Батенко А.П. Системы терминального управления (1984), страница 5

2.2, в). Наконец, добавляем еще один интегратор. На его вход подаем управление и, = и, = й,=и = 6Сз при начальном условии и3 = 2Сг (рис. 2.2, г). Переходим теперь во всех четырех схемах, предстанленных на рис. 2.2, а — г, к законам с обратными связями. Прн программном управлении коэффициенты полинома (2.1) зависят от начального (х1О>, хг«>, х~>, хз>) и конечного (х,'", х<", х„">, х,"'1 фазовых состояний объекта и заданного времени перехода Т.

При переходе к замкнутым законам управления, когда текущая изображающая фазовая точка объекта считается начальной, в выражениях для и, и„и>ь и, следует положить 1= О, заданное время перехода Т заменить оставшимся временем движения Т вЂ” (, а начальные значения фазовых координат заменить их текущими значениями 1231. 18 В этом случае управления принимают вид: и — — Со, и, = и = С„ а, — и, = 2Сз, и, = рв = 6Сз. Отсюда находим связь между лара- метрами управления: С, — Со, Сз = Сс/2, Сз '= Сз/3. Нетрудно убедиться в том, что эта связь выражается рекуррентиой формулой С; = 1 гг/Се т/с//, 1 = 1, 2, ..., и — 1.

Это важное соотношение позволило получить достаточно простые рекуррентные формулы для вычисления С„Сю ..., С„„справедливые и для момента времени / =- 0 (О х- / ( Т): — я[с) а — ~ й[е) ч з~ я=от с — 1 С,.= ~ ' ~б[-,[1+а[-1(,(1. Ц ( ч=а '" а — 1 + Д[1 — Нс([о))х(ч)+ ~' [/1[1 — [(1 +[ — ччч я=а (2.6) 1) ( с/Р— ~1 /1[о)~ х[ 1, 1= 1, 2, ..., п — 1. (2.6) Верхние индексы коэффициентов ач, Ьч, с/ч, Лч озна- Н-Н Р-Н 1е) [о) чают, что при вычислении очередного С, значения этих коэффициентов берутся от предыдущего С,, и от Со для одних и тех же значений нижних индексов.

При этом считается, что коэффициенты с отрицательными нижними индексами равны нулю: с/, = Ь т = О. ИСХОДНЫЕ ЗНаЧЕНИя КОЭффнцнситОВ С(ч[О) И /4 1 дЛя Со ВЫЧИСЛя[ОтСя [а) по формулам: ,/[е) г1 (с+а — ч — 1)1 , о=0,1, ...,и — 1 ч (о в 1)1(г — ч)1 ч[ й[е) = ( — 1) ( + 1)1 , ч = О, 1, ..., — 1, ( — к — 1)1 У1 (2.7) Пример 2.1. Найти управляющую функцию, иереводящую объект четвертого порядка (г= 4) за время Т из начального фазового состояния [х1е1; х[М; хе; хе 11 в конечное (хй ., хк 1). Число конечных условий и = 2, остальные Ы), (з) фазовые координаты остаются свободными, 19 Методика получения (2.7) основывается на результатах (16), в которой получено выражение для с/[ 1 при числе конечных условий, равном порядку системы (и =- г).

Соотном[ения (2.5) и (2.6) позволяют определить неизвестные параметры управляющей функции (2.2), обеспечивающей выполнение произвольного числа конечных условий, накладываемых на управляемый ,объект. Управляющая функция будет содержать два неизвестных параметра: и = = Сь+ С,!.

