1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (Будак, Самарский, Тихонов Сборник задач по математической физике), страница 3

Входное сечение прямои цилиндрической трубки длиной 1 соединено с резервуаром неограниченной емкости с жидкостью. По трубке на всем ее протяжении течет жидкость с постоянной скоростью о . В начальный момент времени 1= О выл ходное сечение трубы х=1 мгновенно .Ф перекрывается. Поставить краевую задачу для определения скорости частиц жидкости и давления жидкости в трубе. Рве.

1. 6. На конце х = 1 трубы предыдущей задачи стоит смягчающий воздушный колпак (рис. !) и агрегат Л, регулирующий расход жидкости ъГ(1), вытекающей из колпака, так что 9(1) является заданной функцией времени. ПУсть ь)ь и Рр — сРедние объем и давление воздУха в колпаке; считая жидкость несжимаемой, а стенки колпака недеформируемыми и предполагая процесс сжатия и разрежения воздуха в колпаке изотермическим и изменение объема воздуха в колпаке малым по сравнению со средним объемом 1)ь, вывести граничное условие для канва х=1, 7.

Волны лпжелой вкидьтсл1и в канале. В неглубоком горизонтальном канале длины 1 с прямоугольным поперечным сечением находится вода, глубина которой, отсчитанная от свободной покоящейся поверхности, равна 1ь Концы канала закрыты плоскимп жесткими перегородками, перпендикулярными к его образующим. Направим ось х вдоль канала. При небольших возмущениях свободной поверхности в канале может возникнуть волновое двих:ение воды, при котором поперечные сечения, состояшие из жид- 11. УРАВГ!ЕПИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ких частиц, будут, как целые, получать смещение 5(х, 1) вдоль оси х, а их высота будет получать отклонение п(х, !) от высоты 8 свободной покоящейся поверхности воды. Пусть заданы начальные значения $(х, !) и п(х, !) в момент С О. Поставить краевую задачу для определения Е(х, 1) и Ч(х, Г) при ! ~О.

8. Поперечные колебания стержня. Точкам упругого однородного прямоугольного стержня с шарнирно закрепленными концами (рис. 2) сообщены в начальный момент времени ! = О малые Шцзниры с сренейрежижс .алене н!се!шин л' сн!сшесн с сре ЕАРЛШУСй НС еесиеесш бее ш!ен сс !Гесеиешс Рис. 2.

поперечные отклонения и скорости, параллельные продольной вертикальной плоскости симметрии стержня. Поставить краевую задачу для определения поперечных отклонений точек стержня при !'= О, предполагая, что стержень совершает малые поперечные колебания. 9. Рассмотреть задачу 8 для случая, когда один конец стержня жестко закреплен, а другой свобочу 8, предполагая, что ш стержень лежит на упругом основании, массой которого при изучении поперечных колебаний стержня можно пренебрегать. Козф- Рис, 3. !)!ициент упругости основания, к которому прикреплен стержень, равен й, т. е. поперечная для стержня сила упругости, действующая со стороны упругого основания на единицу длины стержня в данной его тсчке х, равна — йи(х, 1). !е ус.".ош:а задач 2. Вынужденные колебания и колебания в среде е сопротивлением; уравнения с постоянными коэффициент -.". и 11.

К струне, концы которой закреплены неподвижно, начиная с момента ! = О, приложена непрерывно распределенная поперечная сила, линейная плотность которой равна Г(х, !). Поставить краевую задачу для определения поперечных отклонении и(х, !) точек струны при !)О. 12. По струпе О~х~! с закрепленными неподвижно концами и пренебрежимо малым электрическим сопротивлением идет переменный ток силы !'=?'(!) при 1-»0, причем струна находится в постоянном магнитном поле напряженности г?', перпендикулярном к струне. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны, вызываемых пондеромоторными силами, приложенными к струне*).

13. Начиная с момента г= О, один конец прямолинейного упругого однородного стержня совершает продольные колебания по заданному закону, а к другому приложена сила О? =Ф (г), направленнап го оси стержня. В момент времени 1=-0 поперечные сеч:ии с..ржня были неподвижны и находились в неотклоненном положении. 1!оставить краевую задачу для определения малых продольных отклонений и(х, !) точек стержня при !)О. !4. Верхний конец упругого однородного вертикально поднешенного тяжелого стержня жестко прикреплен к потолку свободно падающего лифта, который, достигнув скорости ом мгновенно останавливается. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях этого стержня.

15. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны в среде с сопротивлением„пропорциональным скорости, предполагая, что концы струны закреплены неподвижно. 16. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях прямоугольного однородного упругого стержня в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, при наличии непрерывно распределенной вынуждающей поперечной силы; концы стержня предполагать жестко закрепленными.

