1626435584-7c6402f545ecf856225d6cf8d21519c9 (Калиткин - Численные методы)

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Н. Н. К а л и т к и н В книге излагаются основные численные методы решения широкого круга математических задач, возникающих при исследовании физических и технических проблем. Изложенные методы пригодны как для расчетов на ЭВМ, так и для «ручных» расчетов. Для каждого метода даны практические рекомендации по применению. Для лучшего понимания алгоритмов приведены примеры численных расчетов. Книга предназначена для студентов, аспирантов В преподавателей университетов и технических институтов, научных работников и инженеров-исследователей, а также для всех, имеющих дело с численными расчетами. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие редактора Предисловие Глава 1 8 Что такое численные методы? 1.

Решение задачи (13). 2. Численные 13 методы (15). 3. История прикладной математики (16). з 2. Приближенный анализ 17 1. Понятие близости (17). 2. Структура погрешности (22). 3. Корректность (24). 84 26 100 27 108 113 124 51 126 66 138 69 ГлаваП1 Численное дифференцирование 1. Полиномиальные формулы (70). 2. Простейшие формулы (72). 3. Метод Рунге — Ромберга (74).

4. Квазиравномерные сетки (78). 5. Быстропеременные функции (80). 6. Регуляризация дифференцирования (81). 150 ГлаваП Аппроксимация функций з 1. Интерполирование 1. Приближенные формулы (27). 2. Линейная интерполяция (27). 3. Интерполяционный многочлен Ньютона (29). 4. Погрешность многочлена Ньютона (31). 5. Применения интерполяции (34). 6. Интерполяционный многочлен Эрмита (36). 7.

Сходимость интерполяции (39). 8. Нелинейная интерполяция (41). Интерполяция сплайнами (44). Монотонная интерполяция (46). 11. Многомерная интерполяция(47). з 2. Среднеквадратичное приближение 1. Наилучшее приближение (51). 2. Линейная аппроксимация (53). 3. Суммирование рядов Фурье (56). Метод наименьших, квадратов (59. Нелинейная аппроксимация (62). 8 3.

Равномерное приближение 1. Наилучшие приближения (66). 2. Нахождение равномерного приближения (68). Глава1У Численное интегрирование 8 1. Полиномиальная аппроксимация 1. Постановка задачи (85). Формула трапеций (86). 3. Формула Симпсона (88). 4. Формула средних (89). 5. Формула Эйлера (91). б.

Процесс Эйткена (92). 7. Формулы Гаусса — Кристоффеля (94). 8. Формулы Маркова (97). 9. Сходимость квадратурных формул (98). 8 2. Нестандартные формулы 1. Разрывные функции (100). 2. Нелинейные формулы (100). 3. Метод Филона (103). 4. Переменный предел интегрирования (105). 5. Несобственные интегралы (105). 8 3. Кратные интегралы 1. Метод ячеек (108). 2. Последовательное интегрирование (111). 8 4. Метод статистических испытаний 1. Случайные величины (113). 2.

Разыгрывание случайной величины (114). 3. Вычисление интеграла (117). 4. Уменьшение дисперсии (119). 5. Кратные интегралы (121). б. Другие задачи (123). Задачи Глава Ч Системы уравнений 8 1. Линейные системы 1. Задачи линейной алгебры (126). 2. Метод исключения Гаусса (128). 3. Определитель и обратная матрица (130). 4.

0 других прямых методах (132). 5. Прогонка (132). Метод квадратного корня (135). 7. Плохо обусловленные системы (137). 8 2. Уравнение с одним неизвестным 1. Исследование уравнения (138). 2. Дихотомия (139). 3. Удаление корней (140). 4.

Метод простых итераций (141). 5. Метод Ньютона (143). 6. Процессы высоких порядков (145). Метод секущих (145). 8. Метод парабол (146). 9. Метод квадрирования (148). з 3. Системы нелинейных уравнений 1. Метод простых итераций (150). 2. Метод 155 156 170 181 189 193 194 201 215 333 223 334 236 354 237 Ньютона (152). 3. Метод спуска (153). 4. Итерационные методы решения линейных систем (153).- Задачи Глава ЪЧ Алгебраическая проблема собственных значений ~ 1. Проблема и простейшие методы 1. Элементы теории (156).

