1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (Будак, Самарский, Тихонов Сборник задач по математической физике), страница 5

а другой конец движется по заданному закону. Установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы первая задача была подобна второй. БИ Сформулировать задачу о крутильяых колебаниях цилиндра, подобную задаче 41 об электрических колебаниях в проводе, взяв за функцию, характеризующуго электрические колебания, сначала напряжение, а затем силу тока. Установить необходимые и доста~очные условия для того, чтобы первая задача была подобна второй. й 2.

Метод распространяюнгихся волн (метод Даламбера) Обшее решение и=и(х, () уравнения колебаний струны ив =а ихх (() может быть представлено в виде *) и'.х, () гр, х — аг)+тря'х+а(), (2) где грт (г) и грв(г) — произвольные функции, причем гр,(х — аг) есть прямая волна, распрастраняющаяся вправо по осп х со скоростью а, в то время как гре (х+аг) есть обратная волна, распростраияюшаяся с той же скоростью влево по оси х*'). Решить краевую задачу для уравнения !) методом распространяницихся волн — это значит определить функции <р,(г) и грв(х) из начальных и граничных условий. В первом пункте этого параграфа собраны задачи для неограниченной прямой — ОО(х -+ со, во втором — для полупрямой с однородньпии и неоднородными граничными условиями, й *) Иногда удобнее польвоваться другими эквивалентными формами представления решения в виде распространяюшихся волн, например.

и(х. 1) Чи(а! — х)+щ(аг+х) и (х, 1) <рг (1 — ~+ грг 111+ — 1 ° еа) См, (7), стр, 48 — 88 и 58-68, Использование представления реше. ния в виде (2) для стационарных вадач, гдег является геометрической коорди натой, будет дано в гл, У, УСЛОВИЯ ЗАДАЧ третьем-для бесконечной прямой, составленной из двух полу- прямых, отличающихся физическими характеристиками, в четвертом — задачи для конечного отрезка с однородными и неоднородными граничными условиями. !. Задачи для бесконечной струны 52.

Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением, изображенным на рис. 5. Построить (начертить) полсикение струны для моментов врелеени *) Ас ге=в 4а ' где А=О,!,2, 3, 5. 53. Неограниченная струна возбуждена локальным начальным отклонением, имеющим форму квадратичной параболы (рис. 7). Найти: а) формулы, представляющие профиль струны при ( ~ О, и б) формулы, представляющие закон движения точек струны с различными абсциссами при 1:~О.

Рис, 6. Рис. 7. 54. В момент 1 = О неограниченная струна возмущена начальным отклонением, имеющим форму, изображенную на рис. 3. В какой *) Здесь и в дальнейших задачах вод а вовимается иараметр, входящий и уравиевие (1) им=а'иаа Ш УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА точке х и в какой момент времени 7 )О отклонение струны будет максимальным? Какова величина этого отклоненияр Рис. 8. 55. Неограниченной струне сообщена на отрезке — с -х~с поперечная начальная скорость па=сопз1; вне этого отрезка начальная скорость равна нулю. Найти формулы, представляющие закон движения точек струны с различными абсциссами при 7» О, и построить (начертить) положения струны для моментов времени.

где й= О, 2, 4, 6. 56. В начальный момент времени 7=0 неограниченная струна получает в точке х=хе поперечный удар, передающий струне импульс 1. Найти отклонение и(х, 1) точек струнгя от положения равновесия при 7)0, предполагая, что начальные отклонения точек струны и начальные скорости равны нулю.

57. По неограниченной струне бежит волна ~р(х-а1). Приняв эту волну за начальное возмущение струны в момент 1=0, найти состояние струны при т.в О. Сравнить с результатом, полученным при решении задачи 52. 56. Решить задачу о распространении электрических колебаний, в неограниченном проводе при условии, что где б, Ь, С, тс — утечка, самоиндукция, емкость и сопротивление единицы длины провода ь).

Напряжение и сила тока в проводе в начальный момент заданы. ь) рте условие обеспетивает возможность прохождения по проводу волн, без искаженна их формы. (Подробнее см. 17), стр. 70 — 7! и предыдущие). В дааьнейщыы если для провода выполняется зто условие, то мы будем назы-. вать его кратко: провод линни без искажений, УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 2. Задачи для пол упрямой Если только один из концов струны *) находится столь далеко от рассматриваемого ее участка, что отражение от удаленного конца не сказывается на колебаниях этого участка, по крайней мере в течение рассматриваемого промежутка времени, то мы приходим к задаче о колебаниях полуограниченной струны 0(х(+оо, гдех 0 соответствует «близкому» концу струны. В этом случае краевая задача содержит уравнение, граничное условие и начальные условия**): им=а»и, 0(х<+оо, 0(У +со, (() агигг(0, Г) +а и~(0, Г) +а»и„(0, у)+о и(0, Г) =О)(7), 0 с г ( -(- со, (2) и(х, 0)=гр(х), и,(х, 0)=т)(х), 0(х~+оо, (3) причем по крайней мере одна из констант пт, и„ а„ сс„ входящих в граничное условие, должна быть отлична от нуля ***); если Ф (г)=0, то граничное условие становится однородным.