По (2.5) вычисляем вначале Сь. Сь — 4 е хь(е) — 4 1 х(1) 4! (4+2 — 0 — 1)! 4! (4+2 — 1 — 1)! П (4 — 0)! О! Ть — о 1! (4 Ц< П Т( — ! 4! (4+2 — 2 — 1)! 4! (4+2 — 3 — 1)! х<2> — ' «(З! 1! (4 2)1 2! Т4 — 2 !! (4 3)! 3! Т— (4+2 О 1)! <а> (4'+2 1 1)! <1) 120 (2 0 1!! О! Т4 — о " (2 1 !!! 1! Т4 — 1 " Tь 96 36 8 120 о 24 (! — — х(1) — — х(2) — — х(З)+ — х<О> — — х< >. Ть ь Т ь Ть к Тз к Затем переходим к вычислению С(. Составляем табл. 2.1, помещая в нее найденные для с, коэффициенты 4((о) (т = О, 1, 2, 3! и ь!о) (т = О, 1).

Пользуясь данными табл. 2Л с помощью соотношения (2.6), определяем 480 360 120 20 з 480 а 120 (1 С,= — х(е) + — х(1) + — х(2> + — х<з> — — х< > + †, х Ть ь Ть ь Тз ь Тз О Ть к Ть Таблица 2.1 Значения коэффициентов параметра Сь КоьфФнанент ,!(о) — 120 — 96 й!о) т +120 Пример 2.2. Найдем параметры управляющей функции для объекта, состоящего из четырех последовательно включенных интеграторов (г = 4) при четырех конечных условиях (а = 4). Требуется за в!)емя Т перевести объект из начального азового состояния [хо; хо >; хо; хо !в конечное (хк ! х„; х«! хк' ].

(Ь), (1) !Ь), (Ь (ь). (1), (ь>, <ь) правля(ощая функция при данных условиях будет содержать четыре неизвестных параметра: и = С, + Сь(+ СьР+ Сз(з. Задав г = 4 и л = 4, с помощью (2.5) получим 840 480 120 16 Сь — — — — х(Е) — — х(1) — — х(2) — — х(З)+ T4 ь Тз ь 1'2 ь T ь Ть " Ть к Т' " Т Помещаем иоэффициенты (((О1 и й!о) параметра Сь в табл. 2.2. Задав г= 4, и = 4, 1' =-.

1, т = О, 1, 2, 3, по (2.6) вычислим Сь. Вся информация, необходимая для вычислений, берется из табл. 2.2: 10080 5400 1200 120 с! = — х(о) + — х(1) + х(2) + — х(з)— Ть ь Т» ь Тз ь Ть ь — — х )+ — х > — — х !.)- — х 10 080 <о 4680 <1 840 <2 60 (з Ть к Ть к Ть к Ть ь 20 Таблица 2.2 Значения коэффициентов параметра Со н=О ) н1<фнцнонт ![01 и — 480 — 16 — 120 — 840 7,!01 — 360 +840 +60 Таблица 2.3 Значения коэффициентов параметра С, Коэффициент н=о ч=( ((!)1 и +120 +1О 080 +5400 +1200 7>1<1 — 1О 080 — 840 +4680 Помещаем найденные коэффициенты ((!21 и й!21 в к 4, ( = 3, т = О, 1, 2, 3, в пользуясь данными табл.

в,)ражение длн последнего параметра управления: !6 800 8400 1680 Сэ — — — х(0>+ — Х()) -Р х(2) + Тт о Тв в Тв о х(0>+ — х( > — х(2)+ 16 800 0 8400 ) 1680 Тт к ' 7в к Тв к табл, 2.4. Задав г = 4, 2.2 и 2.4, по (2.6) найдем 140 — х<з>— Тв в >40 <„ хк Тв Таблица 2.4 Значения коэффициентов параметра Сэ Коэффициент — 25200 д!2! — 240 — 12 960 — 2700 7,!21 +25 200 — 12 240 — 180 +2340 21 Помещаем найденные коэффициенты г(!(! н 7)!(! в табл. 2.3.

Задавая г = 4, 4, 1 = 2, т = О, 1, 2, 3 и используя данные табл. 2.2 и 2.3, па (2.6) находим 25 200 12 960 2700 240 С вЂ” х(О) х(>) х(2) — х(З)+ 7'в о Тв о 7'в о 7'э в + х — — х -!. х — — х 25200 <о !2240 <» 2340 <2> !80 <з> Тв " Тв и Тв н Тэ Описанная здесь процедура вычисления параметров управляющей функции является решением полной задачи управления цепочкой пп теграторов произвольной длины.

