chudesenko (Задачник Чудесенко), страница 3

Решим задачу Копы для двфферевцвельного уравнения х' — х=) ирв начальном услозви х (0) =1. Операционный метод рвпевиа такой задачи состоат е том, что аскомую ф)чвцвю в правую часть двфферевцаального ураэиевик считаем орвгиюшами и переходам от ураянвпся, сеязыэасшцего оригиналы, к уравнению, свюыэаккцему их изобрэыевиа. дла этого аоспользуемса формулой двффереицаровэвия оригинала Прамеваа свойство люиейаоств, порскаем а ураанеави (13) от орвпшелоа к вэобреэганаам: )р«(р)-1)-«(р) 1йс ри,пшэю п>ду мавио уве ве даффереацвальпое, а алгебимачесииое уреаиевнс откосательно аевзаеспюго аэобралиава Х (р): «(р) Мр-1) -1)р. Осталось по аэзествому юабрэмеааю Х(р) найти соотяетстауюплой еи9и срвппмл х (и). Используя свойство лввейноств преобразоэеши Лапласа в таолвчные операцюввые соотвошеавя (см.

и. 1.13), получаем «(ю) 2е — 1. Это и есть вскомое решевае задачи Коша. Авалогнчно решеюстсл свстемы лввейпых даффереацвальвых уравнивай. 1.16. Фоюаоуле Дюамели. Рассмотрим линейное даффереацаальнсе урампмве л-го перлина с поспяппппш козффвциениаэши Ь (к (ю)) аех Я+ли х (и)+...+а„х (ю) У(и) (14) пра нулевых нательных услоавях (л-1) х (О) к' (О) ...

х (О) О. (Щ (Заменой искомой фувкиав задачу с иевулееыми начальпыма услояиямв молзю пмсти к задаче с аулоеымв услоевямв.) Допусппи, что известно решение ураааенаа ю («(ю)) 1 (с той пе левой частью и правой честью, резвой сдавшие) при условиях (1 5). Обозначим его хи (ю). тогда решеюие к (ю) задачи (14) — (15) моюио аыразать через хи (ю) ну (ю) с помошью одной аз формуик и х (и) (х', (т)У(ю — т) бт, х Я-5 х', (и — тЦ(т) бт„ о о и ! «(ю) у(0) хи Я+)у' (т) ки (и-т) бт, х Я у(0) хи (ю)+) (" (ю-т) хи (т) бт.

о о Капдое аэ этих аырааавий везыаэют д)ормукев (впи интегралом) Дюамеея. Метод решеввк даффереацаельвых ураявеивй, осаояаииый ва формуле Дюамеля, прамевпот, как аревало, з тех саучаях, когда аозюшэют трудности пра вахюшденвп вэобрааивва г" (р) прелой часта /(и) уравнения (14), а такие арв всобходвмости многократного решение задачи (1 4) — (Щ дла различных фувкивф ю О). ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 1. Комплексные числа, действия над ними. 2. Показательная и логарифмическая функции комплексного переменного. Формулы Эйлера. 3. Степенная фупкцвя. Тригонометрические и гиперболические функции. 4.

Производная функции комплексного переменного. Условия Коши — Римана. Понвтие аналитической функции. 5. Геометрический смысл модуля н аргумента производной функции комплексного переменного. Понятие о конформном стобрашевии. 6. Интеграл от функции комплексного переменного, его свой- 7. Теорема Коши дли одно- и многосвязных областей. Формула Ньютона — Лейбница. 8. Интегральная формула Коши.

9. Существование производных всели порядков у аналитической функции. 10. Ряд Тейлора. Теорема о разловиимости аналитической функции в ряд Тейлора. П. Ряд Лорана. Кольцо сходвмости. Теорема Лорана. 12. Классификация изолированных особых точек. 13. Вычеты. Вычисление вычетов. 14.

Основная теорема Коши о вычетах. Вычисление контурных интегралов. 15. Вычисление несобствшэвьих интегралов с помощью вычетов. Лемма Жордана. 16. Преобразование Лапласа. Функция-оригинал. Существование н аналитичность преобразования Лапласа. Поведение изобрашения в бесконечности. 17. Свойства преобразования Лапласа: свойство лвнейности, теорема подобия, теорема затухания (смещепня), теорювоа запаздывания. 18. Дифференцирование оригинала и нзобравиення. 19. Интегрирование оригинала и изсбравпвиия. 20.

