chudesenko (516237), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В формуле (6) ритц -1 Ю с Сс(х-хц) в х, С» (х — хц) с-- » ц иазыааютса соответственно еяациай чинима ряда Лорана в лртттиай часапю На праатаке дла вазоздавви коэффацвевтов С», если это аозмозво, вспольДла югера рцзлоззм а рид Лорана с пеатром з точке хц 3(х Фунтик х'е аюлитичва в кольце 0<14<в„скааопстельио, раэл Воспользуютя реэлозеввем пока зтехгьцгой фувкц а Геалора и охреопюста точки ьц Й е 1+(+ — +...+ — +- 21 к( и полозам ( 1/х, тогда 1 1 1 з 1++ + + + хх2( '" С х к( х' 1 1 1 3 а эх+ + + + 2( З.
61 "' »-э„„"' н у аюнсэзевности ряю Лорют поя ® э ц ридом э»орава дли фуаипня ( (х) х'е и вюьце 0<«~ ' ' Нзмлрюеиют оецбцце тают едюивачаой ааа юптрецттай асабай тачкой фрикции и хг( ) амчяая и аиааттчасиая фуикция ц круговом калацц 0<~к — хй <6, кроме самой точки зь Фувювпо и Г(х) а окрестности точки хе мозно раэлозать а рпа Лорана (6), сходюдвйси з кольце 0<)г — хй <д.
Пра этом аозмпквм трв реэлвчиык случая, когда рид Лорава: 1) ве содерзат члевоа с очрюютельиыми степанами разцакти с г - хц, т. е. у (х) 2, С» (х-хц) . В этом случае хц ааэыиаетск устртиьиой есабей с-ц йфун а И*В2) дер зт ечн е оз сотр ю елы и с сгепенхми разюсгв (х-щ), т. е. Г(х),Г С» (х — щ), причем С ефО.
В этом случае хц называется иаяюсам порядка л фуйкцви и у (х); 3) содерззт бесконечное число членов с отрвцательвыми степенями разности х — хп т. е. у(х) с С» (х — хц) . В этом слУчае Щ вазызцетси суЩестццаиа особей аюетй фуаюпю и ((х). Пра определенна кареатера взолврозавиой особой точки вспоюэуютса сиедующае утзерзщеииа. 1. Длл того чтобы точка хц иалвгись устравимой особой точной евалвтачесмцй фувкцвв з у'(х), веобкодвмо в достаточно сугццстзозеиае щмдела йт ( (х) Сц, причем !СЫ < со. ц 2.
Дли того чтобы точка ге излилась полюсом аналитической фуакцви = Г (х), необходимо в достаточно сущсстаовавве предела йю у (х) ш. х хц 2'. Для того чтобы точка хц иалввсь полюсом порюза л аналитической Функции У(х), юобкоюмо в достаточно, пабы фувкцюо у(х) мозно было Ю ~цклстцвать з ввдеГ(х) р (х)/(х-хе), где и «ф — фувкцва авалатаческаи а тачке :„, причем р (хц)ФО. 2".
пусть щ — юолироиелваа особаи точка фуакцвв г(х) 2(х)/р(х), где 1 (х) в р (х) — фувзцва ива латачазие з точка щ. Бган числитель 2(х) в зсе лроазаодные до Л-1 порюза юлючательво 1») ~очке хц разны нулю, А (хц)ФО, зваюватель (х (х) в зсе провзиодвзце до (-1 орилка эключвтельно такке резвы пулю а точке хц, д (хц) ФО, то прв (>стачка (Л хс авлаегск пошссом порядка л= 1 — /г авалвтической фуакцви/(я). (Вслп 1<8, то точка яе валяется устрааамой особой точкой аналитической фувкцю! /(х).) В частном случае, пра й О, 1 1 змеем: еслв Л(хс)ФО, С! (яе)=0, р'(яс)ч«0, то зев полюс первого порядка фувпши/(х).
3. Пусть прв я- хс авалвтаческая фуакцвя н /'(я) ае амеет пределов вв ковечиого, ви бескове того. Это условае являстса веобходвмым в достаточным для того, пабы точка хс была сушестаевио особой точкой фувкпви н /(х). 1М. Вычетм. Пусть яе — юоявроваввак особак точка функции и=/ (х).
