chudesenko (Задачник Чудесенко)

СБОРНИК ЗАДАНИЙ по спкциАльным ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ХИООЗИЖ РЯС%И? в7здание второе, нерераоотанное Москва «Высшая школа» 1999 УДК 517 ВВК 22.И Ч 84 Рекомендовано Мввистерством общего и про4иссионального образовашш Российской Федерации в качестве учебного пособие дла студентов высших учебных заведений, обучазощахск по ваправлеввто ематематвке> Рецензент — ванд. фвз.-мат. наук А. С. Поспелов 1БВХ 5-06-003065-2 © В.

Ф. Чудесевко, 1999 ПРЕДИСЛОВИЕ Активная самостоятельная работа студентов — залог успешного овладения изучаемым курсом. Одной из форм активизации учебного процесса по математике служит система типовых расчетов (ТР). Применение системы ТР рекомендовано действующей программой по высшей математике для инженерно-технических специальностей вузов.

Основой системы ТР является индивидуализация заданий. Задачи — расчетные задания, входящие в настоящий сборник, представлены каждая 31 вариантом, что позволяет предложить каждому студенту учебной группы индивидуальное задание. Помимо задач типовые расчеты содержат теоретические вопросы и теоретические упражнения, общие для всех студентов. Расчетные задания сопровождаются ссылками на справочный материал, в котором содержатся необходимые теоретические сведения и примеры решения некоторых задач.

Система ТР не исключает традиционных текущих заданий. Поскольку не все разделы спецкурсов отражены в книге в равной мере, важно, чтобы ТР и текупше домашние задания дополняли друг друга. Расчетные задания выполняются частями по мере продвижения в изучении курса. Теоретические вопросы прорабатываются по лекционному материалу и обсуждаются на аудиторных занятиях. Теоретические упражнения и задачи решаются студентами самостоятельно и сдаются на проверку в указанные преподавателем сроки.

Решение каждой задачи приводится на отдельном листе стандартного формата. Неверно решенные примеры возвращаются на доработку с указанием характера ошибки. В специальном журнале преподаватель фиксирует сданные на проверку, а также зачтенные задачи и упражнения. Защита ТР осуществляется в письменной форме по специальным билетам в часы занятий.

Во время защиты проверяется умение студента правильно отвечать на теоретические вопросы, пояснять решение теоретических упражнений и задач, решать задачи аналогичного типа. Как правило, защита занимает один учебный час. Срок защиты устанавливается учебным графиком. Повторная защита проводится вне сетки расписания 3 в письменной форме или путем собеседовании (по усмотрению преподаватели). Промеиуток времени до повторной защиты не долиеи превъппать одиой недели. Каидый вз предлагаемых в настодщей книге ТР обеспечивает семестровый спецкурс.

В том случае, когда соотвстствугощий раздел излагаегсп в меньшем объеме, ТР подлеиит сокращыиэо. Предлагаемые ТР составлены иа кафедре высшей математики Московского энергетического института. Автор благодарен коллегам за предоставленные материалы. затвор 3. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 1.1. Извлвчваю воров Хорева л4 свалим ю хамллсхсногс числа г амсет в различима эаачсвай, которые палодатса по формуле — / о+2хс о+2ахз з/э ч/1й~сов +(ап ),о маг,й 0,1,...,л-1,эеьО. л л 1*э ~ м р и иоа фунеавм компаексвого перемеввого э л+(у зычвслаютса по Формуле г х е е (сосу+)апу).

(1) Поевзатаыеам фувкпаа е обладает следующими свойствами: о+о в зз е е е, где гз в эз — любые комвлеасвые числа; г+Ззы 3 и е е,х О,к1,...,т.е.е езлаепв аерводачпзой ф с освозвым пераодом 2аь Три онозкермчсоо» фуххзрвг ив э и сое г зырпваготса через показательвую: е — е е+с 21 2 Фувкпив а еюэ в в соы — перводачплве с действвтгльвым периодом 2х а вмеют только дейстаепельвые вупи э ав а з кД+аи (х О, т1, т2, ...) Фу В гаэисеа ре~ арал ввэ соеэ гаэ —, сзаэ Длл трвговометрачвскве Оувзпвй комплекапио перемеаиого остаютса з сале все вэаествые 4орзеуые трвгоаометрви.