!7. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях прямоугольного однородного упругого стержня, один конец которого жестко закреплен, а к другому приложена поперечная (<перерезывающая») сила, меняющаяся с течением времени по заданному закону. !8. Поставить краевую задачу о малых продольных колебаниях однородного упругого стержня, находящегося в среде без сопротивления, если один его конец закреплен жестко, а другой испытывает сопротивление, пропорциональное скорости. <) Си.

!!?1, стр. 204. 17 н уелннсния гиперболическо~ о гнзч 19. Эяеюпраческие коягбс .пя э проводах. Поставить краевую задачу для определения г лы и з спряжения переменного тока, идущего вдоль тонкого прщсдз с непрерывно распределенными по длине: омическзм сопротивлением К, емкостью С, самоиндукцией Л и утечкой бе), если один конец прогодэ заземлен, а к другому приложена эдс Е(1) и если задан начальный ток г(х, О) =г" (х) и начальное напряжение с(х, О) =Е(х). 3. Задачи о колебаниях, приводящие к уравнениям с непрерывными переменными коэффициентами Если колеблющаяся среда неоднородна, причем функции, характеризующие ее свойства (плотность массы, модуль упругости и т.

д.), являются непрерывными функциями точки, то, как известно, дифференциальное уравнение для функции, описываю. щей колебания, будет иметь непрерывные переменные коэффициенты. Однако могут представиться и другие случаи, приводящие и уравнениям с непрерывньвии переменпымн коэффипиентами. 20. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упругого стержня О «х «1 переменного поперечного сечения 5 (х), если концы стержня закреплены неподвижно, плотность массы равна р(х), модуль упругости равен Е(х), а колебания вызваны начальными продольными смещениями н скоростями.

Деформацию поперечных сечений считать пренебрежимо малой. 21. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упругого стержня, имеющего форму усеченного конуса, если концы стержня закреплены неподвижно и стержень выведен из состояния покоя тем, что его точкам в1=0 сообщены начальные продольные отклонения и скорости. Длина стержня равна 1, радиус основания К)г, материал стержня однороден. Деформацией поперечных сечений пренебречь. 22, Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях однородного упругого клинообразного стержня с прямоугольным поперечным сечением, если его больший то(ец жестко закреплен, а меньший свободен (рис.

4). Модуль упругости стержня равен Е, плотность массы равна р. Деформацией гюперечных сечений пренебречь. 23. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой струны относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец жестко закреплен, а нижний свободен. 24. Рассмотреть задачу 23 в предположении, что струна вращается с угловой скоростью го=сопи( относительно вертикального положения равновесия, ') Величины я, с„ь, б рассчитаны на единииу длипы; однородность провода означает, что К, С, ь и б не зависит от того, в какой точке провода иы ик рассматриваеи. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 25. Невесомая струна при вращении вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью находится в горизонтальной плоскости, причем один конец струны прикреплен к некоторой точке оси, а другой свободен.

В начальный момент времени 1 =0 Рис. 4. точкам струны сообщаются малые отклонения и скорости по нормалям к этой плоскости. Поставить краевую задачу для определения отклонений точек струны от плоскости равновесного движения. 4. Задачи, приводящие к уравнениям с разрывными коэффициентами, и родственные им (к усочнооднородные среды, сосредоточенные факторы) Если плотность распределения массы колеблющегося упругого тела или плотность распределения приложенных к нему сил резко меняется в окрестности некоторых точек пространства, то часто оказывается целесообразным считать, что в этих точках происходит разрыв этих плотностей, и, в частности, переходить к сосредоточенным массам или силам, если в окрестности упомянутых точек плотность массы или плотность силы велика. Тогда при постановке краевых задач получаются дифференциальные уравнения с разрывными коэффициентами и разрывным вынуждающим членом. Если между точками разрыва коэффициенты уравнения остаются постоянными, то задача может быть сведена к уравнениям с постоянными коэффициентами и условиям сопряжения в точках разрыва.

При этом мы имеем в виду внутренние точки среды; если же сосредоточенные массы или силы рассматриваются в граничных точках колеблющейся среды„то зто должно быль отражено граничными условиями*). *) Задачи с сосредоточенной силой иа конце стержня и сосредоточенной вчектродвижупаей силой нв конце провода уже рассматривались в предыдуацеи пункте (см, задачи !3, !9), П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 19 26. Два полуограниченных однородных упругих стержня с одинаковыми поперечными сечениями соединены торцами и составляют один неограниченный стержень*). Пусть ры Е,— плотность массы и модуль упругости одного из Гпгх и р, Е,— другого. Поставить краевую задачу для определения отклонений поперечных сечений неограниченного стержня от их положений равновесия, если в начальный момент времени поперечным сечениям стержня сообщены некоторые продольные смещения и скорости.