3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971) (3. Основы теории случайных процессов. Карлин (1971).djvu), страница 83

Л метром — (использовать лемму 8.!). )с Ответ: 1 — —. )с Л' 19. (Очередь с абсолютными приоритетами,> Рассмотрим одноканальную систему, в которую поступают пуассоновские потоки двух типов требований (приоритетных и неприоритетных) с паралгетрами Л! и Лз (Л! + 7! = 1). Или. тельиости обслуживания требований этих типов распределены экспоненциально с параметрами )с! и р! соответственно. Внутри требований одного типа поддерживается прямой порядан обслуживания и процесс обслуживания приоритетных требований никогда не прерывается.

Если приоритетное требование поступает во время обслуживания неприоритетного требования, то обслуживание последнего немедленно прерывается и начинает обслуживаться приоритетное требование, Требование, процесс обслуживания которого был прерван, вновь поступает иа прибор, когда в системе не остается приоритетных требований. Пусть рт, „— стацнонарная вероятность того, что в системе имеется гл приоритетных и л не- приоритетных требований.

Стационарный режим существует при р, + р, < 1 ( Л! Ле р, —, р, — ). Доказать, что величины р, » удовлетворяют снстелге Р! )сз уравнений (Л! + Лз + Н ! (1 — Ото) + Рз (1 — йло) йто) Рт, л - Л!Р л — !, л+ Лгр!л, л-! Ц-)с!Р!л+!, л+ Рзйторт. л+! (т, л-О, 1, 2, " ). где бо — символ Кронекера и где принимается, что величина р с отрицательным индексом есть О. Используя это уравнение, показать, что среднее числа неприоритетных требований равно 20. Показать, что для системы (М/М/!), находящейся в стационарном режиме, распределение времени между последовательнымп моментами ухода требований ив системы совпадает с (экспоненцнальным) распределением времени между молгентами поступления (см.

также задачу 33 гл. 7). 21. Требования поступают в систему в соответствии с произвольным рекуррентным потакал!. Проанализировать структуру очереди в моменты регенерации для следующих двух систем: Задачи 499 (1) Имеется з приборов с одинаковым зкспоненциальным распределением времени обслуживания на каждом из них. (2) Имеется один прибор с зрланговским распределением времени обслуживания. 22.

рассмотрим следующее обобщение системы обслуживания (61/О/1) с распределениями А(1) интервала между моментами поступления и В(1) времени обслуживания, имеющими средние а и Ь соответственно. Требование, поступаю- щее и застающее прибор свободным, ожидает случайное время с функцией распределения У(1), а затем начинает обслуживаться.

Пусть Р„(х) — функция распределения времени ожидания л-го требования. Показать, что предел г' (х) !!гп Ря (х) существует и и.» (1) если Ь вЂ” а) О, то Е (х) = О, (2) если Ь вЂ” а(О, то Р (х) — собственная функция распределения, "23. Обобщим идею задачи 9 на случай двух односторонних движений по пересекающимся дорогам А и В. Движе1гие по дороге А имеет абсолютный приоритет. На дороге В имеется останавливающий движение сигнал. Как и прежде, автомобили, движущиеся по дороге А, проезжают перекресток в моменты, образующие пуассоновский поток с параметром н.

Автомобили, движущиеся по дороге В, подъезжают к перекрестку в моменты, образующие пуассоновский поток с параметром )., и выстраиваются в очередь, ожидая возможности пересечь его. Когда автомобиль (на дороге В) становится первым в очереди, он ожидает, пока между автомобилями, движущимися по дороге А, не образуется временнбе «окно» длительностью по крайней мере Т, и тогда пересекает перекресток за время Т. Другие автомобили из очереди не начинают движения, пока он не пересечет перекрестка.

!(лина автомобиля равна нулю. Найти производящую функцию распределения числа автомобилей в очереди на дороге В в стационарном режиме и среднюю длину очереди. Указание: Это пример системы (М161!), и достаточно найти распределение «времени обслуживания» автомобилей на дороге В. Ответ; и (з) (! — р) (з — !) К (а) К (5) В 1Х вЂ” Хз).

3 — К (3) В (9) ' а-вх,Уг (х) (И + 9) а -(в+В! г В+ ие-Щтв1г о ЗАМЕЧАНИЯ Литература по теории массового обслуживания обширна. Прекрасной монографией, в которой дается обзор этой теории с приложениями, является книга Кокса и Смита [1). Мы также рекомендуем читателю более сложные книги Така. ча [2) и Риордана [3). Многие результаты по теории массового обслуживания приведены в книге Саати [4). В ней также имеется большая библиография.