Гммуболимсхыа фулмдве еЪ г, ей э, бег, сазе оврадипвотгл рввезютвамп 1 Х 3 х е -е е+с е)зг саз е)з э , сйэ —, бзэ —, сГа 2 2 ейе ей э Имаот саста товдества ейз -!ив(э, сйг соа)э. Лсгарафмвчаосзл фулвамл (лз э, где эзьО, опрпылаетсв аак Оувззпсь обратваа лоеазательпсй, причем 1 )п|а(+1А в )и|4+!( Ох+2кй) и О и1 к2 -' Звачеюю функции, которое получеетсх прв й О, вззыззетса гюенмм зяячаинам и обозначестса )п*-)и И+ й .

Логзра4ивоюскаа фуиппаа обладает следунидамв сзойспазми: йЛ 1 п (щ хй™1+)ахъ 1 и Я ) и х1 -(лхь 1 1лх л(дх+2кЫ, й О, ~1, ~2, ..., 3л,,/х — )лх. я Фувкпип Ахова х, Агссое х, Аихй х, Азсср х определзютса ззк обупмяам к фувкцизм ипх, сова, 1йх, сгйх соотзстстаепво. Тзг„илп х сов н, то и иззызееил арккосанусом юкла х в обоюачзстса и Агссовх. Вес этн функции хзлзютсх многознечвыми и зырзпаютск через логзрвфмвческую: Апапх -Л.п (и+;/1 — х'), Аисозх — Лл (х+,/хз — 1), 1 1+и х †! ' Агсгйх — Ьп —, Агсахйх — 1л— 2 1-и 2 х+1 Значения, соотзстстзукнцие глазному зазченаю логарвфваь обозвзчзютсх *н тр юй бу з (менах, з с *, и зйц гдх); о вззыззнпча гяпанамн зиачаннямн. Общая анаяаяиая Фуюпдая н х, где а — любое комплексное число, определяется соотношением а а1яа х е, хФО.

а апа Эте фувкцзп мвогозкачвац значение х е вззызензсх гяееямм значением. Общяя яекимюеяэиая Фующня и а, аФО определзстса резеисгзом а ахая н е 1яяеняе знечеюа зтой функции а е 1*~э а ъъ ' 'а *ю ам опредеюют ва комплексной плоскости крваую, изремстрачесюю урелиевие которой пью|от зид к к (г), у у (г). Исключением параметра 1 ю зтвз урезиеюзй получаем урззпепж кразой з заде 7(к, у) О. 1.аяаа ° Н ю ~~ю а Рюяеае. 11усть фувкцвх 1а ) (х) опрсюлеве и некоторой облзств О комплеицого свремепвого х. Пусть точки х в х+Ьх прпведлниет области О. Введем обозначснва Ьи ~(х+Ьх)-/(х), Ьг Ьк+1Ьу.

Фуюпим и Ях) инзаюпаяся днФФеуандруьней е мочке за О, асям еяппяааню Ьн — имеем кояачимй яуедая ярн Ьз-аО. Эяпян щмдея яазыаммся нуонмодюй дн~ Ь Фуяяннн н /(х) и ебезяпчяемся г' (х) ~вли — ) /' (х) Зи —. м-е Ьх Пусть х к+1у, нег (х) и (к, у)+ач (1г, у), тогда а кецдсй точке дпфферщ- О ФУ йу'(х) дн дч ди дч М (2) а ду' ау ах' ° ззызеемые уеяеасснн Хеюи — Рнмеип. Обрааю, если н некоторой точка (к, у) юпюлюпотсл уаюзва Коша — Рамзае °, кроме того, Функции нюн (», у) а чюч (х, у) двфферннивручмы кзк фупззаю дзух действительных перммввыл, то фувкпвк /(х) )н+)ч кнлагии двффсреппврусмой з точке х к+1у злк фувюпю каввпмююого переменного х.