Вычетам сйункцни/(я) е точке хс аазыааетса число, обозначаемое символом гюа /(х) и определяемое равевстаом 1 па, /фф — ~/(я) бх (8) 2хс с (друтае обозвачеваж гез/(яс), юз (/(я), яс)). 3амкаугый ковтур автыраровааия у лежат в областв авалатачаости фувкции /(х) и ае содержат ааугри сйзугвх особых точек фустцвп /(я), кроме хе, ааправлевие юпесрировавия долоиительСопоставлевие формул (/) а (8) показывает, что вычет фувкцвв ревев коэффицвеату при мваус первой сгепева в лораиовском разложении/(я) в окреспюств ток~а яе.
гез,с /(я) = С- !. (9) Вычет в устраввмой особой точке ревев нулю. Вычет фувшдв/(я) а полюсе л-го порядка вы ижляется по формуле «-! юз*с/(я) = 1 (л-1)1, д" 1 прая 1 пп /(х) Вш (/(х) (х — яс)). я «з Воли фущзпщ н /(х) в оярестиссти точка яо предагаэлявгш ва* аз~твое двух ф й /() Л(х)/Ф(х), дракам Л(то)чьо, р(хс) О Ф'(хе)з«О (а этом случае ц! — полюс первого порядка фувхвдв/(х)).
то юз. /(*) Л (хо)/р'(ха). Всю! точка хе есть сушестювво особаа точка фувпсшв н /(я), то вычет вычасляагся по формуле (9). Осваивая тюремв Капп о вмчетах. Есян функция н /(х) яе июнся анаянлтческай на сраннце Г обяасснн са н впаду анутрн обяаонн, эа снкмочмаим аонечтма тссха асобмх точек яс, хь ..., я, то $/(х) б -2ш Е юааа/(х).
(10) г Ф 1 1.9. Вытшюаав аесабстаааамх аптгрюып от ртсттаымых фуепюй. Пуапь Я (х) — рацвовальваа фувкцва, Я (х) Рх (х)/(ус (х), гс(е Рз (х) в (11 (х) — миогочлевы отпевай к в 1соопмтсгаевво. Воли Я (х) аепрерыава ва всей лействвтеш аой осп и 1мк+2, т.
е. степеиь знаменателя по крайней маре ва две едвввцы болыпе сппеви часлвтеля, то Я (х) бх 2кС,'с гез, Я (д), ни а« сумма вычетов фуакцаи Я (я)=Рс, (я)/Дс (я) берстов по всем полюсам я, р«~ иоложеавым в верзаей полуплоскости Лш я> О. 1ПО. Вмчаглевве втисбстаеюьпс ватегрзлоа свецаальюго вада. Пусть Я (х)— рацио«альпах фувкция, Я (х'с=Рь (х)/Дс (х), где Ре (х) и Д! (х) — мпогочлеаы с! Оисией Сс п 1 соответстзеппо.
Ясли Я (х) непрерывна ва всей действительаой оси а 1 ° с!+! (т. е. Я (х) — прзввльвая рацвоаальаая дробь), то + СО сь) Я (х) соз Лх дх=Ке ~2кс 2„'гт, я (я) е ~, Л>0, + О „,1 Я (х) пп Лх дх 1ш 12ю '! сез, Я (я) е ~, Л>0, па !де сумма вычетов фуюшии Я (я) е берется по всем полнкам я, расположенным и верхней полуплоскости 1ш я > О. 1.11. Вычаслетм овредеявеиых автегсмлсв саецаальвт о вада.
Пусп Я вЂ” растоиассьвхя фувппш соз с и ип с, аепрерывпэл зпутрв промезсутка иатегрирозаа ия«. Полыаем х=е, тогда соз с=- я+-), яш с= — 1х — — ), бс= —; 2~ ) 2Л ) имюм 1 Я (соз с, ип с) бс= ~ Р (я) бя, (11) е нс ! "сс луг!' ивттрвровавия ОхРу®ность едивичаого радауса с цеатром в начале «иорлипат. Ковтурвый ввтеграл в правой части равеаства (11) вычисляется по формуле (10), где суъоиа вычетов фуакцаи Р (я) берется по всем особым точкам, и:ныцвм в области !4 <1.
1.12. Преебразоиавае Лапласа. Функанеа-арссгьнаяам юзываетса фувкшп! /'(с) лаастзительвого аргумевта с, удоалетворяюшая услоевам: 1) /(с) вагесраруема и«любом колечком ввтервале оси с; 2) /(с) 0 для всех отрицательвых с; 3) /(с) «и !растает ае быстоее показательвой фувхцаа, т. е. сушествуют такие настояв«а имс М а се, по !/(с)~ <Ме дхл всех с . Изсбрансенсмм фун«агин/(с) ло Лов«агу вазыаается фуакшш Р (р) комплексию о перемеваого р= а+ й, определяемаа равенством Р (р) = 1 е /.(с) бс; е исю иычевие! /(с).='Р (р). Е(ля любой фувхяат-оригинала/(с) юобрзжевве Р (р) определено в лолуплос«ости Ке р > ае и по крайней мере в этой полуллосксств явлжтся алалитаческой функцией.