2. Устойчивость (159). 3. Метод интерполяции (162). 4. Трехдиагональные матрицы (164). 5. Почти треугольные матрицы (165). 6. Обратные итерации (166). 8 2. Эрмитовы матрицы 1. Метод отражения (170). 2. Прямой метод вращении (175). 3. Итерационный метод вращении (177). ~ 3. Неэрмитовы матрицы 1. Метод элементарных преобразований (181).

2. Итерационные методы (186). 3. Некоторые частные случаи (187). 8 4. Частичная проблема собственных значений 1. Особенности проблемы (189). 2. Метод линеаризации (189). 3. Степенной метод (190). 4. Обратные итерации со сдвигом (191). Задачи Глава ЧП Поиск минимума 1. Постановка задачи (194). 2. Золотое сечение (196).

3. Метод парабол (198). 4. Стохастические задачи (200). э" 2. Минимум функции многих переменных 1. Рельеф функции (201). 2. Спуск по координатам (203). 3. Наискорейший спуск (207). 4. Метод оврагов (209). 5. Сопряженные направления (210). 6. Случайный поиск (214). 8 3. Минимум в ограниченной области 1. Формулировка задачи (215). 2. Метод штрафных функций (216). 3.

Линейное программирование (217). 4. Симплекс-метод (220). 5. Регуляризация линейного программирования (221). 9 4. Минимизация функционала 1. Задачи на минимум функционала (223). 2. Метод пробных функций (226). 3. Метод Ритца (230). 4. Сеточный метод (240). Задачи Глава УШ Обыкновенные дифференциальные уравнения з 1. Задача Коши 1.

Постановка задачи (237). 2. Методы решения (238). 3. Метод Пикара (240). 4. Метод малого параметра (242). 5. Метод ломаных (243). 6. Метод Рунге — Кугта (246). 7. Метод Адамса (250). 8. Неявные схемы (252). 9. Специальные методы (353). 10. Особые точки (257). 11. Сгущение сетки (258). 8 2. Краевые задачи 1. Постановки задач (261).

2. Метод стрельбы (262). 3. Уравнения высокого порядка (266). 4. Разностный метод; линейные задачи (268). 5. Разностный метод; нелинейные задачи (271). 6. Метод Галеркина (276). 7. Разрывные коэффициенты (279). з 3. Задачи на собственные значения 1. Постановка задач (280). 2. Метод стрельбы (281).

3. Фазовый метод (282). 4. Разностный метод (284). 5. Метод дополненного вектора (286). 6. Метод Галеркина (288). Задачи 289 Глава1Х Уравнения в частных производных 1. О постановках задач (290). 2. Точные 290 методы решения (292). 3. Автомодельность и подобие (294); 4. Численные методы (296). э 2. Аппроксимация 299 1. Сетка и шаблон (299). 2. Явные и неявные схемы (301). 3.

Невязка (302). 4; Методы составления схем (303). 5. Аппроксимация и ее порядок (307). э 3. Устойчивость 311 1. Неустойчивость (311). 2. Основные понятия (312). 3. Принцип максимума (315). 4. Метод разделения переменных (318). 5. Метод энергетических неравенств (322). 6. Операторные неравенства (323). э 4. Сходимость 1. Основная теорема (324). 2. Оценки точности (327). 3.

Сравнение схем на тестах (331). Глава Х Уравнение переноса 1. Задачи и решения (334). 2. Схемы бегущего счета (336). 3. Геометрическая интерпретация устойчивости (341). 4. Многомерное уравнение (344). 5. Перенос с поглощением (346). 6. Монотонность схем (348). 7. Диссипативные схемы (351). ~ 2. Квазилинейное уравнение 1. Сильные и слабые разрывы (354).

2. Однородные схемы (357). 3. Псевдовязкость (359). 4. Ложная сходимость (362). 5. 366 368 439 451 452 399 462 401 413 478 423 500 501 505 509 424 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Консервативные схемы (363). ГлаваХ! Параболические уравнения з 1. Одномерные уравнения 1. Постановки задач (368). 2. Семейство неявных схем (369). 3. Асимптотическая устойчивость неявной схемы (374).