Фующюа и /(х) ннззюпемся наюяняиюеаией е денной мочке х, есан еиа даарФауюпдруемн юм е амюй мочке х, амк и е ююемоуой ее ещмслнюанн. Фуикззи и У(х) низаамнмя нипянлвчеаней е едяеанн 6, есе оян еанаияннчяп е юзнадю1 мочке ха О. Пропиююмл аиалатачесаой фующви аычагластса по формулам дн дч дч дн дн дн дч дч У (х)- — +1 — — -1 — - — — 1 — - — +г —. ак дк ду ау а ау ду ак' Пользуась учаозаамв Каюк — Рамена, моюю зосстзаозвть авапатвческую функцию и у'~~), если изаеспа ее дейстзптекьизл 4зсть н и (к. у) плп мввмзх честь ч ч (к, у) а, кроме того, задзво звзчевве/(хе) фупкцвв а некоторой точке хе. Длк евыютпчвостп/(х) необходамо, пабы н (к, у) в ч (х, у) была гармоническими фуикцихми, т.

е. Ьн Ьч О. Пусть, например, н е соху, /(0) 1. Ощилююгь аналитическую фуаацвао У(х). В салу услоавй (2) азаееза дч дн — — е сау, (з) ау а дч дн а — ю — — е впу. (4) а ау Иатеграрук уравнение (4) ио псреаеввой к, находам мнимую часть ч е пну+С(у). (Я Слзгземое С (у) предстааласт собой аостоюпаую (относительно к) пвтегиирозь. нак дпффеуеиюруа (зг по у в сопоставила результат с (3), получаем С (у) О, откуда с (у) С. тезцм обрезом, имеем а а ч е пну+С в1(х)ив+за е (соеу+1пау)+С; гитою фо)иаУлы (1) — Лх)~е +с. Учтем дополпптююное уг, у(0) уд С-О;юнк,У(х)- *. 1а.

Маа ЕЬаааа ° и„ фуакцпк я /Я Опрщялпза а испрерьааие з области О а 1" 'рю'зх зипзлюа з О1 ™+)у, У(х) н+)», где вен(к, у), ч ч (к, у) дгйс ютчльпьгс фуюпззи израненных к п у. Вычисиюхи шгмрнзп о. ф ' Г ( ) комплюхюого переменного х сзодвтса к зычвслевию кразолавейвык юпюрелоз ОО координатам: )у (х) йх )ндк-аду+11 чая+иду. г г г Ряэт Г эа ааа юРамагРнчесаэвю УРезаеввима х и (ф У У «).

а не огзуют юачевним г а в ц р, то у (г()й, (Г(х(г)) «)аг,глез(0- (г)+(У«). г и хг ( ) — агаххнтаюгваа фувкгюа и одиосзизвой области 6, то юггегю зеаисат от юпегрврозают (эазасат только от начальной а конечной ватсграла првмеаастса формуле (гьютоточек). В этом случае дла иычвслтпт — Лйб ( ( Г(х) йх-Ф (хэ)-Ф Ы. х1 Ф() „. бо р. бр .фу Лх) 'е Ф(х) У(х)з'б фуц па с ия и Г «ф юю ется ею ли тэцческой ограниченной кусочно главкам эззпжугьпг контуром Г в иа самом контуре то ~(г(х) йх 0 (теаргма Ката) г и дли любой заугревней точка хцаб У(хц) — у — йх (маитраттхя формула Кцит). г(х) 2и( х-хц г Н тматнае автепвроиеиаа счатцагса полозвтельвым. 1.6 Лорика.

ГРувкциа и у (х), одвозвачваи а авэюгпгзсэаи з кгтьце Р< 1х-щ) < Я, разлагеетсл и этом кольце и ряд Ларем Ю -1 с с ~(х) „'~~ Сс (х — щ),'~ Сс (х-хц) +,'~ Сс (х-щ), (6) с -хц с -а »-ц коэффвидааэы находится по формулам Сс- — ф —,»-О, ~1, ~2, ... 1 Лх)д ( у) сч! г (х-ге) Здесь à — проюаольвая окрувность с центром з точке хц, лезащаи иаутрв задавюл о кольца. Резлоэкевве а рид Лорана единственно.