Свойства 1О. Линейность: дяя мобил комля«кань!я настоянных С! и Сз Сс/! (с)+Сз/я (с).='С!Р! (р)+Сяуг (р). 1О у(вс),' — Р— . (12) г гм ю )тк ю я г (13) х' (с) рХ (р) — х (0) =рХ (р) — 1. 13 12 2е. Формула подобюс дл/с любою постовпюго в >0 в) Зе. Дифферевцнроаавае орвгавала: если фуигсрву" (с), /" (с), ...„у (с) являют- ся сбусгцксяии-орсииияяягт, ою /" (с).-'рр (р)-/'(О), /. (с) рэр(р)-рС(0) — У (О), /"'(с)-'~"Р(р)-~" 'у(О)-~" 'С' (О)-...— у(" 0 (О) Величава /' (0), Гг О, 1, ..., я-1, повимаетса как йш у (с). в) сг) г +е 4е Дифференцированно изобрапеюш: Р' (р).
— сГ(с). с .Р(р) 5е, Иитегрироэенве орюпвала: / (г) бт.' —. Р Пс) б" Иатегрврозавве азобрэиеюос гели — ягяягсяся рунккигй-оригиналом, с .У0) Р(р) бут —. уз. Формула ситцевая: дяя любого комввкгиого А у(с) е . Р(р+А). Ве. Формула юняэльсаэвва:у (с — г), е г Р(р), г>О. уе. Формула умвопеввк изобрюгевай: с Рс (р) Рэ (р).-' Яс (г) /э (с-г) Йт. а Интеграл а (12) ваэызаетса сгерстсоб футсс)ибД (с) аут (с) а обозвачаетса самеоломус еуь Отыскание ерагвиала ио аэобратеапю Дла вэхоэгдевиа ариппвла у (с) по аззеспюму нэобрпкеввсо Р(р) вавболее широко щтыевзютса след)щи)не щсаемьг 1) сали аналитически продолпевнаа в полунлоскасть Кер < се фувкцвя Р (р) есть праввльваа рацвовальюи дробь, то ее разлагают на сумму простыл лробей и находят ораппшлы для каидой врастай дробв, аспользуя свойства 1е — Уе преобразоааввя Лашшса; 2) используют формулу ряэяохггиия, согласно которой прв некоторых достаточна общвх условиях орипетлом дяа Р (р) слупит фунюпш У'(с) 1; сеэ [Р(р) е [, с с ля суыма вычетов беретка по всем особым точкам рг фувкцаи Р (р).
1.13. Формулы соответствия. Широка првмеваются следующее таблвчвме вип ношевюс 1 .1/р. с ° 1/(р о). э)пвс в/(рз+вз). соэасс р/(,з+вз). )сто /(рэ- гЪ сЪ с. ~/(рэ — '); с уй !/р Левые части операционных соотнашеавй преднолггаютса домнопевнымв и, с>О, ае функцвю Л (с)=~ которая для сокращения запаса, как прэлило, опу- [О, с<0, 1.14. Ипсбуалвтв кусочно-линейной фунт)ив.
))римервьсй аид срафвка кусоч- ка-линейной (полвгонельнай) фуакцви предстаэлеа ва рвс. 1. Введем следующие обозначения: гд — точки разрыва фупкцейс (с) влас (с); ,;-,— Ьг — фу исй в у 'а»; /)г тйтг — Сббе — скачки пРоазеодвойУ (с) э Узлах «стыка». Изобрапевие полвговальвой функцвв вмеет звд -ге с'кг /)г') г.-~ Р Р ен.и к й м Мфр и решение ливейвых диффервщиальиьп ураааевий оягуониояяым мвяадом пред- полагает трп этгсш: 1) переход от исходных фующай к вх взабркпевиям по лесяаау, прп этом шсфферевсшэльное урааневве ереобразуетск в алгебраическое о~касательно юабрккевия вскомой функции; 2) решение получеюпк:о алгебра- ического уравнения; 3) получвше искомого раненая по его юобразгевюо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