Методы отыскания оригинала цо заданному изобравв- ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ 1. Доказать равенство л+1 л вв — див- д 2 2 вп ()+ош2()+ ... +шилд=, ОМ2яв, и=(), ~1, пав 2 указание. р~ссмотреиь пюмегри иес и иэо 2. Доказать, что в полярных координатах г, оэ условия Кода !дт дт 1 да ши — Римана имеют вид — =- —; — = -- —. дг гдои дг гдр 3. Доказать, что функция ге= ф нигде не дкфференпдруема.

4. Пусп фувзщвя и (х, у) гармоничеилгая в некоторой области 14 /!+а/з 1.1а.а/ 32 .1.1Х а,/Вб 1.и. ',/в. -1-/,/3 З2 1.1З. а,/!б. 1.15. а,/-В. ° ° (в)1 зги (л-Ю вва '~/-ива,/в. 1Л1. а~/!/!б. 1Ла а,~- !/В. 1Л7. а;/!!/256. 1Ла ~в/256. форме (см. ц. 1.2). ЗЛ. 1а б. Зл. !.а (1+О.

Зл. 1а (,/з+О. злз 1а О+,/з0. 2 35. йг (а;вв-й). ЗЛВ. 1а(-1-0. ЗЛ1. 1-~~г 0-0. Ш 1". ва м ЗЛВ. (-1) . форме (см. п. 12). ЗЛ' А Ъ (-2Л ЗЛ.Аг га— 3.1В. Ага!в 3ЛЗ. Апах — ' . РАСЧЕТНЫЕ ЗАДАНИЯ п ЗН Агсваг —. В . -3+/ ЗЛ. Агсйг 4 -!+~,/3 ,/!. зл- А а(з0. зл. А гв(2-0. 1.6 а 1Л.

',/!. 1.а а,/-а. м, а,/а 1.7. э /-!. ЗЛ4. Апа!г ЗЛ5. А»аа 13К а/-!6. 16 6, т. е. г5и=О в любой точке (х. у)авв. Для каких 4» окопная функция у [и (х, у)! будет такие гармонической в области М 5. Пуспа функция /(г) — аналитическая в круге ~г!4хс и М шах !/'(г)~. Для всех внутренних точек круга ф<Я доказать неравенство Числа А определяемые условиями Ав=1.

Аг=1в Аа+г= =А +А.+ь а=О, 1, ..., называются пвсламн Фибоначчи. Дока— а а+о в в - ° ва 1 зать, что в нешторой области ~ А.х'=,. Определить оба в ласть сходнмости ряда. 7. Доказать, по для четной функции /(г) имеет место равенспю пя ~'(г)= -гев ~(г), а для нечетной функции — равенство -Ъ'. (г) гев / (х). . Функции /(г) и Вг (х) в точке х= х, имеют полюс соответственно порядка т и и. Что могкно сказать о характере особой точки х=гв дли фУнкций: а) /(г) вг (х); б) /'(г)/У (г); в) /(г)+ +бг (х)7 9. Функции,/(г) и я (х) — аналитические в точке гв, причем /(хв)ФО, а (хв)=вя (хв)=0, я (хв)ФО.

Найти вычет фуиззгнн бг (г)= = /'(г)/й (х) в точке гв. вв 10. Являются лн оригиналами функция /(1)=0 (1) пие и ее производная,/' (1)7 Здесь (1, 12 О, и (~)=~ 11. Испош зуя теорему умиовиння нзобранапий, найти репгеа ние и!пегралывого уравнения 1 у (т) сов (1-т) сЬ: 1-сов С. в Задача 1. Найти все значения корня (см. п. 1. 1). 1.16.

аа/-Вг 1.17. а.а/ — !/!б. 1 15 а !/В 1ЛЕ а/~ ввв ° /:в-а в. вва,В ва. ввв.'а~ва+а~ц. вваВ~вв. '~'ъ'-ва-ииЛ. ~~.'~~п. 1Л1.,/-07. Задача 2 Представить в алгебраической ЗЛ. аа (а/4+2). 2Л. а (а/в+за). 2.4. й Я+а//4). 25. й Р+а/д). 27. йг (а/3+а).

2.В. сов (а/4+О. ЗЛВ. й О+ //2). Зл. й 0-*0. ЗЛЗ. 1а (-1+О. 2.14. ссв (а/4-20 2Лб. й (3+ М/6). 2.17. й (1+а//3). ЗЛУ. аа (а/6-30. ЗЛЕ. сов (а/3+Я. ЗЛЗ. й (1-*//3). ЗЛЗ. св Р- г/6). ЗЛ5 вга (а/3-20. ЗЛбв сов (а/б-г). 22В. й(2-а0. ЗЛУ. (-0 . ЗЛЗ. й (3+а//4). Задача 3. Представить в ашебраической 1-!(,/з-!) 3Л. Агах . ЗЛ. Агсаа4.