59. Полуограниченная струна, закрепленная в конце, возбуждена начальным отклонением, изображенным на рис. 9. Начертить и Рис. О. положение струны для моментов времени 60. Полуограниченному упругому стержню 0 (х с-+ со со свободныги концом х О сообщена начальная осевая скорость, равная Ое на отрезке (с, 2с) и нулю вне этого отрезка. «) Или стержня, или провода... **) Возможно также задание двух граничных успений, если задано лишь одно начальное условие. (Подробнее см. (7), стр.

76.) *"») Если граничное условие (2) принимает нид иг(0, О+пи (О, О=Э (!), причем нзиестно значение и (О, 0), то тем самым станоиитси нзиестным и (О, 0 и мы приходам к граничному условию п(0, О=Ф(0 Аналогичное утаержде иие справедливо для ~ раннчиого успения вида пгг(0, г)+анг(0, О+Ри(0, О Ф(7), и. РРАаиеиия ГипБРБолического типА Величину продольного смещения и(х, г) гюперечных сечений стержня можно откладывать для наглядности в направлении, перпендикулярном к оси х, т. е. поступать так >ке, как это делалось в случае струны. Пользуясь этим приемом изображения, начертить график ие и(х, 1) для моментов времени Б 2С 4С 1=0; а' а' а 61.

Полуограниченная струна 0(х(+со с закрепленным концом х= О получает в момент (=О поперечный удар, передающий струне импульс 1 на участке 0(х(21, причем профиль распределения скорости, получаемый прн ударе, имеет в мсмент 1=0 форму полуволны синусоиды с основанием О ~х(21. Найти формулы, представляющие закон движения точек струны с различными абсциссами х при г«0. 62. Полуограииченный упругий стержень 0(х(+со со свободным концом х=О возмущен в момент >=0 продольными смещениями, профиль которых *) изображен на рис. 10.

Найти, в каких точках и когда при («О смещение достигает наибольшего значения. Какова величина этого наибольшего смещения? 63. Полуограниченной струне с закрепленным концом в начальный момент времени > =О с помощью поперечного удара передается импульс ! в точке х= хм Найти отклонения и(х, 1) точек струны от положения равновесия при 1 =»О, если начальные отклонения и(х, 0) = О, а начальные скорости в точках х чь хэ также равны нулю. 64. Решить задачу 63, предполагая, что начальный импульс 1 сообщается в точках х„«х»->« ... «ла«х>' О. 65. Полуограниченному стержню со свободным концом в начальный момент времени 1=0 с помощью продольного удара по концу передается осевой импульс 1. Найти отклонения и(х, 1) точек стержня от положения равновесия и(х, 1) при 1«0, если начальные отклонения а(х, 0)=0, а начальные скорости в тачках х«0 также равны нулю.

') См. задачу 60, УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 66. Груз Ю=Мд, двигающийся с постоянной скоростью о, параллельно оси х, в момент времени ( 0 в результате удара прилипает к свободному концу полуограниченного стержня О=-х ~+со и продолжает двигаться вместе с ним. Найти отклонения и 'х, Г) поперечных сечений стержня от положения равновесия при Г=>0, если начальные отклонения и(х, 0) О, а начальные скорости равны нулю всюду, кроме сечения х=о, где она равна в,.

67. Поперечным сечениям полуограниченного упругого стержня с упруго закрепленным концом сообщены начальные продольные отклонения з1п ~ при 0:ю х» 1, и (х, 0> = 0 при (~х(+со, начальные же скорости и,(х. 0) =О. Найти продольные отклоне- ния и(х, 1) поперечных сечений стержня при 1-»0. 68. Полуограниченный вертикальный круглый вал 0(х~+ со при ~ ( 0 вращается с угловой скоростью а =сонэ(. С момента Г = 0 его торец х= О соприкасается с горизонтальной опорной плоскостью и испытывает действие закручивающего момента сил трения, пропорционального угловой скорости торца. Найти углы поворота Е(х, 1) поперечных сечений вала при 1 )О, считая, что Е(х, О) = О. 69. По полуограпиченной струне 0(х«+ос бежит волна и(х, 1)=~(х+аО при т(0.

Найти колебания струны при 0 .-.Г< «+со для случаев, когда конец струны а) закреплен жестко, б) свободен, в) закреплен упруго, 'б) испытывает сопротивление трения, пропорциональное ско- рости. 70. По полуограниченной цилиндрической трубке 0 х + оо, заполненной идеальным газом, бежит волна и(х, 1)=)(х+аУ) при 1~0, 7(0) =О.

В конце трубки находится поршень с массой М„ насаженный на пружинку с коэффициентом жесткости НА и пре- небрежимо малой собственной массой. Поршень плотно закрывает трубку и при движении в трубке испытывает сопротивление, про- порциональное скорости. Найти и(х, 1) при 0((~+со. 71. Найти при Г)0 электрические колебания в полуограни- ченном проводе (линии без искажений), если при ~ ~0 по проводу бежала волна и(х, 4 =а ' г(х+аг), г — —,~-гс ((х, () — в ь ф' — Г(х+ат). П УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Рассмотреть случаи, когда конец провода заземлен а) чеРез сосРеДоточенное сопРотивление Ттз, б) через сосредоточенную емкость С, в) через сосредоточенную сал1оиндукцию Е .