2.3. Управляющая (рункция с особенностью в конечной точке В предыдущем параграфе приведены формулы для вычисления не! известных параметров программного управления (2.1). Перейдем те! перь к синтезу замкнутого закона управления. Как известно (23), вся.

кое текущее фазовое состояние объекта принимается при этом за на.! чальное, заданное время перехода Т заменяется оставшимся временем) движения Т вЂ” 1, а !' в (2.!) полагается равным нулю. Управление (2.1) становится функцией текущего фазового состояния объекта и ос.! тавшегося времени движения: г — ! г) (г+и — т — 1)1 ( о= р (я — 1)! (г — т>)1т1 (Т вЂ” ()' а †! -(- Х ( — -1)7 ( + Ц) х(т) (2.8) (я-т — 1)1 т> (Т вЂ” !)' Для широко распространенного частного случая, когда число конечных условий равно числу фазовых координат (а =- «), управление (2.8) принимает более простой вид И= 1 Г «(2г — » — 1]1 ( > (~) .> ,, (т — ()' — ' ~ ( — )1~! (2.9) (~ — ~ — 1)1 ~1 Структурная схема САУ, реализующей законы управления (2.8) и (2.9), представлена на рис.

2.3. Система имеет обратные связи по всем фазовым координатам. Желаемое конечное фазовое состояние объекта задается постоянными сигналами, поступак>шими на входы САУ. Необходимо отметить, что полученные здесь управления, в отличие от найденных в [16, 17), позволяют налагать иа объект любое число конечных условий и переводить его в любую точку фазового пространства. Обратим внимание па то, что некоторые авторы в своих работах не>ласпо прсдполагак>т следуюп(ее. Гслп получено управление, перево дящее объект в начало координат фазового пространства, то считается, что задача перевода в любую точку решена.

Для этого стоит лишь по общеизвестным правилам перенести в эту точку начало координат, и тогда в выражениедля управляющей функции к каждой текущей фазовой координате добавится постоянный член. Такое предположение в общем случае неверно, о чем свидетельствуют (2.8) и (2,9).

Конечные 22 1иачення фазовых координат входят в них со своими весовыми коэффициентами, причем знаки этих коэффициентов чередуются, Используя свойства гамма-функций (34), преобразуем (2.8) к виду, более удобному для вычислений: г-1 ! г — м — 1 и= — К П (г — 1)(п+ 1)х<"! + гг — 1! ~ г — 1 ,„, ~ ел(т — г)'-" 1, (2.10) Рис. 2.3 Аналогично для (2.9) получим г — 1 Г =х „, ~ — — и( — +) "' 1 г -О Р' — !)" ' '1-! + П (г — т+1) х!"> !)т т! К гк а (2.1 1) Как видно из этих выражений, найденные управления имеют особ>енность в конечной фазовой точке, заключающуюся в том, что при 1-+.

т их знаменатели стремятся к нулю. следовательно, коэффициенты законов управления должны неограниченно возрастать. Это обстоятельство затрудняет их практическое использование. Для ликвидации особенности воспользуемся методами, предложенными в (23!. 23 2.4. Устранение особенности Приведем два способа устранения особенности закона (2.8) в конеч пой точке. Второй пз них приводит к новому классу управлений, обладающих свойствами программного и терминального законов, имеющих обратную связь по всем фазовым координатам и регулируемую «жесткость» привязки к программе. Сущность первого способа состоит в следующем. Предположим, что объект в течение времени Т переместился из начальной фазовой точки (хо >, ..., х«о >1 в конечную (х< ', ..., х<' "!. Если продлить траекторию дальше точки К, то в момент времени ! = Т + ЛТ она пройдет через точку Р с координатами (хр >, ..., х~о '>!.