4. Монотонность (376). 5. Явные схемы (378). 6. Наилучшая схема (380). 7. Криволинейные координаты (384). 8. Квазилинейное уравнение (386). 8 2. Многомерное уравнение 1. Экономичные схемы (389). 2. Продольно- поперечная схема (391). 3. Локально- одномерный метод (394). 4. Метод Монте- Карло (399).

Задачи Глава ХП Эллиптические уравнения 8 1. Счет на установление 1. Стационарные решения эволюционных задач (401). 2. Оптимальный шаг (404). 3. Чебышевский набор шагов (409). з 2. Вариационные и вариационно- разностные методы 1. Метод Ритца (413). 2. Стационарные разностные схемы (414). 3. Прямые методы решения (415). 4. Итерационные методы (420). Задачи Глава ХП1 Гиперболические уравнения з 1. Волновое уравнение 1.

Схема «крест» (424). 2. Неявная схема Автомодельные решения 294 Адамса метод 250 Анализ регрессии 495, 496 Анизотропная теплопроводность 394, 395 Аппроксимационная вязкость 351 Аппроксимация 308 — абсолютная 310 — безусловная 310 — дробно-линейная 63 — краевых условий 385, 393, 427 †локальн 309 — условная 310 Асимметрия 487 Бегущая температурная волна 295 Бегущий счет 337, 344, 379 Бесселя формулы 62 Большие задачи 388 Включение точки 388 (427). 3. Двуслойная акустическая схема.

(429). 4. Инварианты (434). 5. Явная многомерная схема (435). 6. Факторизованные схемы (436). з 2. Одномерные уравнения газодинамики 1. Лагранжева форма записи (439). 2. Псевдовязкость (442). 3. Схема «крест» (444). 4. Неявная консервативная схема (447). 5. 0 других схемах (450). Задачи Глава Х1Ъ' Интегральные уравнения з 1.

Корректно поставленные задачи 1. Постановки задач (452). 2. Разностный метод (455). 3. Метод последовательных приближений (458). 4. Замена ядра вырожденным (460). 5. Метод Галеркина (461). з 2. Некорректные задачи 1. Регуляризация (462). 2. Вариационный метод регуляризации (465). 3. Уравнение Эйлера (469). 4. Некоторые приложения (473).

5. Разностные схемы (476). Задачи ГлаваХУ Статистическая обработкаэксперимента 1. Ошибки эксперимента (480). 2. Величина и доверительный интервал (482). 3. Сравнение величин (490). 4. Нахождение стохастической зависимости (494). Задачи Приложение Ортогональные многочлены Литература Предметный указатель Вольтерра уравнение второго рода 454 — первого рода 462 Выбор веса 60, 486, 497 Выравнивающая замена переменных 42 Вырожденное ядро 460 Вычисление корней многочлена 147, 148 — кратных интегралов методом Монте-Карло 121 — — — — последовательного интегрирования 111 — — — — ячеек 108 — несобственных интегралов 105 — обратной матрицы 131 — определителя 130 Галеркина метод 276, 288, 461 Гарвика прием 146 Геометрическаяинтерпретация устойчивости 341, 379 Гивенса метод вращении 175 Гильбертово пространство 20 Двухкруговые итерации 449 Дервюдье метод 189 Дирнхле задача 401 Дисбаланс 365 Дисперсионный анализ 495 Диссипативные схемы 353 Дифференцирование быстропеременных функций 80 — интерполяционного многочлена Ньютона 70 — — — —, погрешность 71 — на квазиравномерных сетках 80 — на равномерной сетке 73 Дихотомия 139, 263 Доверительная вероятность 483 Доверительный интервал 483 Допустимое решение 356 Жорданов набор шагов 411 Жорданова подматрнца 157 — форма матрицы 157 Замораживание коэффициентов 320 Зейделяметод 155 Инварианты акустические 434 Интегрирование осциллирующих функций 103 †разрывн функций 100 Интегро-интерполяционный метод 304 Интерполяционный многочлен Ньютона 30 — — —, погрешность 32 — — —, —, апостериорная оценка 33 — — Эрмита 36 — — —, погрешность 37 Интерполяция квазилинейная 43 — лагранжева 28 †линейн 28 — многомерная 47 — — на произвольной сетке 50 — — последовательная 49 — — треугольная 49 Интерполяция монотонная 47 — нелинейная 41 — обратная 35 — сплайнами 44 —, сходимость 39 — эрмитова 36 Квадратурные формулы, априорные оценки точности 99 — —, веса 86 — — Гаусса — Кристоффеля 94 — — Маркова 97 — — нелинейные 100 — —, погрешность 86 — — Симпсона 88 — — средних 89 — —, сходимость 98 — — трапеций 86 — — —, погрешность 87 — —, узлы 86 — — Эйлера — Маклорена 91 Комплексная организация расчета 274, 287, 409 Конечные разности 31 Консервативные схемы 365.