,/з+!+! (-г,Сг+ г) З.М. Аваа 1-~,/3 2 ЗЛ6. Авва ЗЛ9. Асссев (-5). -9+ ! ЗЛЗ. Аваб 1-9! ЗЛЗ. Ахова Ю ('~") 7 3.,/3+ Ыу. Ассав (-1). ЗЛ9. Ахссоа (-Зс). 4Л6. ах<2, йех<1,1шх>-1 18 ЗЗЗ. Авв$1. Задача 4. Вычертить о~* заданную 4Л. й-Ц61, ! +Ц>~ 4Л. )'+4>Ц ~" ~ 4,3, !в-4~~ не х>1.

4А. !х+Ц>!г !в+с!<1. 4З. (в+Ц<1,)в-461 сааб. !в+462,! — 4>2. 47. !в-1-4<1, )ш х>1, йе вИ. 4Л !в-1+4И, йе х<1, )ш М-1. 4.9 )в-2 — 442, йев>3, )ш в<1. 4ЛО. )х-1-4И, 04йе х<2, 0<)ш х62. 4Л1. )в+4<2, 0<не М1.

4ЛЗ. (в-4<1, 0<ага х<аИ. 4ЛЗ. )в-462, 0<)ш х<2. 4л4. !в+4>1, -аИ6ахв х<0. 4.И. )х-1-4 <1, !ахб х) 4аИ. *16. 34<2, -га(44ахб (в-1)6а)4. блт- И~1, в(*+с)>*И. 4ЛВ. 1<!в-Ц42, 1ш х>0. йе в<1. 4Л9. 14!в-4<2, йе х60, 1шх>1. 4ЛВ. !в)<2, йе в>1, ахб х<аИ. 4Л1. )х!>1, — 1<1ш в<1, 0<йе в<2.

4.22. )х-Ц>1, -14)св в<0, Окйе х<3. бль!х+4 1,— Ик в*а- И. 424 )х-4<1, -а)2<а!а (х-й<а/4. 4ЛЗ. ха<2, йе х61, )ш х>-1. 4Л7. 1<ха<2, йе х>0, 06)св х41. 4ЛВ !в-Ц<1, ахбхФс/4, ах$ (х — 1)>а)4 4ЛВ. )в-4<1, а!В в>аИ, ехб (х+1-с)<а/4.

4ЗВ. !х-2-4>1, 14йе х<З, 0<1ш х<З. 4ЗЗ. )йе х) 61, Раг 4 <2. г 6З. в е (усову+киву) !'(О) О. 6.4. *- у*- 2уЛО) О. е +1 65. и сову,~(0) 2. г е х 6.6. и у(!) !+! хгчуг' 6.7. и вши+у,!'(0) 1. 6$. в е сову,у(О) 16!. 6З. в у ,/(0) 1.

(к+1)г+уг 19 Задача 5. Определить вид кривой (см. п. 1.3). 51. х 3 с !+!2!В с. 5Л. х 2всс с — !3!5!. 53 х -мсс+СЗСВс. 5.4. х 4!В!-С)егсс. 5З. в Зсбс+сбмсс. 5.6. х — 4 !в с — !2 ми с. 5.7. х Зсоеесс+Нсвбс. 5.$. х 4 сомо С-гвсСВ С. 5З. х свбв-стсомсС. 5.10. х -сСВС+стсовесс. 511. х Зсь2с+схвь2с. 5Л7. х 2сЬЗс-сЗвЬЗс.

5.13. х Збг4с+Сесь4с. 5.1* х -4вь5с — !Зсь5а 2 4 5.И. х — +МСЬ2С. 5.16. х — +гтСЬ4С. сь2с сь 4с 5! 1 5.17. х Ог 5с+ —. 5.1$. х — — !с!!г с. сь 5с йс 1 и 1 5.19. х 2е + —. 5.20. х Зе =. и' и' 2е и 1 1 5Л1. х -2е + —. 5Л2. х 2е и гв е е 1+с 2+с с-!+л 5ЛЗ. х» — +с —. 5.24. х 1 — с 2 — с с (с — 1) !+с с 2+! 1+! 5.И. х — + Д вЂ” 4с). 5Л6. х» — +! —. 1-с 1 — с 2 — с ! — с 5Л7.