Применения к транспортным задачам и задачам телефонии можно найти в книге Сиски [5). 600 Гл. 14. Пронвссы массового обслу живалая В монографии Бенеша !61 развиты некоторые специальные математические вопросы теории массового обслуживания. ЛИТЕРАТУРА 1. К о к с Д. Р., С м и т В. Л., Теория очередей, «Мир», М., 1966. 2. Т а К а с в Е., 1п!гобнс1!оп 1о !Ье Тйеогу о1 ггненев, Ох!оса с!п!ч. Ргевв, Еопбоп апб !Чечг Уогй, 1962. 3. Р иордан Дж., Вероятностные системы обслуживания, «Сов.

радио», М., 1966. 4. С а а т и Т. Л., Элементы теории массового обслуживания с применениями, «Сов. радио», М., 1966. 5. б у в К ~ Е., Сопиев!!оп Тйеогу, йт!1еу, Жег«тогК 1960. б. Веп ее 'и Е., Оепега! б!осияв!!с Ргосеввев !п !Ке Тиеогу о1 Япепев, Абб!воп— 'йгев1еу, йеаб!пб, Маввасйнве!!в, 1963, ПРИЛОЖЕНИЕ $ Е СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА А.

Вводные понятия, линейная независимость и базис ') Множество всех и-векторов х = (хь ..., х„), где х« — комплексные числа, образует п-мерное векторное пространство. Сумма двух векторов х = (хь ..., х,) и у = (у«, .'... у„) определяется как х+ у = (х«+ у„..., х„+ у„), а произведение вектора х на комплексное число )«по формуле Хх = (Ххь ..., Хх„). Векторы х«««.....

хрт называются линейно независимыми, если из равенства с,х«п + с,х«м + ... + с,х«о = О следует, что с« = сз =... = с„= О; в противном случае эти векторы называются линейно зависимо«ми. Например, векторы (1, О,...,О), (О, 1, О, ..., О), ..., (О, ..., О, 1) являются, очевидно, линейно независимыми. В п-мерном векторном пространстве не может быть более, чем и линейнр независимых векторов, или другими словами, любое множество, состоящее более чем из и векторов, линейно зависимо. Пусть «р«, ..., «р„, г < и,— линейно зависимые векторы. Тогда существует вектор «р,+о не являющийся линейной комбинацией векторов «р«, ..., «р„, или, что то же самое, не представимый в виде с,«р« + ... + с„«р,.

Это означает, как легко видеть, что «р, , «р линейно независимы. Рассуждая далее точно так же, мы получим множество «р«, ..., «Р„из и линейно независимых векторов, построенное пополнением множества векторов «р«, ..., «Р„векторами «р„+„..., «р„. Поскольку никакое линейно независимое множество ие может состоять более чем из и векторов, для каждого вектора у н любого линейно независимого множества векторов «рь ..., «р„ мы можем определить (и притом единственным образом) константы с«, ..., с„, такие, что с««р« + ... + с„«р„ = — у. Аналогичные результаты имеют место для любого линейного надпространства й, т. е, для любого множества векторов й, такого, что если х, у ее й, то ах + Ьу ее й для любых комплексных чисел а и Ь.

Каждое линейное подпространство характеризуется целым числом т, О (т.(п, называемым размерностью подпро- ') Некоторые утверждения приводятся нами без доказательства; чита«на«о будет полезно провести ик самостоятельно. Приложение странства, которое равно максимальному числу векторов, все еще образующих линейно независимое множество. Если /р!, ..., !р„ г < т,—.линейно независимые векторы из 99, то существует вектор !р,.н! ~ 99, который нельзя представить в виде линейной комбинации векторов !р!, ..., !р,, Как и ранее, легко показать, что существуют векторы /р„.н!, ..., !р, такие, что 9 ь ..., !р„, образуют линейно независимое множество векторов. Более того, для любого вектора у ~ 9Я существуют (и единственны) константы с!, ..., с, такие, что с!ер!+...

+ с !р = у. Заметим, что если размерность подпространства 9)1 равна нулю (Й1!и!% = 0), то это означает, что 99 состоит лишь из нулевого элемента; если же б1т99 = и, то 9Л совпадает с исходным векторным пространством. Если б(ш9/1 = т, то любое линейно независимое множество из и/ векторов, принадлежащих 99, называется базисом подпросг//ансгва 9/!. Мы будем пользоваться термином «базис» (без указания подпространства) для обозначения любого множества пз п линейно независимых векторов.

Б. Скалярное произведение Скалярное произведение двух векторов х и у определяется формулой и (х, у) = ~ х/й/, где у! — числа, комплексно сопряженные с уь Отметим следующие легко доказываемые свойства скалярного произведения; (1) (х, х) ) О, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда х =(О, ..., 0) = О; (й) (Хх, у) = л(х, у), где Х вЂ” комплексное число; (ш) (х, у)= (у, х).