447 Корректность 24 Корреляционный анализ 497 Коши задача 238, 291 — — плохо обусловленная 240 Коэффициент парной корреляции 497 — перекоса матрицы 161 Коэффициентная устойчивость 384 Краевые задачи 261, 291 — — нестационарные 291 Критерии установления 408 Куранта условие 338, 436 Лагерра многочлены 503 Лежацлра многочлены 501 Линеарнзация разностной схемы 321 Линейное программирование 217 Локально-одномерные схемы 396 Матриц виды 132, 158 — нормы 21 Матрица вращения 175 — отражения 170 — сдвинугая 191 Метод баланса 304, 363, 380 — баллистический 262 — вращений итерационный 177 — — —, выбор оптимального элемента 179 — — прямой 175 — выбранных точек 63 — выравнивания 42 — декомпозиции 419 Метод дополненного вектора 286 — золотого сечения 196 — исключения Гаусса, выбор главного элемента 130 — — —, обратный ход 129 — — —, прямой ход 129 — итерированного веса 64, 68 — касательных 143 — квадратного корня 135 — квадрирования 148 — линеаризации 143, 152, 263, 274 — ломаных 243 — малого параметра 242 — моментов 461 — наименьших квадратов 59, 224 — — —, выбор весов 60 — — —, оптимальное число коэффициентов 60 — неопределенных коэффициентов 305 — оврагов 209 — отражений 170 — парабол 146, 198 — последовательныхприближений 141, 150, 272, 458 †††, стохастические задачи 142 — простых итераций 141, 150 — прямых 298 — разностной аппроксимации 303 — секущих 145, 264 — сопряженных направлений 210 — стрельбы 262, 266, 281 — —, линейные задачи 264, 267 — уменьшения невязки 307 — фиктивных точек 306 — штрафных функций 216 Минимизация функционала по аргументу 223 Многочлены обобщенные 28 — ортогональные 501 — — на системе точек 503 Модуль непрерывности 19 Монотонность схем 376, 384 Наилучшая схема 381 Наилучшее приближение 51 — — равномерное 66 — — среднеквадратичное 53 Наискорейший спуск 207 — —, сходимость 208 Направление 299 Невязка 302 Независимые измерения 491 Непрерывный аналог метода Ньютона 288 — функционал 227 Неявные схемы 252, 301 Нормальное распределение 483, 487 Нормальное решение 222, 476 Нормы 19 — векторов 21 — матриц 21 — — подчиненные 22 — — согласованные 22 — негативные 322 — энергетические 308 Ньютона интерполяционный многочлен 30 — метод 143, 152, 263, 274 Обратные итерации 166 — — с переменным сдвигом 192 — — со сдвигом 191 Овраг 203 — разрешимый 203 Однородные схемы 358 Операторов виды 323 свойства 323 Оптимальное управление 226 Особые точки дифференциальных уравнений 257 Оценки погрешности апостериорные 33, 330 — — априорные 33, 328 Ошибки грубые 481, 489 — систематические 481 — случайные 481 Первое дифференциальное приближение 352 Пикара метод 240 Плохая обусловленность 25, 240 — — линейных алгебраических систем 127, 130, 137, 476 Подобие 296 Погрешность метода 23 — неустранимая 22 — округления 23 Показатель симметрии 384, 440 Полностью консервативные схемы 366, 450 Попеременно-треугольная схема421 Порядок точности 325, 327 — — не целый 93, 340 Последовательность точек ЛП1 121 — функций минимизирующая 227 Потенциал скоростей 429 Предиктор-корректор 247 Преобладание диагонального элемента 134, 154 Преобразование подобия матриц 158 Признак равномерной устойчивости 314, 316, 319 Принцип максимума 315 Прогонка 132 