несократимой, либо ноль, если она — сократима, так как тогда она имеет другое значение т1 в представлении в виде несократимой дроби).

Таким образом, с данной высотой 6 число рациональных чисел не более 2(6 — 1) ( 26. Будем нумеровать дроби в порядке возрастания И; при фиксированном 6 в порядке возрастания 4, а при фиксированных И и 4 — в порядке возрастания р. Тогда получим (6 = 1), 1 (6=2), гэ (6 = 3), 3 , (6 = 4) Г11 = и т.д. Ясно, что каждое рациональное число когда-нибудь получит свой порядковый номер. При этом все номера 1,2,3,... будут использованы и разные рациональные числа получат разные номера.

Тем самым построено взаимна однозначное соответствие множеств 4)1 и И. Утверждение 1 доказано полностью. Определение 2. Всякое множество„эквивалентное (равиомошное) множеству натуральных чисел, называется счетным множеством. Таким будет, как мы показали, множество рациональных чисел. Утверждение 2. Всякое непустое подмножество счетного множества конечно или счетно. Д о и о з е та е л ь с та е о. Занумеруем элементы счетного множества и перенумеруем затем элементы подмножества в порядке возрастания этих номеров. Если мы исчерпаем все подмножество на конечном шаге, то оно конечно, иначе — счетно. О гт — — — — — О 1 — 1 гг — — — — — — 1, 1 — 2 г4 = — — — -2, 1 — 1 ге = 2 2' — 3 т'в = — = — 3, 1 — 1 1 Гтс = — = --, 3 3' 1 1 2 1 1 2 3 1 1 3 з'твержцение 3.

Сумма конечного иля счетного числа счетных множеств счетна. Д о к а з а гп е л ь с о1 е о. Проведем нумерацию элементов суммы множеств по следующей схеме: А1 .= (а11 а11,-+а1з, ), Аг '=(аш, аим азз, ...), Аз зе (аз1, азз азз, ... ), 1 г и и т.д. (при этом пропускаем уже встречавшиеся элементы). За 2гз шагов будут заведомо занумерованы все элементы а1,1, й + 1 ( г. Доказательство закончено.

Обратим внимание, что бесконечные множества, рассмотренные в утверждениях 1 — 3, оказались равномощными, точнее, счетными. Но не все бесконечные множества равномощны. Имеет место следующее утверждение. Т е о р е м а 1. Совокупность Я = й(Х) всех подмножеств любого множества Х сама образует множество, не эквивалентное Х. И 7С 1й) была доказана Эта теорема (точнее, ее модификация: Г. Кантором (1845 — 1918) в 1874 г. Д о к о з а гп е л ь с т е о будем вести от противного. Пусть и У вЂ” Х. Значит, имеется биективное соответствие Х вЂ” + Я. Тогда, если а Е Х, то ему однозначно соответствует А Е Я, т.е. г (а) = А, г" '(А) = а. Теперь всякую точку а Е Х назовем правильной, если она принадлежит своему образу, т.е., если а Е г'(а).

В противном случае эту точку а мы будем называть особой точкой. Назовем дефектом множество Р С Х, состоящее из всех особых точек а Е Х. Тогда ясно, что Р является элементом множества Я. В силу наличия взаимно однозначного соответствия г между Х и Я найдется такая точка о Е Х, что Г(с() = Р, При этом сама точка Ы обязана быть либо правильной, либо особой. Но первое не имеет места, поскольку тогда бы по определению правильной точки оиа принадлежала бы Р = г (Ы), что невозможно, так как ко множеству Р по построению отнесены только особые точки. Но второй случай приводит к протяворечию, так как тогда по определению особой точки Ы к г'(Ы) = .Р, а, с другой стороны, тогда точка о как особая точка должна войти в дефект Р по его построению. Таким образом, предположение о существовании биекции между Я и Х во всех случаях ведет к противоречию, т.е.

Е гс Х. Доказательство закончено. Следует отметить, что как результат, так и доказательство теоремы 1 справедливы и в том частном случае, когда Х есть пустое множество О. Тогда мощность множества Х равна О, а множество Я = П(Х) состоит ровно из одного элемента, т.е. самого Х и поэтому его мощность равна 1 = 2э. Заметим еще, что для конечного множества Х, состоящего из Ь элементов, мощность множества Я = П(Х) равна в точности 2".