Прогонкадифференциальная 266 Продольно-поперечная схема 391 Пространство С 19 Псевдовязкость 359 — квадратичная 361, 443 — линейная 362, 442 Псевдослучайные числа 115 Разделенные разности 29 — — с кратными узлами 37 Разрывные коэффициенты 279, 380 Разыгрывание случайной величины 117 — — — многомерной 122 — — — равномерно распределенной 115 Регуляризация дифференцирования по Тихонову 474 — — по шагу 83 — — сглаживанием 83 — линейного программирования 221 — суммирования ряда по Тихонову 58, 475 — — — по числу членов 57 Регуляризирующий оператор 464 Рельеф функции 201 Решение уравнения обратной интерполяцией 35 Ритца метод 230, 413 Рунге — Кутга метод 246 — — —, оценка точности 249 Рунге метод 75, 259, 332 — — рекуррентный 77, 331 Рунге — Ромберга метод 76 Сглаживание функции 60, 62, 474 Сетки квазиравномерные 78 — специальные 279, 383 Сильный разрыв 357 Симплекс-метод 220 Слабый разрыв 355 Слой 299 Случайная величина 114 ††,плотность распределения 114 — —, равномерно распределенная 114 — —, разыгрывание 115 — —, разьп.рывание 117 Собственные значения 156, 280 Согласованные измерения 492 Сплайн 46 — многомерный 235 Способ параллельных касательных 211 Спуск по координатам 203 Стандарт 484 — выборки 485 — —, несмещенная оценка 484 Степенной метод 190 Стохастическая зависимость 495 Стохастическая задача нахождения минимума 194 Стьюдента коэффициенты 485 — критерий 485 Субтабулирование 34 Схема двуслойная 313 — —, каноническая форма 318 — «крест» 425, 435, 444 — ломаных 243 — с весами 370 — с выделением особенностей 358, 430 — с полусуммой 371 Сходимость 325 — векторов по направлению 21 — квадратичная 145 — кубическая 145 †линейн 145 — ложная 362 — равномерная 19 — среднеквадратичная 20 Счет на установление 190, 403 — — —, критерий установления 408 — — —, оптимальный шаг 404 Тихоновский стабилизатор 405 Точки повышенной точности численного дифференцирования 72 Треугольный оператор 421 Удаление найденных корней 140 Узлы сетки нерегулярные 300 — — регулярные 300 Уменьшение дисперсии метода Монте-Карло 119 Устойчивость 24, 312 — асимптотическая 314, 374 — безусловная 313 — по начальным данным 313 — — — — равномерная 313 — слабая 25, 314 — собственных значений и векторов матриц 159 — условная 313 Фазовый метод 282 Факторизованные схемы 437 Филона формулы 103 Фишера коэффициенты 494 — критерий 493 Фредгольма уравнение второго рода 453 — — первого рода 462 Фурье преобразование быстрое 416 — — дискретное 62 Характеристический многочлен 156 Хаусхолдера метод отражений 170 Центральные моменты распределения 487 Циклическая прогонка 434 Чебышева критерий 486 — многочлены 503 Чебышевская система функций 28 Чебышевский набор шагов 409 — — — упорядоченный 412 Чисто неявная схема 371 Шаблон 297, 300 Эйлера метод 243 — уравнение 469 Эйткена экстраполяционный процесс 92 Экономичные схемы 391 Экстраполяция 33 — многомерная 48 Эксцесс 487 Эрмита многочлены интерполяционные 36 — — ортогональные 503 Явно-неявная схема 342 Явные схемы 301 Якоби метод вращении 177 — многочлены ортогональные 501 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА Современное развитие физики и техники тесно связано с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ).